江西省上饶中学2018-2019学年高二（实验、重点、体艺班）上学期第一次月考数学（文）试卷（体艺） 17页

考试时间：2018年10月11日—12日 上饶中学2018-2019学年度高二上学期第一次月考 数 学 试 卷（体艺、翰林班）‎ 命题人：叶国勇 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ 1. 已知等差数列的前项和为,若，则=（ ）‎ A．36 B．72 ‎ C．144 D． 288‎ 2. 在3与9之间插入2个数，使这四个数成等比数列，则插入的这2个数之积为（ ）‎ A．3 B． 6 ‎ C． 9 D． 27‎ 3． 若为正实数，且，则的最小值为（ ）‎ A．5 B．4 ‎ C． D．3‎ 4． 若实数满足，则z=x-y的最大值为（ ）‎ A．2 B． 1 ‎ C． 0 D． -1‎ 5． 若,则的大小关系是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ B． C． D． ‎ 6． 设集合，，则=( )‎ A． ‎[－1,0) B． (－∞, －1) ‎ C． (－∞, －1] D． (－∞, 0)∪[2,+∞)‎ 3． 不等式的解集是( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 4． 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且，则∠A等于（　　）‎ A． ‎60° B． 30° ‎ C． 120° D． 150°‎ 5． 已知中，，则B等于（ ）‎ A． ‎ B．或 ‎ C． D． 或 6． 某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员（ ）‎ A． ‎3人 B． 4人 ‎ C． 7人 D． 12人 7． 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 (　　)‎ A． 11 B． 12‎ C． 13 D． 14‎ 8． 已知实数满足不等式组，则的最小值是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ B． C．3 D．9 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ 9． 已知，则__________．‎ 10． 已知关于x的不等式mx2＋x＋m＋3≥0的解集为{x|－1≤x≤2}，则实数m＝________.‎ 3． 函数 的最小值是___________.‎ 4． 在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为_______________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 5． 若，比较的大小.‎ 6． ‎（Ⅰ）解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）已知不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.‎ 7． 一箱方便面共有50袋,用随机抽样方法从中抽取了10袋,并称其质量(单位:g)结果为:‎ ‎60.5　61　60　60　61.5　59.5　59.5　58　60　60‎ ‎(1)指出总体、个体、样本、样本容量;‎ ‎(2)指出样本数据的众数、中位数、平均数;‎ 3． ‎（12分）若不等式组 （其中）表示的平面区域的面积是9．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小值，及此时与的值．‎ 4． 在中，角，的对边分别为且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ 5． 在数列中, 已知，且数列的前项和满足.‎ ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立, 求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出公差d，由a8+a10=28求出公差d，求利用前n项和公式求解S9得答案．‎ ‎【详解】‎ 等差数列的首项为a1=2，设公差为d，‎ 由a8=a1+7d，a10=a1+9d，‎ ‎∵a8+a10=28‎ 即4+16d=28‎ 得d=，‎ 那么S9==72．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．‎ ‎2．D ‎【解析】分析：利用等比数列的性质求插入的这2个数之积.‎ 详解：设插入的两个数为a,b,则由等比数列的性质得.故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查等比数列的性质的运用，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.‎ ‎3．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，因为为正实数，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎4．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎：先画出可行域，由z=x-y在y轴上的截距越小，目标函数值越大，得出最优解，再代入目标函数求出最大值。‎ ‎【详解】‎ ‎：由图可知，可行域为封闭的三角区域，由z=x-y在y轴上的截距越小，目标函数值越大，所以最优解为，所以的最大值为1，故选B。‎ ‎【点睛】1、先画出可行域，高中阶段可行域是封闭图形。‎ ‎2、令目标函数，解得判断目标函数最值的参考直线方程。‎ ‎3.画出判断目标函数最值的参考直线方程的图像进行上下平移 ‎4.根据参考直线方程的截距大小判断取最值的点 ‎（1）当时截距越大目标函数值越大，截距越小目标函数值越小 ‎（2）当时截距越大目标函数值越小，截距越小目标函数值越大 ‎5.联立方程求点的坐标，求最值。‎ ‎5．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件先判断与零的关系，进而作差比较大小即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴ 又，∴ ‎∴ 故选：D ‎【点睛】‎ 比较大小的常用方法 ‎（1）构造函数，判断出函数的单调性，让所要比较大小的数在同一单调区间内，然后利用单调性进行比较．‎ ‎（2）作差与零比较，即．‎ ‎（3）作商与1比较，即．‎ ‎6．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求得集合A后再求出即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎7．D ‎【解析】分析：解分式不等式先移项将一侧化为0，通分整理，转化为乘法不等式。‎ 详解：，故选D。‎ 点睛：解分式不等式的解法要，先移项将一侧化为0（本身一侧为0不需要移项），通分整理，转化为乘法不等式，但分母不能为0.‎ ‎8．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得可得 ，由余弦定理可得 b2+c2﹣a2=2bc•cosA，解得cosA 的值，即可得到三角形的内角A 的值．‎ ‎【详解】‎ 根据，可得 ．