【数学】河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月模拟2试题（理）（解析版） 17页

河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月模拟2‎ 数学试题（理）‎ 第I卷(选择题共60分)‎ 一､选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，有且只有一项符合要求)‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，,‎ 故选：C ‎2.已知z是纯虚数，是实数，那么z等于 (　　)‎ A. 2i B. i C. －i D. －2i ‎【答案】D ‎【解析】设z＝bi(b∈R，且b≠0)，‎ 则＝＝＝ [(2－b)＋(2＋b)i]．‎ ‎∵∈R，‎ ‎∴2＋b＝0，解得b＝－2，‎ ‎∴z＝－2i.‎ 故选D.‎ ‎3.使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，， ，‎ ‎，且或，‎ 因Ü，‎ 所以使不等式成立的一个必要不充分条件是，‎ 故选：A．‎ ‎4.在可行域内任取一点，如果执行如图所示的程序框图，那么输出数对的概率是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示：分别作出条件所表示的正方形区域、圆，‎ 由程序框图的程序得：当输出数对的概率是.‎ 故选：B.‎ ‎5.具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最小的几何体的表面积为（ ）‎ A. 13 B. C. D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】该几何体可能是四棱柱、水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱，‎ 且对应柱体的高是一样的都是3，‎ 而四棱柱的底面是边长为1的正方形，底面积为1，‎ 三棱柱的底面是腰为1的等腰直角三角形，底面积为，‎ 圆柱的底面是直径为1的圆，底面积为，‎ 且，‎ 比较可知体积最小的几何体为三棱柱，‎ 且高为3、底面为腰长为1的等腰直角三角形，‎ 其表面积为，‎ 故选：B．‎ ‎6.若，是第三象限的角，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】是第三象限角，，且，‎ 因此，，‎ 故选B.‎ ‎7.某学生在一门功课的22次考试中，所得分数的茎叶图所示，则此学生该门功课考试成绩的极差与中位数之和为(　　)‎ A. 117 B. 118‎ C. 118.5 D. 119.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】22次考试成绩最高为98分，最低为56分，所以极差为98－56＝42，从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试成绩的极差与中位数之和为42＋76＝118，故选B.‎ ‎8.函数在区间上单调，且恒成立，则此函数图象与轴交点的纵坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，即，，即 时，取得最大值，，‎ 即，，，‎ 即，，‎ 即此函数图象与轴交点的纵坐标为.‎ 故选：A.‎ ‎9.如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（ ）‎ A. 线段 B. 圆 ‎ C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 ‎【答案】A ‎【解析】连结，可证，即，即点E是体对角线上的定点，直线AE也是定直线．，∴动点P必定在线段AE的中垂面上，则中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段．‎ 故选：A ‎10.双曲线的右焦点为，是双曲线上一点，点满足，，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以：，故三角形MPF为直角三角形，所以，为要使得取得最小值，因为，所以，要为最小值，当点为双曲线的右顶点时，，即为的最小值，，故的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎11.已知是以2为周期的偶函数，当时，那么在区间内，关于x的方程有4个根，则k的取值范围是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为直线过定点，画出函数在的图像，要使方程有4个根，即直线和函数在的图像有4个交点。‎ 显然时满足条件，假若当直线和函数的图像在区间上相切时也满足条件，但是这是不可能的。因为联立，得，得或（舍去），当时，解得．所以．‎ 故选B.‎ ‎12.已知正项数列的前n项和为满足:若记表示不超过m的最大整数，则（ ）‎ A. 17 B. ‎18 ‎C. 19 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，．‎ 当时，由，及得，，‎ 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，‎ 因此，‎ 则．‎ ‎．‎ 又当时，‎ 对于 ‎，‎ ‎．‎ 故选：B.‎ 第II卷(非选择题共90分)‎ 二､填空题:(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.已知则展开式中的常数项为___．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】易求，由定积分的几何意义可得．‎ ‎，‎ ‎，‎ 其展开的通项公式为 ‎，‎ ‎∴令，‎ ‎∴展开式中常数项常数项为. ‎ 故答案为：‎ ‎14.已知函数在定义域上是单调函数，若对任意的，都有则的值是___．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】因为在定义域上是单调函数，故可设，即．由，得，所以，由此可知，所以．‎ 故答案为：6.‎ ‎15.