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- 2021-07-01 发布
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市一中高三第五次模拟考试
数学(文)试题
命题人:李柯
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.若复数满足,则复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合,,且则的可取值组成的集合为( )
A. B. C. D.
3.已知数列是等差数列, ,则数列的前10项和为( )
A. 40 B. 35 C. 20 D. 15
4.设 为锐角,,,若与共线,则角( )
A. B. C. D.
5.运行左下图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. -1
6.某三棱锥的三视图如图右上所示,主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形,则该棱锥的最长的棱长为( )
A. B. C. D.
7.已知函数,则函数y=f(1-x)的大致图象是( )
A. B. C. D.
8.下列命题正确的是( )
A. 若一直线与两个平面所成角相等,则这两个平面平行
B. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
C. 若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行
D. 若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行
9.函数在的图象大致为( )
A. B. C. D.
10.在中, 是的中点, ,点在上且满足,则等于( )
A. B. C. D.
11.定义在上的奇函数对任意都有,当 时,,则的值为( )
A. B. C.2 D.
12.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知,则函数的单调递减区间是______.
14.已知,则=______
15.三棱锥的外接球为球,球的直径是,且都是边长为的等边三角形,则三棱锥的体积是 ______
16.设动点满足,则的最小值是______
三、解答题(每小题12分,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分12分)△的内角,,的对边分别为,,,已知.(1)求;(2)若,求△面积的最大值.
18. (本小题满分12分)
如图,边长为3的正方形所在平面与等腰
直角三角形所在平面互相垂直, ,且, .
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
已知数列中,,
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)设数列满足:,求的前项和.
20. (本小题满分12分)
一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).
(1)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,求月收入在(元)段应抽出的人数;
(2)为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在(元)的概率,采用随机模拟的方法:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,我们用0,1,2,3,4表示收入在(元)的居民,剩余的数字表示月收入不在(元)的居民;再以每三个随机数为一组,代表统计的结果,经随机模拟产生了20组随机数如下:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在(元)的概率.
21. (本小题满分12分)
已知, 是的导函数.
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)若在时恒成立,求实数的取值范围.
请考生从22,23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分
22. (本小题满分10分)
选修4-5:不等式选讲
设函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若关于的不等式有解,求实数的取值范围.
23. (本小题满分10分)
选修44:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为,(t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为,A,B两点的极坐标分别为.
(Ⅰ)求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)点P是圆C上任一点,求△PAB面积的最大值.
市一中高三第五次模拟考试
数学(文)试题
试卷答案
1【答案】B【解析】,对应点在第二象限.
2.D【解析】因为,则可得:
当时, ,当时
当时, ,综合可得: ;选D
点晴:本题考查的是根据集合及集合间的关系求参数的取值问题. 因为,则可得: ,分, 和三种情况讨论,分别得的取值,再取并集即可,此类题比较基础,但容易丢掉这一种情况,计算的时候要小心,不能马虎大意.
3.A【解析】是等差数列, , ,故选A.
4.B【解析】因为与共线,所以 ,又因为为锐角,所以角。
本题选择B选项.
5.C【解析】试题分析:因为, ,所以,由算法框图可知,运行后输出的值为.
6.A
【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,底面是底边为1,高为1的三角形,高,最长的棱所在的面是直角边长分别为1, 的直角三角形,斜边长为,故选A.点睛:本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,考查了学生的空间想象能力解决本题的关键是得到该几何体的形状,难度一般;由已知中的三视力可得该几何体是一个以左视图为底面的三棱锥,可得
7.D【解析】 ,因此当 时 ;当 时 ;所以选D.
8.B【解析】对于答案A,这两个平面可以相交,因此答案不正确;对于答案C,这两个平面也可以相交,因此答案也不正确;对于答案D,这两条直线也可以相交或异面,因此答案也不正确;
9.【答案】C【解析】当时,,令,即在区间只有一个零点,故应排除答案A、B、D,应选答案C 。
10.A
11.4.A【解析】此题考查函数的奇偶性、周期性性质的应用,因为此函数是定义在上的奇函数,所以,由知函数周期为4,
所以,选A
12. 1D
【解析】试题分析:由题意,得抽样比为,所以高级职称抽取的人数为,中级职称抽取的人数为,初级职称抽取的人数为,其余人员抽取的人数为,所以各层中依次抽取的人数分别是8人,16人,10人,6人,故选D.
考点:分层抽样.
【方法点睛】分层抽样满足“”,即
“或”,据此在已知每层间的个体数量或数量比,样本容量,总体数量中的两个时,就可以求出第三个.
