2019高三数学（人教A版理）一轮教师用书：第1章 第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件 11页

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．‎ ‎(对应学生用书第3页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 图121‎ ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件与必要条件 ‎(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；‎ ‎(2)若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；‎ ‎(5)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎[知识拓展]　集合与充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：‎ ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．‎ ‎(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．‎ ‎(3)若A＝B，则p是q的充要条件．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．(　　) ‎ ‎(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(　　)‎ ‎(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)‎ ‎(5)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．‎ ‎(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．‎ ‎(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．‎ ‎(4)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．‎ ‎(5)正确．原命题与逆否命题是等价命题．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√‎ ‎2．(教材改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)‎ A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1‎ C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ C　[“若p，则q”的逆否命题是“若﹁q，则 ﹁p”，显然﹁q：tan α≠1，﹁p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．]‎ ‎3．“x＝1”是“(x－1)(x＋2)＝0”的(　　)‎ A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x＝1或－2.]‎ ‎4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为(　　)‎ A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4‎ B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]‎ ‎5．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[∵2－x≥0，∴x≤2.∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.‎ ‎∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2，‎ ‎∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．‎ 故选B．]‎ ‎(对应学生用书第4页)‎ 四种命题的关系及其真假判断 ‎　(1)命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是(　　)‎ A．若a2＞b2，则a≤b　 B．若a2≤b2，则a≤b C．若a≤b，则a2＞b2 D．若a≤b，则a2≤b2‎ ‎(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题 B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题 ‎(1)B　(2)B　[(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若﹁p，则﹁q”．该题中，p为a2＞b2，q为a＞b，故﹁p为a2≤b2，﹁q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.‎ ‎(2)对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则≤1”，易知为假命题，故选B．]‎ ‎[规律方法]　命题真假的两种判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.‎ (2)利用原命题与逆否命题 逆命题与否命题的等价关系进行判断.‎ 易错警示：(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：‎ ‎①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.‎ (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·南昌十校二模)已知命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　) ‎ ‎【导学号：97190007】‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ D　[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”‎ ‎，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.]‎ 充分条件与必要条件的判断 ‎　(1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(1)A　(2)B　[(1)法一　由题意知|m|≠0，|n|≠0.‎ 设m与n的夹角为θ.‎ 若存在负数λ，使得m＝λn，‎ 则m与n反向共线，θ＝180°，‎ ‎∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.‎ 当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.‎ 故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．‎ 故选A．‎ 法二　∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.‎ ‎∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.‎ 反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，‎ 当〈m，n〉∈时，m，n不共线．‎ 故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎(2)由a3＞b3可得a＞b，当a＜0，b＜0时，ln a，ln b无意义；反之，由ln a＞ln b可得a＞b，故a3＞b3.因此“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的必要不充分条件．]‎ ‎[规律方法]　充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.‎ (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.‎ (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·天津高考)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)(2018·合肥第一次质检)[数学文化]祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(1)A　(2)A　[(1)∵<，‎ ‎∴－<θ－<，‎ 即0<θ<.‎ 显然0<θ<时，sin θ<成立．‎ 但sin θ<时，由周期函数的性质知0<θ<不一定成立．‎ 故0<θ<是sin θ<的充分而不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎(2)由祖暅原理可得﹁q⇒﹁p，即p⇒q，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p是q的充分不必要条件，故选A．]‎ 充分条件、必要条件的应用 ‎　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．‎ ‎[0,3]　[由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.‎ 则∴0≤m≤3.‎ 即所求m的取值范围是[0,3]．]‎ ‎1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．‎ ‎[解]　由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，‎ 则解得m≥9，‎ 即所求m的取值范围是[9，＋∞)．‎ ‎2．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由．‎ ‎[解]　不存在．‎ 理由：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴ ‎∴无解，‎ ‎∴不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ ‎[规律方法]　根据充要条件求解参数范围的方法 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.‎ 易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，－1)‎ ‎(2)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：a≤x≤a＋1.若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：97190008】‎ ‎(1)B　(2)　[(1)∵＜1，‎ ‎∴－1＝＜0，‎ 即(x－2)(x＋1)＞0，‎ ‎∴x＞2或x＜－1，‎ ‎∵p是q的充分不必要条件，‎ ‎∴k＞2.‎ ‎(2)命题p为，‎ 命题q为{x|a≤x≤a＋1}．‎ ‎﹁p对应的集合A＝，‎ ‎﹁q对应的集合B＝.‎ ‎∵﹁p是﹁q的必要不充分条件，‎ ‎∴或 ‎∴0≤a≤.]‎