2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高二下学期第二次统考数学（理） Word版 11页

舒城中学2018—2019学年度第二学期第二次统考 高二理数 一、单选题（每小题5分，共60分)‎ ‎1．复数z=‎‎1+i‎2‎‎1-i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（ C ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设函数f(x)‎的导函数为f‎'‎‎(x)‎，则区间D为其定义域的子集，命题p:“x∈D时, f‎'‎‎(x)>0‎”p是“f(x)‎在区间D上是增函数”的充分不必要条件，命题q：“x‎0‎是f‎'‎‎(x)‎的零点”是“x‎0‎是f(x)‎的极值点”的充要条件，则下列符合命题中的真命题是（ B ）‎ A．‎(¬p)∧q B．p∧(¬q)‎ C．‎(¬p)∨q D．‎p∧q ‎3．若双曲线y‎2‎a‎2‎‎-x‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的离心率是（ C ）‎ A．‎5‎ B．‎3‎ C．‎5‎‎2‎ D．‎‎3‎‎2‎ ‎4．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。甲说：“是丙或丁打碎的。”乙说：“是丁打碎的。”丙说：“我没有打碎玻璃。”丁说：“不是我打碎的。”他们中只有一人说了谎，请问是（ D ）打碎了玻璃。‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁打碎了玻璃；故选：D ‎5．已知向量a‎=(3,2)‎，b‎=(x,1-y)‎且a‎∥‎b，若实数x，y均为正数，则‎3‎x‎+‎‎2‎y的最小值是（ D ）‎ A．24 B．‎5‎‎3‎ C．‎8‎‎3‎ D．8‎ ‎6．已知点‎(-π‎12‎,0)‎是函数f(x)=Asin(2x+φ)‎的对称中心，则函数f(x)‎的一个单调区间可以为（ A ）‎ A．π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎ B．π‎3‎‎,‎‎3π‎4‎ C．‎-π‎6‎,‎π‎3‎ D．‎‎-π‎3‎,‎π‎4‎ ‎【详解】由题意知，点‎(-π‎12‎,0)‎是函数f(x)=Asin(2x+φ)‎的对称中心，‎ 所以f(-π‎12‎)=Asin(-π‎6‎+φ)=0‎，取‎-π‎6‎+φ=0‎，解得φ=‎π‎6‎，即f(x)=Asin(2x+π‎6‎)‎，‎ 令π‎2‎‎+2kπ≤2x+π‎6‎≤‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z，整理得π‎6‎‎+kπ≤x≤‎2π‎3‎+kπ,k∈Z，‎ 令k=0‎，得π‎6‎‎≤x≤‎‎2π‎3‎，即函数fx在区间‎[π‎6‎,‎2π‎3‎]‎单调递减，故选A.‎ ‎7．‎-4‎‎4‎‎(‎cos(x+π‎2‎)+‎16-‎x‎2‎)dx=(‎　A　‎‎)‎ A．‎8π B．‎4π C．‎2π D．‎π ‎【详解】‎∵cos(x+π‎2‎)=-sinx，‎ 令y=‎16-‎x‎2‎≥0‎，两边平方得y‎2‎‎=16-‎x‎2‎，则有x‎2‎‎+y‎2‎=16‎，所以，函数y=‎‎16-‎x‎2‎在x∈[-4,4]‎上的图象是圆x‎2‎‎+y‎2‎=16‎的上半部分，‎ 所以，‎-4‎‎4‎‎16-‎x‎2‎dx=‎1‎‎2‎×π×‎4‎‎2‎=8π．所以，‎-4‎‎4‎‎(‎cos(x+π‎2‎)+‎16-‎x‎2‎)dx=‎-4‎‎4‎‎(‎‎16-‎x‎2‎-sinx)dx=‎-4‎‎4‎‎16-‎x‎2‎dx-‎-4‎‎4‎sinxdx=8π+cosx‎|‎‎-4‎‎4‎=8π，故选A．‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( B )‎ A．‎4‎‎3‎ B． ‎8‎‎3‎ C．‎4‎‎9‎ D．‎‎8‎‎9‎ ‎【详解】‎ 根据几何体的三视图得该几何体是四棱锥M-PSQN且四棱锥是棱长为2的正方体的一部分,直观图如图所示,由正方体的性质得,所以该四棱锥的体积为:‎ ‎ V=V三棱柱-V三棱锥=‎1‎‎2‎⋅‎2‎‎2‎⋅2-‎1‎‎3‎⋅‎1‎‎2‎⋅‎2‎‎2‎⋅2=‎‎8‎‎3‎,故B正确.‎ ‎9．将正奇数数列‎1,3,5,7,9,⋯⋯‎依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： ‎(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),⋯⋯‎,称‎(1,3)‎为第1组，‎(5,7,9)‎为第2组，‎ 依此类推，则原数列中的‎2019‎位于分组序列中( D )‎ A．第‎809‎组 B．第‎405‎组 C．第‎808‎组 D．第‎404‎组 ‎ ‎【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为an‎=2n-1,‎ 则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组 选D.