高中数学讲义微专题75 几何问题的转换 17页

微专题 75 几何问题的转换 一、基础知识： 在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件 的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列 举常见的一些几何条件的转化。 1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段 后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐 标的运算，与方程和变量找到联系 2、常见几何问题的转化： （1）角度问题： ① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率 ② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号 进行判定 （2）点与圆的位置关系 ① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题 目中计算量较大 ② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内， 为钝角（再转为向量： ；若点在圆上，则 为直角（ ）； 若点在圆外，则 为锐角（ ） （3）三点共线问题 ① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线 （4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算： ，则 共线 ； （5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系 （6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意 向量的方向是同向还是反向） k ACB 0CA CB   ACB 0CA CB   ACB 0CA CB      1 1 2 2, , ,a x y b x y   ,a b  1 2 2 1x y x y  a b  1 2 1 2 0x x y y   3、常见几何图形问题的转化 （1）三角形的“重心”：设不共线的三点 ，则 的重心 （2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为 向量数量积为零 （3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如 图）： 在 的角平分线上 （4） 是以 为邻边的平行四边形的顶点 （5） 是以 为邻边的菱形的顶点： 在 垂直平分线上 （6）共线线段长度的乘积：若 共线，则线段的乘积可 转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角） 例如： ，      1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y ABC 1 2 3 1 2 3,3 3 x x x y y yG         ,IP AC IQ AQ  I BAC AI AC AI ABAP AQ AC AB            P ,DA DB DP DA DB     P ,DA DB P AB , ,A B C AC AB AC AB    AC BC AC BC     B C A I Q P A P D B A P D B A BC 二、典型例题： 例 1：如图： 分别是椭圆 的左右顶点， 为其右焦点， 是 的等差中项， 是 的等比中项 （1）求椭圆 的方程 （2）已知 是椭圆 上异于 的动点，直线 过点 且垂直 于 轴，若过 作直线 ，并交直线 于点 。证明： 三点共线 解：（1）依题意可得： 是 的等差中项 是 的等比中项 椭圆方程为： （2）由（1）可得： 设 ，设 ，联立直线与椭圆方程可得： 另一方面，因为 ,A B   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    F 2 ,AF FB 3 ,AF FB C P C ,A B l A x F FQ AP l Q , ,Q P B      ,0 , ,0 , ,0A a B a F c ,AF c a BF a c     2 ,AF FB 4 2AF FB a c a c a        2a  3 ,AF FB     2 2 2 23 AF FB a c a c a c b         2 3b   2 2 14 3 x y       2,0 , 2,0 , 1,0A B F  : 2AP y k x   1 1,P x y     2 2 2 2 2 23 4 12 4 3 16 16 12 0 2 x y k x k x k y k x            2 2 1 12 2 16 12 6 8 4 3 4 3A k kx x xk k        1 1 2 122 4 3 ky k x k     2 2 2 6 8 12,4 3 4 3 k kP k k       FQ AP 1 FQk k   ，联立方程： 三点共线 例 2：已知椭圆 的右焦点为 ， 为上顶点， 为坐标原点，若△ 的面积为 ，且椭圆的离心率为 ． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线 交椭圆于 ， 两点，且使点 为△ 的垂心？