【数学】2019届一轮复习人教A版（文）11-2参数方程学案 4页

参数方程 [必备知识] 考点 1 参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某 个变数 t 的函数 x＝ft， y＝gt (*)，如果对于 t 的每一个允许值，由方程 组(*)所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条 曲线的参数方程，变数 t 叫做参数． 考点 2 直线、圆、椭圆的参数方程 曲线 参数方程 过点 M(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα (t 为参数) 圆心在点 M(x0，y0)，半径为 R 的圆 x＝x0＋Rcosθ， y＝y0＋Rsinθ (θ为参数) 圆心在原点，半径为 R 的圆 x＝Rcosθ， y＝Rsinθ (θ为参数) 椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0) x＝acosφ， y＝bsinφ (φ为参数) [双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．参数方程 x＝t＋1， y＝2－t (t≥1)表示的曲线为直线．( ) 2．直线 y＝x 与曲线 x＝3cosα， y＝3sinα (α为参数)的交点个数为 1.( ) 3．直线 x＝－2＋tcos30°， y＝1＋tsin150° (t 为参数)的倾斜角α为 30°.( ) 4．参数方程 x＝2cosθ， y＝5sinθ θ为参数且θ∈ 0，π 2 表示的曲线为椭 圆．( ) 二、小题快练 1．[课本改编]曲线 x＝5cosθ， y＝4sinθ (θ为参数)的焦距是( ) A．3 B．6 C．8 D．10 2．[2017·苏州模拟]已知点 P(3，m)在以 F 为焦点的抛物线 x＝4t2， y＝4t (t 为参数)上，则|PF|等于( ) A．4 B．3 C．2 D．5 3．[课本改编]在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：x＝t＋2， y＝1－2t (t 为参数)与曲线 C2： x＝3cosθ， y＝3sinθ (θ为参数)相交于 A、B 两点，则线 段 AB 的长为________． 4．设 P(x，y)是曲线 C： x＝－2＋cosθ， y＝sinθ (θ为参数，θ∈[0,2π)) 上任意一点，则y x 的取值范围是________． 考向 参数方程与普通方程的互化 例 1 [2015·福建高考]在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方 程为 x＝1＋3cost， y＝－2＋3sint (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中， 直线 l 的方程为 2ρsin θ－π 4 ＝m(m∈R)． (1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值． 【变式训练 1】 在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从 一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、 双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个 著名的几何问题：“在平面上给定两点 A，B 设 P 点在同一平面上且 满足PA PB ＝λ(λ>0且λ≠1)，P 点的轨迹是个圆”．这个圆我们称之为“阿 波罗尼奥斯圆”．已知点 M 与长度为 3 的线段 OA 两端点的距离之比 为OM MA ＝1 2 ，建立适当坐标系，求出 M 点的轨迹方程并化为参数方程． 考向 直线的参数方程 例 2 [2016·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的 参 数 方 程 为 x＝1＋1 2t， y＝ 3 2 t (t 为 参 数 ) ， 椭 圆 C 的 参 数 方 程 为 x＝cosθ， y＝2sinθ (θ为参数)．设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线 段 AB 的长． 【变式训练 2】 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 x＝1＋t， y＝t－3 (t 为参数)，在以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ sin2θ . (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求△AOB 的面积． 考向 极坐标、参数方程的综合应用 例 3 [2016·全国卷Ⅲ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方 程为 x＝ 3cosα， y＝sinα (α为参数)．以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴 为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρsin θ＋π 4 ＝2 2. (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直 角坐标． 【变式训练 3】 [2015·全国卷Ⅱ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： x＝tcosα， y＝tsinα (t 为参数，t≠0)，其中 0≤α<π.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 3cosθ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标； (2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值．