‎ ‎10．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】由题意知必存在唯一的正实数，满足， ①，∴ ②，由①②得： ，∴，解得．故，由方程在区间上有两解， 即有在区间上有两解，由，可得，当时， ， 递减；当时， ， 递增． 在处取得最大值， ， ，分别作出，和的图象，可得两图象只有一个交点，将的图象向上平移，至经过点，有两个交点，由，即，解得，当时，两图象有两个交点，即方程两解．故选A．‎ ‎11．如图，焦点在x轴上的椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎（a>0‎）的左、右焦点分别为F‎1‎，F‎2‎，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F‎2‎P与y轴的正半轴交于A点，ΔAPF‎1‎的内切圆在边PF‎1‎上的切点为Q，若‎|F‎1‎Q|=4‎，则该椭圆的离心率为（ D ）‎ A．‎1‎‎4‎ B．‎1‎‎2‎ C．‎7‎‎4‎ D．‎‎13‎‎4‎ ‎【解析】试题分析：如下图所示，设另外两个切点分别为M，N，由题意得，‎|F‎1‎Q|=|F‎1‎M|=4‎，设‎|AM|=|AN|=x，‎|PN|=|PQ|=y，根据对称性可知，‎|AF‎1‎|=|AF‎2‎|⇒|PF‎2‎|=|AF‎2‎|-|AP|=|AF‎1‎|-|AP|=4+y-x-y=4-x，∴‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=4-x+4+x=8=2a⇒a=4‎，∴c=‎16-3‎=‎‎13‎，离心率e=ca=‎‎13‎‎4‎，故选D．‎ ‎12．定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围是（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】试题分析：当时，由单调性可求出.由有,当时,,故.‎ ‎,,故在为增函数,,即,由题意有,所以,,故选B.‎ 二、填空题（每小题5分)‎ ‎13．复数z=‎‎1+2ii（i是虚数单位）的虚部是_______．‎ ‎【答案】-1‎ ‎14．不难证明：一个边长为a，面积为S的正三角形的内切圆半径r=‎‎2S‎3a，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为S，体积为V，则其内切球的半径为_____________．‎ ‎【解析】由题意得‎3⋅(‎1‎‎2‎ar)=S，故r=‎‎2S‎3a．将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为R，则‎4⋅(‎1‎‎3‎SR)=V，∴R=‎‎3V‎4S，即内切球的半径为‎3V‎4S．答案：‎‎3V‎4S ‎15．三棱锥S-ABC中,侧棱SA⊥‎底面ABC,AB=5‎,BC=8‎,‎∠B=60°‎,SA=2‎‎5‎,则该三棱锥的外接球的表面积为___________.‎ ‎【解析】在‎∆ABC中，由余弦定理得‎，AC‎2‎=AB‎2‎+BC‎2‎-2AB∙BC∙cos‎60°‎‎=5‎‎2‎+‎8‎‎2‎-2×5×8×cos‎60°‎=49，‎∴AC=7．‎该三棱锥的外接球，即为以‎∆ABC为底面以SA为高的直三棱锥的外接球，设‎∆ABC的外接圆半径为r，‎则ACsin60°‎‎=2r，‎∴‎r=‎7‎‎3‎，‎ 由题意得，球心到‎∆ABC的外接圆圆心的距离d=‎5‎，‎故球的半径R=‎‎5+‎‎49‎‎3‎=‎‎64‎‎3‎‎．‎ ‎∴该三棱锥的外接球的表面积为‎4π×‎64‎‎3‎=‎256π‎3‎．‎ ‎16．定义在R上的函数fx的导函数为f‎'‎x，若对任意实数x，有fx>‎f‎'‎x，且fx+‎π‎2018‎为奇函数，则不等式fx+π‎2018‎ex<0‎的解集是______．‎ ‎【详解】设gx=‎fxex 则g'x=f'xex-exfxe‎2x=‎f'x-fxex又因为对任意实数x，有fx>‎f‎'‎x所以g'x=f'x-fxex<0‎所以gx=‎fxex为减函数，因为定义在R上的函数fx满足fx+‎π‎2018‎为奇函数，由奇函数定义可知f‎0‎+‎π‎2018‎=0，即f‎0‎=-‎π‎2018‎ 不等式fx+π‎2018‎ex<0‎所以fx<-π‎2018‎ex=f‎0‎ex，同时除以ex得fxex‎<‎f‎0‎e‎0‎，即gx0‎ ，即不等式fx+π‎2018‎ex<0‎的解集为‎0,+∞‎ 三、解答题（共6大题，总分70分)‎ ‎17．设命题p:实数x满足x‎2‎‎-4ax+3a‎2‎<0‎,其中a>0‎,命题q:实数x满足x‎2‎‎-x-6≤0,‎x‎2‎‎+2x-8>0.‎．‎ ‎（1）若a=1‎且p∧q为真,求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若‎¬p是‎¬‎ q的充分不必要条件,求实数a的取值范围．‎ ‎【详解】解:（1）当a=1‎时，p:‎x‎10‎a≤2‎‎3a>3‎，解得‎1