数学理卷·2018届山东省实验中学高三上学期第二次诊断试题（解析版） 19页

山东省实验中学高三第二次考试 数学试题（理科）‎ ‎2017.11‎ 说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第6页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.‎ 第I卷（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知全集为R，集合A=,B=,则AB=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合A=,B=,。‎ AB=.‎ 故选C.‎ ‎2. 已知，命题“若”的否命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎【解析】否命题是指条件和结论都否.‎ 命题“若”的否命题是若，则. ‎ 故选A.‎ 点睛：命题的否定和否命题要做好区别：‎ ‎（1）否命题是指将命题的条件和结论都否定，而且与原命题的真假无关；‎ ‎（2）否命题是只否结论，特别的全称命题的否定为特称，特称命题的否定为全称.‎ ‎3. 已知函数，则的值为 A. 4 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知,故选B ‎4. 空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0~50为优，51~100为良。101~150为轻度污染，151~200为中度污染，201~250为重度污染，251~300为严重污染。一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图。利用该样本估计该地本月空气质量状况优良（AQI≤100）的天数（这个月按30计算）‎ A. 15 B. 18 C. 20 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2,‎ 空气质量良的天数为4,  ‎ ‎ 该样本中空气质量优良的频率为 , 从而估计该月空气质量优良的天数为 ‎5. 曲线若和直线围成的图形面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：令，所以面积为.‎ ‎6. 已知函数，则是 A. 奇函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递增 C. 奇函数，且在上单调递增 D. 偶函数，且在上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】函数的定义域为R，‎ ‎，，所以.‎ 因此函数是偶函数；‎ 令，当时，，在上单调递增 根据复合函数的单调性的判定方法，可知：函数在上单调递增。‎ 故选D.‎ ‎7. 函数的图像为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ,所以为奇函数,舍去A,C; 舍去B,选D.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．‎ ‎8. 奇函数定义域为R，当时，，且函数为偶函数，则的值为 A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】为R上的奇函数, 为偶函数,  ;  是周期为4的周期函数;  ;故选 A 点睛：抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；‎ ‎（2）若，则函数周期为|a-b|‎ ‎（3）若，则函数的周期为2a；‎ ‎（4）若，则函数的周期为2a.‎ ‎9. 曲线上的点到直线的最短距离是 A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：直线的斜率为２。由于，则由得，则 ‎，求得曲线上斜率为２的切线为。取上的点，则点Ａ到直线的距离为，所以所求的最短距离为。故选Ｃ。‎ 考点：点到直线的距离公式 点评：在解决问题时，有些问题需要进行转化。像本题，需将要求的问题转化为两条直线之间的距离。‎ ‎10. 已知命题：命题；命题，且是的充分不必要条件，则的取值范围 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】命题即,是的充分不必要条件,所以是的充分不必要条件, ,,故选A.‎ ‎11. 某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：‎ 由 并参照附表，得到的正确结论是 A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”‎ B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”‎ C. 有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”‎ D. 有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】,所以有99%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”,所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”‎ ‎12. .已知是定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，根据已知则 ‎ 在上单调递增，‎ 即，‎ 即 故选D.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有 ，就构造,（2）若，就构造，便于给出导数时联想构造函数.本题中可以构造，则有 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 函数的定义域是_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题要使函数有意义须满足 ‎ ‎14. 如果方程的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设方程对应的二次函数,开口向上, 方程的两个实根一个小于1，另一个大于1，‎ 可得,即 ‎15. 若函数函数的零点个数是________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由=0得， 设，则等价为， 当时，由得， 当时，由得， 即或， 当时，由得，由，得，故此时有两个零点， 当时，由得，由，得，故此时有两个零点 综上函数的零点个数是4，故答案为：4. 点睛：本题考查的是函数零点的个数问题.函数零点问题的处理一般有以下几种方法：1、通过解方程得到函数的零点，得到零点个数；2、利用二分法判断函数的零点，3、利用函数与方程思想，通过分离化原函数为两个函数，转化为利用两个函数图象的交点个数来判断函数的零点个数.‎ ‎16. 对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准奇函数，给出下列函数 ‎①，②，③，④，⑤，⑥，其中所有准奇函数的序号是_________________。‎ ‎【答案】②④⑤⑥‎ ‎【解析】对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有知，‎ 函数f(x)的图象关于(a,0)对称，‎ 对于①，函数无对称中心，‎ 对于②,函数f(x)的图象关于(-1,0)对称，‎ 对于③,函数f(x)关于(0,0)对称，‎ 对于④,函数f(x)的图象关于对称，‎ 对于⑤,函数f(x)的图象关于对称，‎ 对于⑥，由奇函数 向右平移一个单位得到，函数f(x)的图象关于对称，‎ 故答案为②④⑤⑥‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎（一）必考题：60分.