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  • 2021-07-01 发布

2017-2018学年河北省阜城中学高二上学期第五次月考数学(理)试题 Word版

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‎2017-2018学年河北省阜城中学高二上学期第五次月考数学(理)试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.命题“对任意,都有”的否定为( )‎ A.对任意,都有 B.不存在,都有 C.存在,使得 D.存在,使得 ‎3.设,则“”是“”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.椭圆的左、右焦点分别为,过作轴的垂线交椭圆于点,过与原点的直线交椭圆于另一点,则的周长为( )‎ A.4 B.8 C. D.‎ ‎5.某种商品的广告费支出与销售额(单位:万元)之间有如下对应数据,根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出与的线性回归方程为,则表中的的值为( )‎ A.45 B.50 C.55 D.60‎ ‎6.《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何?”‎ 其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点,若的面积为,则双曲线的离心率为( )‎ A. B.2 C. D.4‎ ‎8.执行如图的程序框图,则输出的值为( )‎ A.98 B.99 C.100 D.101‎ ‎9.如下图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )‎ A.96 B. C. D.‎ ‎10.如下图,在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,,‎ ‎.若分别是棱上的点,且,,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”,若函数,,的“新驻点”分别为,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设过抛物线的焦点的直线交抛物线于点,若以为直径的圆过点,且与轴交于,两点,则( )‎ A.3 B.2 C.-3 D.-2‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.如果函数,的导函数是偶函数,则曲线在原点处的切线方程是 .‎ ‎14.已知是双曲线的左、右焦点,过的直线与的左、右两支分别交于两点.若,则双曲线的离心率为 .‎ ‎15.点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值是 .‎ ‎16.已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点,,则直线的斜率为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知中心在坐标原点的椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点,且椭圆的离心率是.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点的动直线与椭圆相交于两点.若线段的中点的横坐标是,求直线的方程.‎ ‎18. 如图,是边长为3的正方形,平面,,,与平面所成角为60°.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面.‎ ‎(Ⅱ)求锐二面角的余弦值.‎ ‎(Ⅲ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得面,并证明你的结论.‎ ‎19. 已知椭圆方程为:椭圆的右焦点为,离心率为,直线与椭圆相交于两点,且 ‎(1)椭圆的方程 ‎(2)求的面积;‎ ‎20. 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,‎ ‎(1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;‎ ‎(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及均值.‎ ‎21. 已知椭圆的离心率为,且过点,是椭圆上异于长轴端点的两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知直线,且,垂足为,,垂足为,若,且的面积是面积的5倍,求面积的最大值.‎ ‎22.已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆过点,直线交轴于,且,为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是椭圆的上顶点,过点分别作直线交椭圆于两点,设这两条直线的斜率分别为,且,证明:直线过定点.