2019届二轮复习第2练　复数与平面向量课件（52张）（全国通用） 52页

第一篇　小考点抢先练 ， 基础题不失分 第 2 练　复数与平面向量 明晰 考 情 1. 命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积 . 2 . 题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　复数的概念与四则运算 要点重组 　 (1) 复数：形如 a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的数叫做复数，其中 a ， b 分别是它的实部和虚部， i 为虚数单位 . 若 b ＝ 0 ，则 a ＋ b i 为实数；若 b ≠ 0 ，则 a ＋ b i 为虚数；若 a ＝ 0 且 b ≠ 0 ，则 a ＋ b i 为纯虚数 . (2) 复数相等： a ＋ b i ＝ c ＋ d i ⇔ a ＝ c 且 b ＝ d ( a ， b ， c ， d ∈ R ). (3) 共轭复数： a ＋ b i 与 c ＋ d i 共轭 ⇔ a ＝ c ， b ＝－ d ( a ， b ， c ， d ∈ R ). 核心考点突破练 (5) 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数 . √ 故选 D. 答案 解析 2. 已知 a ， b ∈ R ， i 是虚数单位 . 若 a － i 与 2 ＋ b i 互为共轭复数，则 ( a ＋ b i) 2 等于 A.5 － 4i B.5 ＋ 4i C.3 － 4i D.3 ＋ 4i 解析　 由已知得 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ，即 a ＋ b i ＝ 2 ＋ i ， ∴ ( a ＋ b i) 2 ＝ (2 ＋ i) 2 ＝ 3 ＋ 4i. 故选 D. 答案 解析 √ 3. 已知 i 是虚数单位， a ， b ∈ R ，则 “ a ＝ b ＝ 1 ” 是 “ ( a ＋ b i) 2 ＝ 2i ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 解析　 当 a ＝ b ＝ 1 时， ( a ＋ b i) 2 ＝ (1 ＋ i) 2 ＝ 2i ， 反过来 ( a ＋ b i) 2 ＝ a 2 － b 2 ＋ 2 ab i ＝ 2i ， 则 a 2 － b 2 ＝ 0 ， 2 ab ＝ 2 ， 解得 a ＝ 1 ， b ＝ 1 或 a ＝－ 1 ， b ＝－ 1. 故 “ a ＝ b ＝ 1 ” 是 “ ( a ＋ b i) 2 ＝ 2i ” 的充分不必要条件 ，故 选 A. 答案 解析 4. 复数 z ＝ (1 ＋ 2i)(3 － i) ，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 _____. 解析　 z ＝ (1 ＋ 2i)(3 － i) ＝ 5 ＋ 5i . 故 z 的实部为 5. 答案 解析 5 考点二 　复数的几何意义 5. 设 a ∈ R ，若 (1 ＋ 3i)(1 ＋ a i) ∈ R (i 是虚数单位 ) ，则 a 等于 √ 解析　 (1 ＋ 3i)(1 ＋ a i) ＝ 1 ＋ a i ＋ 3i － 3 a ， ∵ (1 ＋ 3i)(1 ＋ a i) ∈ R ， ∴ 虚部为 0 ，则 a ＋ 3 ＝ 0 ， ∴ a ＝－ 3. 答案 解析 6.(2018· 株洲质检 ) 设复数 z 满足 (1 ＋ i) z ＝ i ，则 | z | 等于 √ 解析　 由 (1 ＋ i) z ＝ i ， 答案 解析 解析　 由题意知， z 1 ＝－ 2 － i ， z 2 ＝ i ， ∴ z 1 ＋ z 2 ＝－ 2 ， ∴ | z 1 ＋ z 2 | ＝ 2. 答案 解析 2 解析　 因为 i 4 n ＋ k ＝ i k ( n ∈ Z ) ，且 i ＋ i 2 ＋ i 3 ＋ i 4 ＝ 0 ， 所以 i ＋ i 2 ＋ i 3 ＋ … ＋ i 2 019 ＝ i ＋ i 2 ＋ i 3 ＝ i － 1 － i ＝－ 1 ， 答案 解析 二 考点三 　平面向量的线性运算 方法技巧 　 (1) 向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减 . (3) 证明三点共线问题，可转化为向量共线解决 . 解析　 作出示意图如图所示 . √ 答案 解析 √ 又 B ， N ， P 三点共线， 答案 解析 √ 答案 解析 解析　 方法一　如图以 AB ， AD 为坐标轴建立平面直角坐标系， ∵ M ， N 分别为 BC ， CD 的中点， 12. 