‎ ‎17. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：“车辆驾驶员血液酒精溶度（单位mg/100ml）/在，属于酒后驾驶；血液浓度不低于80，属于醉酒驾驶。”2017年“中秋节”晚9点开始，济南市交警队在杆石桥交通岗前设点，对过往的车辆进行检查，经过4个小时，共查处喝过酒的驾驶者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾驶者血液中酒精溶度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图。‎ ‎（1）求这60名驾驶者中属于醉酒驾车的人数（图中每组包括左端点，不包括右端点）‎ ‎（2）若以各小组的中值为该组的估计值，频率为概率的估计值，求这60名驾驶者血液的酒精浓度的平均值。‎ ‎【答案】(1)3人;(2)47.‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据频率=,计算所求的频数即可; (2)利用频率分布直方图求出数据的平均值即可;‎ 试题解析：(1)由频率分布直方图可知：‎ 醉酒驾驶的频率为 ‎ 所以醉酒驾驶的人数为(人) ‎ ‎（2）由频率分布直方图可知 酒精浓度 ‎25‎ ‎35‎ ‎45‎ ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ 频率 ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.05‎ 所以 =47‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎（1）若曲线处的切线的倾斜角为，求实数a的值.‎ ‎（2）若函数上单调递增，求实数a的范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数求导，处的切线斜率为，进而得a的值；‎ ‎（2）函数在区间上单调递增，则对一切的恒成立，即恒成立，构造函数求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎ 则可得：. ‎ ‎（2）由函数在区间上单调递增 则对一切的恒成立. ‎ 即恒成立， ‎ 令 ‎ 函数在上单调递减，当时，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎19. 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：‎ 已知 ‎（1）求的值 ‎（2）已知变量具有线性相关性，求产品销量关于试销单价的线性回归方程 ‎ 可供选择的数据 ‎（3）用表示（2）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值。当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”。试求这6组销售数据中的 “好数据”。‎ 参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是 ‎【答案】(1) ;(2) ；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)由=,可求出q的值;  (Ⅱ)求出回归系数,可得线性回归方程 ;‎ ‎ (Ⅲ)分别求出检验是否满足，从而判断是否为“好数据”。‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 又，‎ ‎ ‎ ‎（2）， ‎ ‎ ‎ ‎（3）‎ ‎，所以是好数据；‎ ‎，所以不是好数据 ‎，所以是好数据 ‎，所以不是好数据 所以是好数据 所以不是好数据 所以好数据为 ‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，不等式恒成立，求k的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)4.‎ ‎【解析】试题分析：(1)先求函数的导数,再对两种情况进行分类讨论函数单调区间.‎ ‎(2)分离常数得到构造函数 ,利用导数求函数的最值,然后得k的范围.最终确定k的最大值.‎ 试题解析：‎ ‎(1)函数定义域为，， ‎ 当时，在上，单调递增； ‎ 当时，在上，单调递减；在上，单调递增；‎ 综上所述：当时，在上，单调递增.‎ 当时，在上，单调递减；在上，单调递增.‎ ‎（2）等价于 ‎ 令 ， ‎ 令 ，易知 在上单调递增.‎ ‎ ，‎ 所以存在, 使得.即.‎ 在上, ,单调递减,在上, ,单调递增.‎ 所以.‎ ‎ ‎ 求的最大值为4. ‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 极大值，极小值;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1)求出的导数,判断单调区间,可得极值; ‎ ‎(2)根据题意可得，分，和 三种情况，讨论函数的增减情况，判断函数的零点个数.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数定义域为，‎ ‎. ‎ 解得---1分 列表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以时，取极大值，当时，取极小值. ‎ ‎（2）‎ ‎ 当时，易知函数f(x)只有一个零点，不符合题意； 当时，在上，单调递减；‎ 在上，单调递增； ‎ ‎，且 所以函数有两个零点. ‎ ‎ 当时，在和上单调递增；在和上单调递减； ‎ ‎，函数至多有一个零点，不符合题意. ‎ ‎ 当时，在和上单调递增；在上单调递减；‎ ‎，函数至多有一个零点，不符合题意. ‎ 综上：实数a的取值范围是. ‎ 点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4，坐标系与参数方程] ‎ 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 ，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程。‎ ‎（2）设点P为曲线C上的任意一点，求点P到直线的距离的最大值。‎ ‎【答案】(1) 直线：；曲线： ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)直线l的极坐标方程可化为,由此可得直线l的直角坐标方程.曲线C的参数方程消去参数,能求出曲线C的普通方程.  (Ⅱ)设点为曲线C上任意一点,利用点到直线的距离公式及三角函数性质能求出点P到直线l的距离的最大值.‎ 试题解析：‎ ‎⑴因为直线的极坐标方程为，‎ 所以，即曲线的参数方程为（为参数）‎ 所以 ‎⑵设，则到直线的距离为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以当时，取最大值 ‎23. [选修4—5：不等式选讲] ‎ 设函数 ‎（1）解不等式 ‎（2）对任意的实数，若求证：‎ ‎【答案】(1) ;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1)分段讨论，去掉绝对值符号求解不等式即可；‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式的性质证明即可，注意等号成立的条件.‎ 试题解析：‎ ‎⑴①当时，原不等式可化为，可得，所以 当时，原不等式可化为，恒成立，所以 当时，原不等式可化为，可得，所以 综上，不等式的解集为 ‎（2）证明：‎ 点睛】:的解法一般有两种方法：‎ ‎①零点分段讨论法：利用绝对值的分界点将区间进行分段，进而去掉绝对值符号，将问题转化成分段不等式组进行求解；‎ ‎②绝对值的几何意义：对于的类型，可以利用绝对值的几何意义进行求解．‎ ‎ ‎ ‎ ‎