2018-2019学年四川省雅安市高二下学期期末数学试题 解析版 17页

绝密★启用前 四川省雅安市2018-2019学年高二下学期期末数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知是虚数单位，若复数满足，则的虚部为（ ）‎ A．-1 B． C．1 D．-3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算可得z＝1﹣3 i，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎,∴复数z的虚部是-3‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．‎ ‎2．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合M，由此能求出M∩N．‎ ‎【详解】‎ 则 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3．三个数，，之间的大小关系是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性求解 ‎【详解】‎ ‎,故 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．‎ ‎4．函数的一个零点所在的区间是( )‎ A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数零点的判定定理进行判断即可 ‎【详解】‎ 是连续的减函数，又 ‎ 可得f（2）f（3）＜0，‎ ‎∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是(2,3)‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题．‎ ‎5．若直线和椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆1（b＞0）得出≠3，运用直线恒过（0，2），得出1，即可求解答案．‎ ‎【详解】‎ 椭圆1（b＞0）得出≠3，‎ ‎∵若直线 ‎∴直线恒过（0，2），‎ ‎∴1,解得 ，故实数的取值范围是 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎6．“”是“函数在区间单调递增”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：求出导函数，若函数在单调递增，可得 在区间上恒成立．解出，故选A 即可．‎ 详解： ， ∵若函数函数在单调递增， ∴ 在区间上恒成立． ‎ ‎∴ ，而在区间上单调递减， ∴．即“”是“函数在单调递增”的充分不必要条件. 故选A.．‎ 点睛：本题考查充分不必要条件的判定，考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属中档题．‎ ‎7．已知，则等于( )‎ A．-4 B．-2 C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对f（x）求导，将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x＝3代入即可．‎ ‎【详解】‎ 因为f′（x）＝2x+2f′（1），‎ 令x＝1，可得 f′（1）＝2+2f′（1），‎ ‎∴f′（1）＝﹣2，‎ ‎∴f′（x）＝2x+2f′（1）＝2x﹣4，‎ 当x＝3，f′（3）＝2．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运用，求出f′（1）是关键，是基础题．‎ ‎8．曲线在点处的切线方程是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，得到f′（0）＝﹣2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案．‎ ‎【详解】‎ f′（x）＝ ，∴f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣1‎ ‎∴函数图象在点（0，f（0））处的切线方程是y+1＝﹣2（x﹣0），‎ 即 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．‎ ‎9．直线被椭圆截得的弦长是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线y＝x+1代入，得出关于x的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长．‎ ‎【详解】‎ 将直线y＝x+1代入，可得，‎ 即5x2+8x﹣4＝0，‎ ‎∴x1＝﹣2，x2，‎ ‎∴y1＝﹣1，y2，‎ ‎∴直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长为 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题．‎ ‎10．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结合函数的零点求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，故，故函数为奇函数，图像关于原点对称，且.当时，即函数在时单调递增.根据函数为奇函数可知函数在时递增，且，，，画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.‎ ‎11．椭圆的左右焦点分别是，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，再利用椭圆定义得的长度，利用勾股定理求解即可 ‎【详解】‎ 由题得，且 又 由勾股定理得 ，解得 ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义及几何意义，准确求得是关键，是基础题 ‎12．已知函数在时取得极大值，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，可得当a≥0时，f（x）在x＝1取得极小值，不符合；当a＜0时，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），为使f（x）在x＝1取得极大值，则有ln（﹣a）＞1，由此求得a的范围得答案．‎ ‎【详解】‎ 由，得 f′（x）＝e2x+（a﹣e）ex﹣ae＝（ex+a）（ex﹣e）．‎ 当a≥0时，ex+a＞0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得x＜1．‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，‎ 则f（x）在x＝1取得极小值，不符合；‎ 当a＜0时，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），‎ 为使f（x）在x＝1取得极大值，则有ln（﹣a）＞1，∴a＜﹣e．‎ ‎∴a的取值范围是a＜﹣e．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值，关键是明确函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．当时，有，则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，复数相等的条件列式求解a值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i ，‎ ‎∴1﹣a=0，即a＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的分类，是基础题．‎ ‎14．若函数为奇函数，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a的值，再将1代入即可求解 ‎【详解】‎ ‎∵函数为奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）＝﹣f（x），‎ 即f（﹣x），‎ ‎∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x﹣a），‎ 即2x2+（2a﹣1）x﹣a＝2x2﹣（2a﹣1）x﹣a，‎ ‎∴2a﹣1＝0，解得a．