数学理卷·2017届安徽省淮北市高三第二次模拟考试（2017 11页

淮北市2017届高三第二次模拟考试　　２０１７．４．１５‎ 数学 理科 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 考生注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条 ‎ 形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。‎ ‎ 2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 ‎ ‎ 选出其他答案标号。第II卷用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。‎ ‎ 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合则( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数z满足,则复数对应的点所在象限是（ ）‎ ‎ A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 ‎ ‎3.已知满足，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知函数为偶函数，则（ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若 硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两 ‎ 个人站起来的概率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 6． 已知函数，其部分图像如下图，则函数的解析式为（ ）‎ A B ‎ C D 7. ‎7.在如图所示的程序框图中，若输入的，则输出的结果为( )‎ ‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎8.已知是双曲线的右顶点，过左焦点与轴平行的直线交双曲线于两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知，给出下列四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中真命题的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. 3‎ ‎11．如图，中，是斜边上一点，且满足：,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ）‎ ‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎12．已知函数，若对任意的,总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若的展开式中项的系数为4，则 .‎ ‎14．中国古代数学经典中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．若三棱锥为鳖臑,且⊥平面, 又该鳖臑的外接球的表面积为，则该鳖臑的体积为 .‎ ‎15．在中，角的对边分别为，若，则等于 .‎ ‎16.梯形中，对角线交于，过作的平行线交于点，交于，过作的平行线交于点，若，则 ‎ ‎(用表示)‎ 三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知数列是等比数列，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎18.如图，三棱柱中，四边形是菱形，,二面角为，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面;‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎19.随着社会发展，淮北市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象。交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段(T≥3 )，从淮北市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：‎ ‎(I)据此直方图估算交通指数T∈[4，8)时的中位数和平均数；‎ ‎(II)据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？‎ ‎(III)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望．‎ ‎20.已知椭圆，是坐标原点，分别为其左右焦点，,是椭圆上一点，的最大值为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程;‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，且 ‎ （i）求证：为定值;‎ ‎ （ii）求面积的取值范围.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（I）讨论函数的单调性,并证明当时，;‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中, 以为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆的极坐标方程为,直线的参数方程为 （t为参数）， 直线和圆交于两点。‎ ‎（Ⅰ）求圆心的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）直线与轴的交点为，求．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲　‎ ‎ 设函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎２０１７淮北二模理科数学参考答案 一、选择题 ‎1.B ‎2.D ‎3.A ‎4.A ‎5.B ‎6.B ‎7.C ‎8.C ‎9.D ‎10.A ‎11.B ‎12.C 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.,（没注明的不扣分）‎ 三、解答题 ‎17.‎ 解：（1）证明：设公比为，由题意得：‎ ‎，即 所以为,又，‎ 所以 ……………………6分 ‎（2）由（1）得 由错位相减法或裂项相消发求得 ……………………12分 ‎18.（1）证明：在三棱柱中，由 得，则， …………………2分 又是菱形, 得,而,‎ 则, ……………………4分 故平面平面. …………………5分 ‎（2）‎ 由题意得为正三角形，‎ 取得中点为D，连CD,BD,‎ 则,又 易得,则为二面角的平面角，‎ 因,=,所以,‎ 所以 过交点作,垂足为,连 则为二面角的平面角， ……………………9分 又 得 所以 …………………12分 另：建系用向量法相应给分。‎ ‎19.解(1)由直方图知：T∈[4，8)时交通指数的中位数在T∈[5，6)，‎ 且为 5＋1×＝ ………2分 T∈[4，8)时交通指数的平均数为：‎ ‎4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72. ………4分 ‎(2)设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P(A)＝0.1，‎ 则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为：‎ P＝C32×()2×(1－)＋C33×()3＝，‎ 所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为. ………8分 ‎(3)由题意，所用时间X的分布列如下表：‎ X ‎30‎ ‎35‎ ‎45‎ ‎60‎ P ‎0.1‎ ‎0.44‎ ‎0.36‎ ‎0.1‎ 则E(X)＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6，‎ 所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟． ………12分 ‎20.解：‎ ‎（1）由题意得，得椭圆方程为： ………………4分 ‎（2）‎ i)当斜率都存在且不为0时，设，‎ 由消得，‎ 同理得，‎ 故 …………………7分 当斜率一个为0，一个不存在时，得 综上得，得证。 ……………………8分 ‎（未讨论斜率这扣1分）‎ ‎ ii) 当斜率都存在且不为0时，‎ ‎ ‎ 又 ‎ 所以 ………………………..11分 当斜率一个为0，一个不存在时, ‎ 综上得 ……………………12分 ‎（未讨论斜率这扣1分）‎ ‎21.解：‎ ‎（1）由得 故在上单调递增， ………………3分 当时，由上知，‎ 即，即，得证. …………………5分 ‎（2）对求导，得，． ………6分 记，．‎ 由（Ⅰ）知，函数区间内单调递增， ‎ 又，，所以存在唯一正实数，使得．‎ 于是，当时，，，函数在区间内单调递减；‎ 当时，， ，函数在区间内单调递增．‎ 所以在内有最小值， ‎ 由题设即． ……………9分 又因为．所以．‎ 根据（Ⅰ）知，在内单调递增，，所以．‎ 令，则，函数在区间内单调递增，‎ 所以，‎ 即函数的值域为． ……………12分 ‎22.解：（1）由,得,得,故圆的普通方程为,所以圆心坐标为,圆心的极坐标为. ……………4分 ‎（2）把代入得，‎ 所以点A、B对应的参数分别为 ‎ 令得点对应的参数为 所以 ……………10分 ‎ 法二：把化为普通方程得 令得点Ｐ坐标为，又因为直线恰好经过圆C的圆心，‎ 故 ……………10分 23. ‎（Ⅰ）由题可得，‎ 当时，由可得，所以；‎ 当时，由可得，所以；‎ 当时，由可得，所以；‎ 综上可得，不等式的解集为. ……………5分 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ,‎ ‎ 所以 ，若x∈R， 恒成立，解得 ，‎ ‎ 综上，t的取值范围为. ……………10分 ‎