已知直线与抛物线：相交于，两点，为的焦点，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，直线过点 ，恰好是抛物线 ：的准线 与 轴的交点，如下图所示，‎ 过点，分别作 于， 于，由，则.‎ ‎ 点 为的中点，连接，则，，点的纵坐标为1， ‎ 故答案为：.‎ ‎16.设正数数列的前n项和为数列的前n项积为若，则数列中最接近2020的数是___．‎ ‎【答案】1980.‎ ‎【解析】，整理得：，‎ 由且得，.‎ ‎，.‎ 从而，因为.‎ 故答案为：1980．‎ 三､解答题:本大题共6小题，共70分，解答适应写出文字说明，证明过程或演算步骤.将解答过程写在相应答题区域，答在区域之外的判作无效.‎ ‎17.已知公差不为零的等差数列各项均为正数，其前n项和为满足且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设求数列的前n项和为 解：（1）设等差数列的公差为，由题得：，‎ ‎，‎ 整理，‎ 解得，所以；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 则，‎ ‎，‎ 两式作差：，‎ ‎，‎ 整理得：.‎ ‎18.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；‎ ‎（1）证明：无论取何值，总有；‎ ‎（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；‎ ‎（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ ‎（1）解：∵,，∴，‎ 所以无论取何值，. ‎ ‎（2）∵是平面ABC的一个法向量.‎ ‎∴‎ ‎∴当时，取得最大值，此时，，.‎ ‎（3）解：假设存在，则，设是平面的一个法向量.‎ 则得，令，得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，化简得(*)，‎ ‎∵，‎ ‎∴方程（*）无解 ‎∴不存在点使得平面与平面所成的二面角为.‎ ‎19.某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上､下班乘车所用时间，得下表 所用时间(分钟)‎ 人数 公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率：‎ ‎（1）估算公司每月用于路途补贴的费用总额(元)；‎ ‎（2）以样本频率作为概率，求随机选取四名职工，至少有两名路途补贴超过300元的概率．‎ 解：（1）补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是：‎ 其中表示不超过的最大整数 根据调查上､下班乘车所用时间表格可得：‎ 的可能取值为：，，，，‎ 的可能取值为：，，，，‎ 即：的可能取值为：，，，，．‎ 记一名职工所享受的路途补贴为(元)．‎ 的可能值为，，，，．‎ 根据调查上､下班乘车所用时间表格可得：X的分布列为 X ‎200‎ ‎240‎ ‎280‎ ‎320‎ ‎360‎ P 的均值为． ‎ 该公司每月用于路途补贴的费用总额约为：‎ ‎(元)． ‎ ‎（2）路途补贴超过元 根据补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是：‎ 其中表示不超过的最大整数 可得：当时，．‎ 名职工中路途补贴超过元的概率：‎ ‎， ‎ 记事件“名职工中至少有名路途补贴超过300元”为，‎ 当有名路途补贴超过元时，概率为：‎ 当有名路途补贴超过元时，概率为：‎ 当有名路途补贴超过元时，概率为：‎ ‎．‎ ‎20.已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）直线l平行于，且与椭圆交于两个不同点，连接(或延长)分别交x轴于点，探求是否为定值，若是，求出此定值;若不是，请说明理由．‎ 解：（1）设椭圆方程为，则，解得.‎ 所以椭圆方程为 ‎ ‎（2）设直线l的方程为，由消去y得 依题意可知，，即．‎ 设，则 ‎ 易知直线，的斜率存在，分别记为，则有，同理．‎ ‎ ‎ 所以直线的倾斜角互补，故直线与x轴始终围成一个等腰三角形．‎ 可知关于直线对称，则为定值.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）若，求证：当时，;‎ ‎（2）若在区间上单调递增，试求k的取值范围;‎ ‎（3）求证：‎ ‎（1）解：，则．所以 所以在上递增，所以 所以在上递增，故． ‎ ‎（2）解：由题得，导函数在区间上恒成立.‎ 即在区间上恒成立.‎ 设，则，故在上，单调递减；在上，单调递增；故.‎ 故，解得.即k的取值范围为． ‎ ‎（3）证明：由（1）知，对于，有，取为有，‎ 则，取，从而有，‎ 于是 ‎．‎ 请考生在第22~23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）.‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；‎ ‎（2）设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积.‎ 解：（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，‎ 即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x；‎ 由（t为参数），得，‎ 即直线l的普通方程为.‎ ‎（2）由（1）可知C为圆，且圆心坐标为（2，0），半径为2，‎ 则弦心距，‎ 弦长|PQ|＝，‎ 因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形面积 S＝2d·|PQ|＝.‎ 故该矩形面积为.‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.设函数 ‎（1）当时，解不等式：；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求的值．‎ 解：（1）当时，函数，由不等式可得 ①，或②．解①可得，解②可得，故不等式的解集为．‎ ‎（2）∵，连续函数在上是增函数，由于解集为，故，‎ 当时，有，解得．‎ 当时，则有，解得．‎ 综上可得，当或时，f（x）≤2的解集为．‎