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- 2021-07-01 发布
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课时提升作业(十二)
定积分在几何中的应用
一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2014·广州高二检测)用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是( )
A.f(x)dx
B.f(x)dx
C.f(x)dx+f(x)dx
D.f(x)dx-f(x)dx
【解析】选D.因为在区间[a,b]上f(x)<0,
所以在区间[a,b]上对应图形的面积为-f(x)dx,
所以阴影部分的面积为:S=f(x)dx-f(x)dx.
2.由y=,x=1,x=2,y=0所围成的平面图形的面积为( )
A.ln2 B.ln2-1
C.1+ln2 D.2ln2
【解析】选A.画出曲线y=(x>0)及直线x=1,x=2,y=0,则所求面积S为如图所示阴影部分面积.
所以S=dx=lnx
=ln2-ln1=ln2.
3.已知a=(sinx,cosx),b=(cosx,sinx),f(x)=a·b,则直线x=0,x=,y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
【解题指南】求出函数解析式,确定积分区间,利用定积分的几何意义计算面积.
【解析】选C.由a=(sinx,cosx),b=(cosx,sinx),
得f(x)=a·b=2sinxcosx=sin2x,
当x∈时,sin2x≥0;
当x∈时,sin2x<0.
由定积分的几何意义,直线x=0,x=,y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为
sin2xdx-sin2xdx
=-cos2x|+cos2x|
=1+=.
【变式训练】已知a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),f(x)=a·b,则直线x=0,x=,y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由a=(cosx,sinx),
b=(cosx,-sinx),
得f(x)=a·b=cos2x-sin2x=cos2x,
当x∈时,cos2x≥0;
当x∈时,cos2x<0.
由定积分的几何意义,直线x=0,x=,y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为
cos2xdx-cos2xdx
=sin2x|-sin2x|
=-+=.
4.(2014·大连高二检测)若两曲线y=x2与y=cx3(c>0)围成图形的面积是,则c等于( )
A. B. C.1 D.
【解析】选B.由得交点(0,0),,
则S=(x2-cx3)dx
==·-·=,c=.
【误区警示】解答此题时往往误认为积分上限是1,积分区间错误的确定为[0,1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.直线x=,x=,y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积为________.
【解析】由题意画草图:
由图形知面积为
S=cosxdx=-cosxdx
=-sinx
=-(-1-1)=2.
答案:2
6.(2014·青岛高二检测)由曲线y2=2x,y=x-4所围图形的面积是________.
【解析】如图,为了确定图形的范围,
先求出这两条曲线交点的坐标,
解方程组得交点坐标为(2,-2),(8,4).
因此所求图形的面积S=dy.
取F(y)=y2+4y-,
则F′(y)=y+4-,
从而S=F(4)-F(-2)=18.
答案:18
【一题多解】联立方程组,
解得:(2,-2),(8,4),
S=2dx+(-x+4)dx=18.
答案:18
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.(2013·沈阳高二检测)求曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.
【解题指南】将阴影部分的面积表示为定积分,建立面积的目标函数求最小值.
【解析】由定积分与微积分基本定理,得S=S1+S2
=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx
=+
=t3-t3+-t2-t3+t3
=t3-t2+,t∈(0,1),
所以S′=4t2-2t,所以t=或t=0(舍去).
当t变化时,S′,S变化情况如下表:
t
S′
-
0
+
S
↘
极小值
↗
所以当t=时,S最小,且Smin=.
【拓展延伸】复杂图形面积的两个求解策略
(1)由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化分段,然后根据图象对各段分别求面积进而求和.
(2)若积分变量选取x运算较为复杂,可以选y为积分变量,同时更改积分的上、下限.
8.(2014·潍坊高二检测)如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.
【解题指南】所围图形的面积可用定积分表示,从而确定出要求的参数.
【解析】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0,x2=1,所以,抛物线与x轴所围图形的面积
S=(x-x2)dx==-=.
由可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x′1=0,x′2=1-k,
所以=(x-x2-kx)dx
==(1-k)3.
又S=,所以(1-k)3=.
于是k=1-=1-.所以k的值为1-.
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由得交点为(0,0),(1,1).
所以S=(x2-x3)dx
=
=.
2.直线x=-1,x=1,y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为
①f(x)dx;②f(|x|)dx;③|f(x)|dx;④2|f(x)|dx.
其中,正确表示的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.由于偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,当f(x)≥0时,平面图形的面积为f(x)dx
=2f(x)dx;当f(x)<0时,平面图形的面积为
-f(x)dx=-2f(x)dx.故③④正确.
3.用max{a,b}表示a,b两个数中的最大数,设f(x)=max{x2,},那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积是
( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题设知:
f(x)=
所以S=dx+x2dx
=+x3
=.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2014·北京高二检测)如图,已知点A,点P(x0,y0)(x0>0)在曲线y=x2上,若阴影部分面积与△OAP面积相等,则x0=________.
【解析】S阴=x2dx=-×03=,S△OAP=××x0=x0,由题意知=x0,
因为x0>0,所以x0=.
答案:
5.设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线x=围成的面积为b,若g(x)=2lnx-2bx2-kx在[1,+∞)上单调递减,则实数k的取值范围是________.
【解析】由题意b=2cos2xdx
=sin2x=sin=,
所以g(x)=2lnx-x2-kx,
所以g′(x)=-2x-k,
因为g(x)=2lnx-2bx2-kx在[1,+∞)上单调递减,
所以g′(x)=-2x-k<0在[1,+∞)上恒成立.
即k>-2x在[1,+∞)上恒成立.
因为-2x在[1,+∞)上递减,
所以-2x≤0,所以k>0.
由此知实数k的取值范围是(0,+∞).
答案:(0,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
6.(2014·济宁高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,求a的值.
【解析】由图知方程f(x)=0有三个实根,其中有两个相等的实根x1=x2=0,于是b=0,
所以f(x)=x2(x+a),
有=[0-(x3+ax2)]dx
=-=,
所以a=±3.
又-a>0⇒a<0,得a=-3.
7.如图,一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线形桥拱的高为常数h,宽为常数b.求抛物线桥拱的面积.
【解题指南】建立平面直角坐标系确定抛物线方程,求由曲线围成的平面图形面积.
【解析】以抛物线的顶点为原点,如图建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为y=-ax2(a>0),将抛物线上一点代入方程,则有-h=-a,
解得a=,所以抛物线方程为y=-x2.
则有S=2dx
=2(hx-x3)|=2=bh.
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