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1） 椭圆方程为： （2）设 ， 由（1）可得： 为△ 的垂心 设  1: 1FQ y xk     1 1 32, 2 y x Qk kx              2,0B   30 3 2 2 4BQ kk k       2 2 2 2 120 12 34 3 6 8 16 42 4 3 BP k kkk k k k k       BQ BPk k  , ,B Q P )0(12 2 2 2  bab y a x F M O OMF 2 1 2 2 l P Q F PQM l 1 1 1 2 2 2OMFS OM OF bc     2 : : 2 :1:12 ce a b ca    1b c   2 2 2 2a b c     2 2 12 x y  ),( 11 yxP ),,( 22 yxQ    0,1 , 1,0M F 1MFk   F PQM MF PQ  1 1PQ MF k k    :PQ y x m  由 为△ 的垂心可得： ① 因为 在直线 上 ，代入①可得： 即 ② 考虑联立方程： 得 ． , ．代入②可得： 解得： 或 当 时，△ 不存在，故舍去 当 时，所求直线 存在，直线 的方程为 小 炼 有 话 说 ：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边， 所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜 率关系） 例 3 ： 如 图 ， 椭 圆 的 一 个 焦 点 是 ， 为坐标原点. （1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求 F PQM MP FQ    1 1 2 2, 1 , 1,MP x y FQ x y        1 2 1 21 1 0MP FQ x x y y        ,P Q y x m  1 1 2 2 y x m y x m         1 2 1 21 1 0x x x m x m      0)1)((2 2 2121  mmmxxxx 2 22 2 y x m x y      02243 22  mmxx  2 2 216 12 2 2 0 3m m m       1 2 4 3 mx x    3 22 2 21  mxx   2 22 2 42 1 03 3 m mm m m            4 3m   1m  1m PQM 3 4m l l 3 4 xy )0(12 2 2 2  bab y a x  1,0F O 椭圆的方程； （2）设过点 且不垂直 轴的直线 交椭圆于 两点，若直线 绕点 任意转动，恒有 , 求 的取值范围. 解：（1）由图可得： 　由正三角形性质可得： 　　　 　　　　 椭圆方程为： （2）设 ， 为钝角 联立直线与椭圆方程： ，整理可得： 恒成立 F x l ,A B l F 2 2 2OA OB AB  a 10, 3M b     3,6 3MFMFO k    1 0 33 0 1 3MF b k      3b  2 2 2 4a b c     2 2 14 3 x y   : 1l y k x     1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 2OA OB AB  2 2 2 cos 02 OA OB ABAOB OA OB      AOB 1 2 1 2 0OA OB x x y y         22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 y k x b x a k x a b b x a y a b          2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0a k b x a k x a k a b     2 2 2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 ,a k a k a bx x x xa k b a k b          2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1y y k x x k x x k x x k        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a k a b a k k b a b kk k ka k b a k b a          2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 0a k a b k b a b kx x y y a k b       2 2 2 2 2 2 2 2 2 0a k a b k b a b k    即 恒成立 解得： 的取值范围是 例 4：设 分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距， 且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为 （1）求椭圆的方程； （2）设 为直线 上不同于点 的任意一点， 若 直线 分别与椭圆相交于异于 的点 ，证明：点 在以 为直径的圆内 解：（1）依题意可得 ，且到 右焦点距离的最小值为 可解得： 椭圆方程为 （2）思路：若要证 在以 为直径的圆内，只需证明 为钝角，即 为锐角， 从而只需证明 ，因为 坐标可求，所以只要设出 直线（斜率为 ） ， 联立方程利用韦达定理即可用 表示出 的坐标，从而 可用 表示。