2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期期中考试数学试题 Word版 8页

‎2018-2019学年度东北育才学校上学期高二年级期中考试数学试卷 考试时间：11月 8 日 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：高二数学组 一、选择题：（每题5分，满分60分）‎ ‎1.已知命题，，则 （ C ） ‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎2.是"方程""表示焦点在轴上的椭圆的( B )‎ A. 充分不必要条件 B. 充要条件 ‎ C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3．如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前4项，则的通项公式可以是（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知双曲线的中心在坐标原点,离心率,且它的一个顶点与抛物线的焦点重合,则此双曲线的方程为（ D ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5．数列……的前项的和为( B )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数取得最小值时的的值为（ B ）‎ A. B.2 C. D. ‎ ‎7.如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则 的值是( C )‎ ‎ A.9 B.16 C.18 D. 27 ‎ ‎8.已知，分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是 ( D )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为 的内心，若成立，则的值为（ A ）‎ A． 2 B． C． D． ‎ ‎10.已知两点，点为坐标平面内的动点，满足 ‎＝0，则动点到两点、的距离之和的最小值为( B )‎ A.4 B.5 C.6 D.‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为、,是直线 上一点,且,则双曲线的离心率为( B )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12．已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为( C )‎ A．6 B． C． D．‎ 二、填空题：（每题5分，满分20分）‎ ‎13.椭圆的焦距为2，则___5或3_______‎ ‎14.下列四个命题：‎ ‎ ①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；‎ ‎ ②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；‎ ‎ ③抛物线；‎ ‎ ④已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是（－12，0）.[]‎ 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ ‎15.已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则的最小值_______________‎ ‎16．已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前28项的和 ．820‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分） ‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）若对于，不等式成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ 解：当时，‎ ‎（Ⅰ）依题意，即对恒成立 ‎ 故 ‎ ∴ ‎ ‎（Ⅱ）依题意，即对能成立 故 ‎ ∴ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知集合，集合.‎ ‎（Ⅰ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ 解： ，‎ ‎（Ⅰ）依题意，‎ ‎∴ 或 ‎ ‎∴或 ‎（Ⅱ）依题意， 即 ‎∴ ∴‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知在等差数列中，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为， ‎ 由 可得 解得，‎ 所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）, ‎ 所以 ‎ ‎20.（本小题满分12分） ‎ 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作倾斜角互补的两条不同直线，分别交椭圆于另外两点，，求证：直线的斜率是定值.‎ 解：（Ⅰ）设椭圆方程为（）‎ ‎ 则有 又 ‎∴‎ ‎∴ 解得 ‎∴‎ ‎∴椭圆的方程为 或解：椭圆的另一焦点为 ‎ 由 得 又 ‎∴‎ ‎∴椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）依题意，直线，都不垂直于轴 ‎ 设直线方程为，则直线方程为 ‎ 由 得 ‎∵‎ ‎∴ 同理 ‎∴=‎ 故直线的斜率是定值 ‎21.（本小题满分12分）‎ 在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，为数列的前项和. 设，当最大时，求的值.‎ 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则 由 得，‎ 依题意，‎ ‎∴即 解得或（舍）‎ 所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）‎ ‎∵‎ ‎∴成等差数列 ‎ ∴‎ ‎（法一） ‎ ‎ ∵ ‎ ‎ 当时，即 当时，即 当时，即 ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ 当最大时，或 ‎（法二）由得 解得 ‎ ‎ ∴ 当最大时，或 ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知点和点，记满足的动点的轨迹为曲线. ‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；[]‎ ‎（Ⅱ）已知直线：与曲线有两个不同的交点、，且与轴相交于 点. 若，为坐标原点，求面积.‎ 解：（Ⅰ）设点为曲线上任意一点 ‎ 由得 ‎ 整理得（）为所求 ‎（Ⅱ）设，，且 由得 ‎∴‎ 依题意，直线显然不平行于坐标轴，且不经过点或点 故可化为 由得 ‎ 且 ‎ 又 ‎ ‎ ‎∴‎ 消去，整理得 即 ‎∴的面积