2018届高三数学一轮复习： 第5章 第1节 课时分层训练28 5页

课时分层训练(二十八)‎ 数列的概念与简单表示法 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　) ‎ ‎【导学号：01772172】‎ A. B. C. D. D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.]‎ ‎2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)‎ ‎ 【导学号：01772173】‎ A．1，，，，…‎ B．－1，－2，－3，－4，…‎ C．－1，－，－，－，…‎ D．1，，，…， C　[根据定义，属于无穷数列的是选项A，B，C，属于递增数列的是选项C，D，故同时满足要求的是选项C.]‎ ‎3．(2017·海淀期末)数列{an}的首项a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，则a3的值为 ‎(　　)‎ A．5 B.6‎ C.7 D.8‎ B　[由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以数列为常数列，则＝＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6，故选B.]‎ ‎4．(2016·广东3月测试)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝(　　)‎ A．3(3n－2n) B.3n＋2‎ C．3n D.3·2n－1‎ C　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，由a1＝(a1－1)，得a1＝3，∴＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴an＝3n，故选C.]‎ ‎5．数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2 017＝(　　) ‎ ‎【导学号：01772174】‎ A. B.－ C.2 D.－2‎ C　[由an＝，得an＋1＝，而a1＝2，‎ 则有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，‎ 故数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a4＝1，‎ 所以T2 017＝(a1a2a3a4)504a1＝1504×2＝2.]‎ 二、填空题 ‎6．(2016·辽宁大连双基检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝__________.‎ ‎12　[当n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.]‎ ‎7．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______项. ‎ ‎【导学号：01772175】‎ ‎10　[令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，‎ 则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．‎ ‎∴a10＝0.08.]‎ ‎8．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝__________.‎ 　[由已知得，－＝n，所以－＝n－1，‎ －＝n－2，…，－＝1，所以－＝，a1＝1，所以＝，‎ 所以an＝.]‎ 三、解答题 ‎9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.‎ ‎(1)这个数列的第4项是多少？‎ ‎(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？‎ ‎(3)该数列从第几项开始各项都是正数？‎ ‎[解]　(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.3分 ‎(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，‎ 解得n＝16或n＝－9(舍去)，‎ 即150是这个数列的第16项.8分 ‎(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．‎ 所以从第7项起各项都是正数.12分 ‎10．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝‎4a2，‎ 解得a2＝3a1＝3.2分 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，‎ 解得a3＝(a1＋a2)＝6.5分 ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.7分 于是a1＝1，‎ a2＝a1，‎ a3＝a2，‎ ‎……‎ an－1＝an－2，‎ an＝an－1.10分 将以上n个等式两端分别相乘，‎ 整理得an＝.‎ 显然，当n＝1时也满足上式．‎ 综上可知，{an}的通项公式an＝.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·郑州二次质量预测)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. D　[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan ‎}是首项为1，公差为5的等差数列，则‎20a20＝1＋19×5，解得a20＝，故选D.]‎ ‎2．(2016·甘肃白银会宁一中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，则an＝__________.‎ 　[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，‎ 两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，‎ ‎∴an＋1＝4an(n≥2)．‎ ‎∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1，‎ ‎∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，‎ ‎∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．‎ 故an＝]‎ ‎3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；‎ ‎(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由n2－5n＋4<0，‎ 解得1an知该数列是一个递增数列，7分 又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.‎ 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞).12分