即可判断 的符号，进而完成证明 解：由（1）可得 ，设直线 的斜率分别为 ， ，则 联立 与椭圆方程可得： ，消去 可得：  2 2 2 2 2 2 2k a b a b a b   2 2 2 2 0a b a b    2 2 1b a   2 2 22 1 1 0a a a     1 5 2a  a 1 5 ,2       ,A B   2 2 2 2 1 0x y a ba b    1 P 4x   4,0 ,AP BP ,A B ,M N B MN 2a c 1a c  2, 1a c  3b   2 2 14 3 x y  B MN MBN MBP 0BM BP   ,A B AM k k M BM BP  1k BM BP     2,0 , 2,0A B ,AM BN k  1 1,M x y  : 2AM y k x  AM   2 2 2 3 4 12 y k x x y     y  2 2 2 24 3 16 16 12 0k x k x k     2 2 1 12 2 16 12 6 8 4 3 4 3A k kx x xk k       A B (4,0) M N P o y x ，即 设 ，因为 在直线 上，所以 ，即 为锐角， 为钝角 在以 为直径的圆内 例 5：如图所示，已知过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线 相交于 两点，与椭圆 的交点为 ，是否存在 直线 使得 ？若存在，求出直线 的方程， 若不存在，请说明理由 解：依题意可知抛物线焦点 ，设 ，不妨设 则 设 考虑联立直线与抛物线方程： ，消去 可得： ① 1 1 2 122 4 3 ky kx k k     2 2 2 6 8 12,4 3 4 3 k kM k k        04,P y P AM  0 4 2 6y k k    4,6P k   2 2 2 16 122,6 , ,4 3 4 3 k kBP k BM k k           2 2 2 2 2 32 12 406 04 3 4 3 4 3 k k kBP BM kk k k            MBP MBN M MN 2 4x y F l ,A B 2 23 3 14 2y x  ,C D l AF CF BF DF   l  0,1F : 1l y kx  AF CF BF DF   AF DF BF CF  AF DF BF CF   ,AF FB DF FC             1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,A x y B x y C x y D x y    1 1 2 2,1 , , 1AF x y FB x y          3 3 4 4,1 , , 1CF x y FD x y      1 2 3 4 x x x x      2 2 1 4 4 0 4 y kx x kx x y         1 2 2 2 1 2 2 1 4 4 x x x k x x x            2x  2 21 4k     联立直线与椭圆方程： ，整理可得： ② 由①②可得： ，解得： 所以存在满足条件的直线，其方程为： 例 6：在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的准线方程为 ，过点 作抛物线的切线 ，切点为 （异于点 ），直线 过点 与抛物线交于两点 ，与直线 交于点 （1）求抛物线的方程 （2）试问 的值是否为定值？若是，求出定值；若 不是，请说明理由 解：（1）由准线方程可得： 抛物线方程： （2）设切点 ，抛物线为 切线斜率为 切线方程为： ，代入 及 可得： ，解得： （舍）或  22 2 2 1 6 3 1 4 6 3 4 y kx x kx x y          2 23 6 6 1 0k x kx     3 4 4 2 2 3 4 4 2 61 3 6 1 3 6 kx x x k x x x k                 2 2 2 1 36 3 6 k k       2 2 2 364 3 6 kk k    2 1 1k k    1y x   xOy  2 2 0x py p  1 2y    4,0M MA A O l M ,P Q OA N MN MN MP MQ 1 12 2 p p      2 2x y  0 0,A x y 21 2y x 'y x   0k x   0 0 0y y x x x    4,0M 2 0 0 1 2y x  2 0 0 0 1 42 x x x   0 0x  0 8x  设 共线且 在 轴上 联立 和抛物线方程： ，整理可得： 再联立 直线方程： 例 7：在 中， 的坐标分别是 ，点 是 的重心， 轴上一 点 满足 ∥ ，且 （1）求 的顶点 的轨迹 的方程 （2）直线 与轨迹 相交于 两点，若在轨迹 上存在点 ，使得四边形 为平行四边形（其中 为坐标原点），求 的取值范围 解：（1）设 由 是 的重心可得： 由 轴上一点 满足平行关系，可得 由 可得： 化简可得：  8,32A : 4OA y x : 4PQ x my  , , ,M P N Q M x 1 1 P QN N N N P Q P Q P Q y yMN MN y y y yMP MQ y y y y y y              PQ   2 22 4 2 4 x y my y x my         2 2 8 2 16 0m y m y    2 2 2 8 16,P Q P Q my y y ym m      ,OA PQ 4 16 4 1 4N y x yx my m       2 2 2 8 16 2161 4 P Q N P Q m y yMN MN myMP MQ y y m m         ABC ,A B    2,0 , 2,0 G ABC y M GM AB MC MB ABC C E :l y kx m  E ,P Q E R OPRQ O m  ,C x y G ABC ,3 3 x yG     y M 0, 3 yM      MC MB   2 22 21 0 23x y y y          2 2 1 02 6 x y y   的轨迹 的方程为： （2） 四边形 为平行四边形 设 在椭圆上 ① 因为 在椭圆上，所以 ，代入①可得： ② 