‎ ‎2017学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1-5:DDACD 6-10:DBCCD 11、12:CC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)由题知椭圆的焦点在轴上,且,‎ 又,故,‎ 故椭圆的方程为,即.‎ ‎(2)依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,将其代入,‎ 消去,整理得.‎ 设两点坐标分别为,.‎ 则 由线段中点的横坐标是,得,‎ 解得,符合(*)式.‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎18.解析:(Ⅰ)证明:∵平面,平面,∴,‎ 又∵是正方形,∴,‎ ‎∵,∴平面.‎ ‎(Ⅱ)∵两两垂直,所以建立如图空间直角坐标系,‎ ‎∵与平面所成角为60°,即,‎ ‎∴,‎ 由,可知:,.‎ 则,,,,,‎ ‎∴,,‎ 设平面的法向量为,则 ‎,即,令,则.‎ 因为平面,所以为平面的法向量,∴,‎ 所以.因为二面角为锐角,‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ)依题意得,设,则,‎ ‎∵平面,∴,即,解得:,‎ ‎∴点的坐标为,‎ 此时,∴点是线段靠近点的三等分点.‎ ‎19.解:(1)由已知,∴,∴‎ 椭圆方程为:‎ ‎(2)设,,则的坐标满足 消去化简得,,‎ ‎,得 ‎,‎ ‎.‎ ‎,,即 ‎∴‎ ‎,‎ 到直线的距离 ‎∴,‎ ‎.‎ ‎20.解:(1)∵小矩形的面积等于频率,‎ ‎∴除外的频率和为0.70,‎ ‎∴.‎ 故500名志愿者中,年龄在岁的人数为(人).‎ ‎(2)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,“年龄不低于35岁”的人有8名.‎ 故的可能取值为0,1,2,3,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 故的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴.‎ ‎21.解:(1)依题意解得 故椭圆的方程为.‎ ‎(2)设直线与轴相交于点 ‎,,‎ 由于且,‎ 得,(舍去)或,‎ 即直线经过点,‎ 设,,的直线方程为:,‎ 由即,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 令,所以,‎ 因为,所以在上单调递增,所以在上单调递增,‎ 所以,所以(当且仅当,即时“”成立),‎ 故的最大值为3.‎ ‎22.解:(1)∵椭圆过点,∴①,‎ ‎∵,∴,则,∴②,‎ 由①②得,,‎ ‎∴椭圆的方程为 ‎(2)当直线的斜率不存在时,设,则,‎ 由得 得,‎ 当直线的斜率存在时,设的方程为,,,‎ ‎,‎ 得,,‎ ‎,‎ 即,‎ 由,,‎ 即.‎ 故直线过定点.‎ ‎2017学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案 一、 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D A C D D B C C D C C 二、 填空题 ‎13、 14、‎ ‎15、 16、‎ 三、解答题 ‎17、解析:(1)由题知椭圆E的焦点在x轴上,且a=,‎ 又c=ea=×=,故b===,‎ 故椭圆E的方程为+=1,即x2+3y2=5。‎ ‎18、解析:(Ⅰ)证明:∵平面,平面,∴,‎ 又∵是正方形,∴,‎ ‎∵,∴平面.‎ ‎(Ⅱ)∵,,两两垂直,所以建立如图空间直角坐标系,‎ ‎∵与平面所成角为,即,‎ ‎∴,‎ 由,可知:,.‎ 则,,,,,‎ ‎∴,,‎ 设平面的法向量为,则 ‎,即, 令,则.‎ 因为平面,所以为平面的法向量, ∴,‎ 所以.因为二面角为锐角,‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ)依题意得,设,则,‎ ‎∵平面,∴,即,解得:,‎ ‎∴点的坐标为,‎ 此时,∴点是线段靠近点的三等分点.‎ ‎19、【解析】(1)由已知 ‎ 椭圆方程为: ‎ ‎(2)设A(,B,则, 的坐标满足 消去化简得, , ‎ ‎, 得 ‎,‎ ‎.‎ ‎, ,即 即,=.‎ O到直线的距离 ‎,‎ ‎.‎ ‎20、【解析】 (1)∵小矩形的面积等于频率,∴除[35,40)外的频率和为0.70,∴x==0.06.‎ 故500名志愿者中,年龄在[35,40)岁的人数为0.06×5×500=150(人).‎ ‎(2)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,“年龄不低于35岁”的人有8名.‎ 故X的可能取值为0,1,2,3,‎ P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.‎ ‎(1)依题意解得 故椭圆的方程为.‎ ‎(2)设直线与轴相交于点 , ,‎ 由于且,得, (舍去)或,‎ 即直线经过点,‎ 设, , 的直线方程为: ,‎ 由即,, ,‎ ‎ ,‎ 令,所以,‎ 因为,所以在上单调递增,所以在上单调递增,‎ 所以,所以(当且仅当,即时“”成立),‎ 故的最大值为3.‎ ‎22.试题解析:(1)∵椭圆过点,∴① ,‎ ‎∵,∴,则,∴②,由①②得,‎ ‎∴椭圆的方程为 得,‎ ‎,‎ 即,‎ 由,‎ 即.‎ 故直线过定点.‎

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