若 | a | ＝ 1 ， | b | ＝ ， 且 | a － 2 b | ＝ ， 则向量 a 与向量 b 夹角的 大小 是 _____. 答案 解析 考点四　平面向量的数量积 方法技巧 　 (1) 向量数量积的求法：定义法，几何法 ( 利用数量积的几何意义 ) ，坐标法 . (2) 向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法 . 13. 已知向量 a ＝ (1 ， 2) ， b ＝ (1 ， 0) ， c ＝ (3 ， 4) ，若 λ 为实数， ( b ＋ λ a ) ⊥ c ，则 λ 的值为 解析　 b ＋ λ a ＝ (1 ， 0) ＋ λ (1 ， 2) ＝ (1 ＋ λ ， 2 λ ) ， 又 c ＝ (3 ， 4) ，且 ( b ＋ λ a ) ⊥ c ， 所以 ( b ＋ λ a )· c ＝ 0 ，即 3(1 ＋ λ ) ＋ 2 λ × 4 ＝ 3 ＋ 3 λ ＋ 8 λ ＝ 0 ， √ 答案 解析 答案 解析 √ 解析　 方法一　 ( 解析法 ) 建立坐标系如图 ① 所示， 设 P 点的坐标为 ( x ， y ) ， 图 ① 方法二　 ( 几何法 ) 图 ② A.30° 　　　 B.45° 　　　 C.60° 　　　 D.120 ° 又 ∵ 0° ≤∠ ABC ≤ 180° ， ∴∠ ABC ＝ 30°. √ 答案 解析 答案 解析 16 以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示 ， 1.(2017· 全国 Ⅰ ) 设有下面四个命题： p 1 ：若复数 z 满足 ∈ R ，则 z ∈ R ； p 2 ：若复数 z 满足 z 2 ∈ R ，则 z ∈ R ； p 3 ：若复数 z 1 ， z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 ＝ ； p 4 ：若复数 z ∈ R ， 则 ∈ R . 其中的真命题为 A. p 1 ， p 3 　　 B. p 1 ， p 4 　　 C. p 2 ， p 3 　　 D. p 2 ， p 4 易错易混专项练 √ 答案 解析 解析　 设 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ， z 1 ＝ a 1 ＋ b 1 i( a 1 ， b 1 ∈ R ) ， z 2 ＝ a 2 ＋ b 2 i( a 2 ， b 2 ∈ R ). 则 b ＝ 0 ，即 z ＝ a ＋ b i ＝ a ∈ R ，所以 p 1 为真命题； 对于 p 2 ，若 z 2 ∈ R ，即 ( a ＋ b i) 2 ＝ a 2 ＋ 2 ab i － b 2 ∈ R ，则 ab ＝ 0. 当 a ＝ 0 ， b ≠ 0 时， z ＝ a ＋ b i ＝ b i ∉ R ，所以 p 2 为假命题； 对于 p 3 ，若 z 1 z 2 ∈ R ，即 ( a 1 ＋ b 1 i)( a 2 ＋ b 2 i) ＝ ( a 1 a 2 － b 1 b 2 ) ＋ ( a 1 b 2 ＋ a 2 b 1 )i ∈ R ， 则 a 1 b 2 ＋ a 2 b 1 ＝ 0. 因为 a 1 b 2 ＋ a 2 b 1 ＝ 0 ⇏ a 1 ＝ a 2 ， b 1 ＝－ b 2 ，所以 p 3 为假命题； 对于 p 4 ，若 z ∈ R ，即 a ＋ b i ∈ R ， 所以 p 4 为真命题 . 故选 B. 2. 在 △ ABC 中，有如下命题，其中正确的是 ______.( 填序号 ) ②③ 答案 解析 3. 已知向量 a ＝ (1 ， 2) ， b ＝ (1 ， 1) ，且 a 与 a ＋ λ b 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围是 ___________________. 解析　 a ＋ λ b ＝ (1 ＋ λ ， 2 ＋ λ ) ，由 a ·( a ＋ λ b )>0 ，可得 λ > . 又 a 与 a ＋ λ b 不共线， ∴ λ ≠ 0. 故 λ > 且 λ ≠ 0. 答案 解析 解题秘籍 　 (1) 复数的概念是考查的重点 ， 虚数及纯虚数的意义要把握准确 . (2) 复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化 ( 分子分母同乘以分母的共轭复数 ) ，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到 . (3) 注意向量夹角的定义和范围 . 