故 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．‎ ‎15．若点P是曲线上的任意一点，则点P到直线的最小距离是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由曲线的解析式可得：，令可得：(舍去负根)，‎ 且当时，，‎ 则原问题转化为求解点与直线的距离，‎ 即：，‎ 综上可得：点到直线的最小距离是.‎ ‎16．双曲线:的左右焦点分别为，过斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，由定义得，由余弦定理得的方程求解即可 ‎【详解】‎ 根据，由双曲线定义得，又直线的斜率为，故，中由余弦定理得 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线定义及几何性质，余弦定理，运用定义得是本题关键，是中档题 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知：方程表示焦点在轴上的椭圆；：双曲线的实轴长大于虚轴长.若命题“”为真命题，“”为假命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：若真，则，解得的范围，若真，则，且，解得的范围，由为真命题，为假命题，可得，中有且只有一个为真命题，即必一真一假，即可求得的范围.‎ 试题解析：若真，则，解得：.‎ 若真，则，且，解得：.‎ ‎∵为真命题，为假命题 ‎∴ ，中有且只有一个为真命题，即必一真一假 ‎ ① 若真假，则 即；‎ ‎② 若假真，则 即.‎ ‎∴实数的取值范围为：‎ 点睛：根据命题的真假求参数的取值范围的方法：‎ ‎（1）求出当命题，为真命题时所含参数的取值范围；‎ ‎（2）判断命题，的真假性；‎ ‎（3）根据命题的真假情况，利用集合交集和补集的运算，求解参数的取值范围.‎ ‎18．小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是.‎ 几何题 代数题 合计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 合计 ‎（1）根据题目信息补全上表；‎ ‎（2）能否根据这个调查数据判断有的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？‎ 参考数据和公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎ ，其中.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2） 有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）女生中选几何题的有人，由此补全列联表即可（2）计算的值，对照临界值表下结论即可 ‎【详解】‎ ‎（1）由已知女生共20人，所以女生中选几何题的有（人），‎ 故表格补全如下：‎ 几何题 代数题 合计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（2）由列联表知 故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关 ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验，考查能力，是基础题 ‎19．设函数.‎ ‎（1）求该函数的单调区间;‎ ‎（2）求该函数在上的最小值．‎ ‎【答案】（1） 递增区间为，递减区间为；（2）-10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），解得单调区间即可；（2）由(1)的单调性知,在上的最小值只可能在处取,代入求值即可 ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 的递增区间为，递减区间为.‎ ‎(2)由(1)的单调性知,在上的最小值只可能在处取,‎ ‎ ‎ 在上的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的综合运用：求单调区间，极值，最值，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程;‎ ‎（2）直线与抛物线交于两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的定义知得值即可求解（2）设的方程为：，代入，消去得的二次方程，向量坐标化结合韦达定理得，则定点可求 ‎【详解】‎ ‎（1）由抛物线的定义知，‎ 抛物线的方程为： ‎ ‎（2）设的方程为：，代入有，‎ 设，则，‎ ‎, ‎ 的方程为：，恒过点，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，向量运算，准确计算是关键，是中档题 ‎21．已知椭圆：的左焦点，离心率为，点为椭圆上任一点，且的最小值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线过椭圆的左焦点，与椭圆交于两点，且的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1） （2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的标准方程为：1（a＞b＞0），由离心率为，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为1，求出a2＝2，b2＝1，由此能求出椭圆C的方程；（2）设的方程为：，代入得：，由弦长公式与点到线的距离公式分别求得，由面积公式得的方程即可求解 ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的标准方程为：1（a＞b＞0），‎ ‎∵离心率为，∴，∴a，‎ ‎∵点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为1，‎ ‎∴c＝1，∴a2＝b2+c2＝b2+1，‎ 解得a2＝2，b2＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程为1．‎ ‎（2）因，与轴不重合，故设的方程为：，‎ 代入得：，‎ 其恒成立，设，则有， ‎ 又到的距离 ‎，解得，‎ 的方程为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，准确计算是关键，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明.‎ ‎【答案】（1）若，则当时， ，故在单调递增．若，则当时， ；当时， ．故在单调递增，在单调递减；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时， ，则在单调递增；当时， 在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.‎ 试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），‎ ‎.‎ 若a≥0，则当x∈（0，+）时， ，故f（x）在（0，+）单调递增.‎ 若a＜0，则当x∈时， ；当x∈时， .故f（x）在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为 ‎.‎ 所以等价于，即.‎ 设g（x）=lnx-x+1，则.‎ 当x∈（0,1）时， ；当x∈（1，+）时， .所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时， ，即.‎ ‎【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.‎ ‎（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