联立方程可得： 代入②可得： 有两不等实根可得： ，即 ，代入 另一方面： 或 C E   2 2 1 02 6 x y y    OPRQ OR OP OQ        1 1 2 2, , ,P x y Q x y  1 2 1 2,R x x y y   R    2 2 1 2 1 23 6x x y y        2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 23 3 6 2 6x y x y x x y y      ,P Q 2 2 1 1 2 2 2 2 3 6 3 6 x y x y      1 2 1 2 1 2 1 26 2 12 6 3 3x x y y x x y y        2 2 2 2 2 3 2 6 0 3 6 y kx m k x kmx m x y           2 1 2 1 22 2 2 6,3 3 km mx x x xk k            2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 6 3 m ky y kx m kx m k x x km x x m k           2 2 2 2 2 2 2 6 3 63 3 2 33 3 m m k m kk k           2 2 23 2 6 0k x kmx m       2 2 2 24 4 3 6 0k m k m      2 23 6 18 0m k    2 22 3k m   2 2 23 6 2 3 18 0 0m m m       2 22 3 0m k   2 3 6 2 2m m    6 2m   例 8：已知椭圆 的离心率为 ，直线 过点 ，且 与椭圆 相切于点 （1）求椭圆 的方程 （ 2 ） 是 否 存 在 过 点 的 直 线 与 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点 ， 使 得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由 解（1） 椭圆方程化为： 过 设直线 联立直线与椭圆方程： 消去 可得： 整理可得： 与椭圆相切于 椭圆方程为： ，且可解得 （2）思路：设直线 为 ， ，由（1）可得： ，再 由 可知 ，若要求得 （或证明不存在满足条件的 ），则可通过等式 列出关于 的方程。对于 ，尽管可以用两点间距离公式 表示出 ，但运算较为复杂。观察图形特点可知 共线，从而可想到利用向 量数量积表示线段的乘积。因为 同向，所以 。写出 6 6, ,2 2m                 2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1 2 l    4,0 , 0,2A B C P C  4,0A m ,M N 236 35AP AM AN  m 1 2 ce a  : : 2 : 3 :1a b c   2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 124 3 x y x y cc c     l    4,0 , 0,2A B  1: 1 24 2 2 x yl y x      2 2 23 4 12 1 22 x y c y x       y 2 2 213 4 2 122x x c       2 22 4 3 0x x c    l P  24 4 4 3 0 1c c        2 2 14 3 x y  31, 2P     m  4y k x     1 1 2 2, , ,M x y N x y 31, 2P      4,0A 2 45 4AP  k k 236 35AP AM AN  k AM AN ,AM AN , ,A M N ,AM AN  AM AN AM AN    ,AM AN  的坐标即可进行坐标运算，然后再联立 与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于 的方程，求解即可 解：由题意可知直线 斜率存在，所以设直线 由（1）可得： 共线且 同向 联立直线 与椭圆方程： 消去 并整理可得： ，代入 ， 可得： 可解得： ，另一方面， 若方程 有两不等实根 则 解得: 符合题意 m k m      1 1 2 2: 4 , , , ,m y k x M x y N x y  31, 2P       2 2 2 3 451 4 02 4AP          , ,A M N ,AM AN  AM AN AM AN        1 1 2 24, , 4,AM x y AN x y         1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 4 4 16AM AN x x y y x x y y x x            m   2 23 4 12 4 x y y k x      y  2 2 2 24 3 32 64 12 0k x k x k     2 2 1 2 1 22 2 32 64 12,4 3 4 3 k kx x x xk k         2 2 1 2 1 2 2 364 4 4 3 ky y k x x k        22 2 2 2 2 2 2 36 164 12 36 324 164 3 4 3 4 3 4 3 kk k kAM AN k k k k              236 35AP AM AN  2 45 4AP   2 2 36 1 4 3 k AM AN k        2 2 36 14536 354 4 3 k k      2 1 2 8 4k k     2 2 2 24 3 32 64 12 0k x k x k         22 2 232 4 4 3 64 12 0k k k      1 1 2 2k   2 4k   直线 的方程为： ，即： 或 例 9：设椭圆 的左，右焦点分别为 ，上顶点为 ，过点 与 垂直的直线交 轴负半轴与点 ，且 （1）求椭圆 的离心率 （2）若过 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 的方程 （3）在（2）的条件下，过右焦点 作斜率为 的直 线 与椭圆 交于 两点，在 轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形是菱 形？