13.【解析】试题分析: ,故,令,令,解得:,而在对称轴,故在递增,故在递减,故答案为:.
14.【解析】试题分析:本题考查了三姊妹关系, , ,三者密切相关,可知一求二.试题解析:,由,于是得
.
15.【解析】试题分析:取BC中点M ,则有,所以三棱锥的体积是,
16.-4【解析】试题分析:根据线性约束条件,画出可行域(如图)及直线,平移直线可知,当直线经过点A(0,4)时,取得最小值-4,
考点:简单线性规划的应用
17(1);(2).
【解析】试题分析:(1)由已正弦定理得: ;(2)由余弦定理得
整理得,再由面积的最大值为.
试题解析:(1)由已知及正弦定理得:,
∵,
∴,即,
∵为三角形的内角,∴.
(2),
由已知及余弦定理得,即,代入,
整理得,当且仅当时,等号成立,
则面积的最大值为.
18.(Ⅰ)略; (Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)过作交于,连接,先证明四边形为平行四边形,可得,从而根据线面平行的判定定理可得结论;(Ⅱ)以为坐标原点, 所在方向为轴正方向,建立平面直角坐标系,则平面的法向量为,再算出平面的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)过作交于,连接因为, ,所以
又,所以故,
所以四边形为平行四边形,故,
而平面, 平面,
所以平面;
(Ⅱ)以为坐标原点, 所在方向为轴正方向,建立平面
直角坐标系,则, , ,
平面的法向量为,设平面的法向量为
,则,即
,不妨设,则
所求二面角的大小为
19.(1)数列是首项为1,公差为3的等差数列(2)(3)
【解析】试题分析: (1)把两边同时做倒数运算,得,即证.(2)由(1) (3)由(2)得,代入,利用错位相减法,可求和.
试题解析:(1), ,
又 数列是首项为1,公差为3的等差数列。
(2)
(3)
…
…
…
20.(1)20;(2)
【解析】
试题分析:(1)观察频率分布直方图,然后根据频率为相应小矩形的面积,即可求出所求;(2)观察上述随机数可得,该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000,3000)元的个数,然后根据古典概型的概率公式解之.
试题解析:(1)由频率分布直方图知:月收入在的概率为:0.0004500=0.2
所以,月收入在的人数为:100 0.2=20.
(2)由频率分布直方图可知,月收入在[2000,3000)的频率为2×0.0005×500=0.5
可以用数字0,1,2,3,4表示收入在[2000,3000)(元)的居民,数字5,6,7,8,9表示月收入不在[2000,3000)(元)的居民;
观察上述随机数可得,该社区3个居民中恰有2个月在[2000,3000)的有191,271,932,812,393,027,730,共有7个,
而基本事件一共有20个,根据古典概型公式可知该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000,3000)元的概率为为
考点:频率分布直方图,古典概型的概
21.(1)当时,有极小值.(2)
【解析】试题分析:(1) 求出, 得增区间, 得减区间,再分类讨论得到的零点个数;(2)设,求的最最值,再转化为在上恒成立,求其最值,即可使其小于或等于零构造不等式即可.
试题解析:(Ⅰ) , , ,
当时, 恒成立, 无极值;
当时, ,即,
由,得;由,得,
所以当时,有极小值.
(Ⅱ),即,即,
令,则,
当时,由知,∴,原不等式成立,
当时, ,即, ,得; ,得,
所以在上单调递减,
又∵,∴不合题意,
综上, 的取值范围为.
22.(1){ 或}(2)
【解析】试题分析:(1)通过讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出即可;(2)问题转化为只需[f(x)]min≤|3m﹣2|即可,得到关于m的不等式,解出即可.
试题解析:
解:(1)
或或
或或
或或
故所求不等式的解集为{ 或}
(2)关于的不等式有解
只需即可,
又,
,即或,
故所求实数的取值范围是.
点睛:1.研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,将原函数转化为分段函数,然后利用数形结合解决问题,这是常用的思想方法.
2.f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
23.(Ⅰ) , ; (Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ) 利用 将圆C的参数方程化为普通方程,由 ,将直线 的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)写出点P的坐标
,由点到直线的距离求出P点到直线的距离,求出最大值,从而得到 面积的最大值.
试题解析:(Ⅰ)由得消去参数t,得,
所以圆C的普通方程为.
由,得,
即,化成直角坐标系为,所以直线l的直角坐标方程为
(Ⅱ) 化为直角坐标为在直线l上,并且,…7分
设P点的坐标为,
则P点到直线l的距离为 ,
,
所以面积的最大值是