在 △ ABC 中 ， 的 夹角为 π － B ；向量 a ， b 的夹角为锐角要和 a · b >0 区别开来 ( 不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理 ). 1. 设 i 是虚数单位，则复数 i 3 － 等于 A. － i 　　　　 B . － 3i 　　　　 C.i 　　　　 D.3i √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 2. 已知 ＝ b ＋ i( a ， b ∈ R ) ，则 a ＋ b 等于 A. － 1 B.1 C . － 2 D.2 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 方法一　由已知可得 a ＋ 2i ＝ ( b ＋ i)i ，即 a ＋ 2i ＝ b i － 1. 3. 设 i 是虚数单位，则 复数 　　 在 复平面内所对应的点 位于 A. 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D . 第四象限 √ 由复数的几何意义知，－ 1 ＋ i 在复平面内的对应点为 ( － 1 ， 1) ，该点位于第二象限，故选 B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为 M 是线段 AD 的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为点 D 在边 BC 上， 5. “ 复数 z ＝ 　　 在 复平面内对应的点在第三象限 ” 是 “ a ≥ 0 ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 解析　 由题意得 z ＝ a － 3i ， 若 z 在复平面内对应的点在第三象限，则 a <0 ，故选 D. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 故点 O 是 BC 的中点，且 △ ABC 为直角三角形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 即 a 2 ＝ 3. 又 ∵ a >0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由 AB ＝ 2 ， AC ＝ 3 ， BC ＝ ， 得 BC 2 ＝ AB 2 ＋ AC 2 ，即 ∠ A 为直角 . 以 A 点为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴， AC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系 ( 图略 ) ，则 A (0,0) ， B (2,0) ， C (0,3) ，设 m 的终点坐标为 ( x ， y ) ， ∵ | m － | ＝ 3 ， ∴ ( x － 4) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 9 ， 故 | m | 的最大值与最小值分别为圆 ( x － 4) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 9 上的点到原点距离的最大值和最小值 ，故 最大值为 5 ＋ 3 ＝ 8 ，最小值为 5 － 3 ＝ 2 ，即 最大值与最小值之和为 10 ，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故 C ， M ， D 三点共线， 也就是 △ ABM 与 △ ABC 对于边 AB 的两高之比为 3 ∶ 5 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知 z ＝ 1 ＋ i ， 则 － z 2 的共轭复数是 ______. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 ＋ 3i 解析　 ∵ z ＝ 1 ＋ i ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 12.(2018· 瓦房店模拟 ) 直线 ax ＋ y － 2 ＝ 0 与圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＝ 4 相交于 A ， B 两点， 若 ＝－ 2 ，则 a ＝ _____. 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com