如果存在，求出 的取值范围；如果不存在，请 说明理由 解：（1）依题意设 由 可得： （2）由（1）可得：  m  2 44y x   2 24y x  2 24y x     2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1 2,F F A A 2AF x Q 1 2 22 0F F F Q    C 2, ,A Q F : 3 3 0l x y   C 2F k l C ,M N x  ,0P m ,PM PN m        1 2 00, , ,0 , ,0 , ,0A b F c F c Q x    1 2 2 02 ,0 , ,0F F c F Q x c     1 2 22 0F F F Q     0 04 0 3c x c x c        3 ,0Q c  2 ,3AQ AF b bk kc c    2AQ AF 2 2 2 2 2 1 33AQ AF bk k b cc       2 2 2 2 23 4a c c a c     1 2e  : : 2 : 3 :1a b c  2AQ AF 的外接圆的直径为 ，半径设为 ，圆心 由圆与直线相切可得： 解得： 椭圆方程为 （3）由（2）得 ：设直线 设 ，若 为邻边的平行四边形是菱形 则 为 垂直平分线上的点 设 中点 的中垂线方程为： ，即 代入 可得： 联立方程： 2, ,A Q F 2QF r    23 ,0 , ,0Q c F c  2 1 22r QF c    ,0c 3 2 3 42 cd c c c      1c  2, 3a b    2 2 14 3 x y     1 21,0 , 1,0F F  : 1l y k x     1 1 2 2, , ,M x y N x y ,PM PN P MN     2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 3 4 12 3 4 0 3 4 12 x y x x y y x y                1 2 1 2 1 2 1 23 4 0x x x x y y y y       ,M N  0 0,x y 0 0 0 0 33 4 0 4 xx ky y k      MN  0 0 1y y x xk    0 0 0x ky ky x     ,0P m 1 2 0 0 0 10 4 8 x xm ky x m x           2 2 2 2 2 23 4 12 4 3 8 4 12 0 1 x y k x k x k y k x            2 1 2 2 8 4 3 kx x k    2 2 2 1 10,34 3 44 km k k         所以存在满足题意的 ，且 的取值范围是 例 10：已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛 物线的交点为 ，且 （1）求抛物线 的方程 （2）过 的直线 与抛物线 相交于 两点，若 垂直平分线 与 相交于 两点， 且 四点在同一个圆上，求 的方程 解：（1）设 ，可的 且 解得 抛物线 （2）由（1）可得 可设直线 联立方程 设 ，则有 的中点 且 由直线 可得 的斜率为 设 整理可得： 与 联立消去 可得： 设 P m 10, 4      C  2 2 0y px p  F 4y  y P Q 5 4QF PQ C F l C ,A B AB 'l C ,M N , , ,A M B N l  0,4Q x 2 0 0 84 2px x p   8 ,4Q p       0,4P 8PQ p  0 8 2 2 p pQF x p    5 4QF PQ 8 5 8 2 4 p p p    2p   2: 4C y x  1,0F : 1l x my  2 24 4 4 0 1 y x y my x my            1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 24 , 4y y m y y      2 1 2 1 2 2 4 2x x m y y m       AB  22 1,2D m m  2 2 1 21 4 1AB m y y m     : 1l x my  'l m    ' 2: 2 2 1l y m m x m       21 2 3x y mm    2 4y x x  2 24 4 2 3 0y y mm       3 3 4 4, , ,M x y N x y 的中点 ，因为 共圆， 所以 整理后可得： 的方程为： 或  2 3 4 3 4 4 , 4 2 3y y y y mm         2 2 3 4 3 4 2 1 44 6 4 6x x y y m mm m          MN 2 2 2 22 3,E mm m        2 2 2 4 1 2 1m m MN m    , , ,A M B N 2 2 22DE AD r ME   2 2 21 1 4 4DE AB MN        22 22 2 22 2 4 4 1 2 12 22 2 4 1 m m m mm m m                  2 1 0 1m m     l 1 0x y   1 0x y  