‎ 由余弦定理可得 b2+c2﹣a2=2bc•cosA，∴cosA=，‎ 故三角形的内角A=150°，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎9．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理计算，注意有两个解.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，故，‎ 所以，又，故或.所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ ‎10．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出每个个体被抽到的概率，再用管理人员的总人数乘以此概率，即得所求．‎ ‎【详解】‎ 每个个体被抽到的概率等于，由于管理人员共计32人，‎ 故应抽取管理人员的人数为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样的知识，属于基础题.‎ ‎11．B ‎【解析】‎ 试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．‎ ‎∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，‎ 接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人 考点：系统抽样 ‎12．B ‎【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合即可得到结论．‎ 详解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ ‎ 设z=x2+y2则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方， 由图象知圆心到直线x+y-3=0的距离最短，此时d=，则z=d2= 故选：B．‎ 点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的距离公式以及利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎13． ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列，得到，利用裂项法，即可求解式子的和．‎ ‎【详解】‎ 由题意，则，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的求和问题，其中根据，求得的通项公式，利用裂项法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎14．-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式解集与方程的关系，将不等式解集的边界代入方程求解即可求得参数。‎ ‎【详解】‎ 因为关于x的不等式mx2＋x＋m＋3≥0的解集为{x|－1≤x≤2}‎ 所以 与 是一元二次方程mx2＋x＋m＋3=0的两个根 代入可求得 ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式解集与方程的关系，属于基础题。‎ ‎15． ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可变形为，再利用基本不等式即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵x＞﹣1，∴﹣3=，当且仅当时取等号．‎ ‎∴函数y=3x+（x＞﹣1）的最小值是．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎16． ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，‎ 由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，‎ 故cosA===，‎ 可得：A=．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎17．.‎ ‎【解析】‎ 分析：利用作差法比较大小即可.‎ 详解：∵，，，‎ ‎∴ ，即，‎ ，即，‎ 综上可得：.‎ 点睛：作差法：‎ 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．‎ ‎18．（1）见解析.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）方程的两根为或，分（1）当a＞0时、（2）当a＜0时两种情况，依据 和0的大小关系，解一元二次不等式求得它的解集；（Ⅱ）利用不等式恒成立，通过二次项的系数是否为0，分类转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵，∴方程的两根为或 ‎∴当时，，此时不等式的解集为.‎ ‎∴当时，，此时不等式的解集为.‎ ‎ (细则：解集写不等式的扣1分，写区间不扣分)‎ ‎（Ⅱ）当时，或.‎ 当时，符合题意；当时不合题意，所以.‎ 当时，需满足.‎ 解得.‎ 综上可得，的取值范围是 ‎【点睛】‎ ‎（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．‎ ‎（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．‎ ‎19．见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用总体、个体、样本、样本容量的定义求解．‎ ‎（2）利用样本数据的众数、中位数、平均数的定义及公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）总体：50袋方便面的质量，个体：每袋方便面的质量，样本：10袋方便面的质量，样本容量10.‎ ‎（2）众数，中位数，平均数均为60.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查总体、个体、样本、样本容量、样本数据的众数、中位数、平均数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．‎ ‎20．（1）（2），．‎ ‎【解析】‎ 试题分析（1）画出可行域，可得是一个三角形区域，求出三个交点，利用三角形面积公式求出面积；（2）（2）利用线性规划求目标函数的最值一般步骤：一画、二移、三求，其关键是准确的作出可行域，理解目标函数的意义；常见代数式的几何意义表示点与点的距离；表示点与点连线的斜率，这些代数式的几何意义能使所求的问题得以转化，往往是解决问题的关键 试题解析：（1）三个交点为，因为,面积为 所以 ‎ ‎（2）为点与两点的斜率，由图像知落在时，最小，此时 ‎，．‎ 考点：线性规划问题 ‎21．(1)(2) ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理和正弦定理的边化角，化简已知等式；再根据两角和的正弦公式、诱导公式和三角形内角和定理，化简即可求出结果.‎ ‎（2）根据同角三角关系，确定和，利用两角和的正弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，确定；再利用正弦定理确定，进而由即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，由余弦定理，得 ，所以，‎ 由正弦定理，得， ‎ 又，，‎ 所以，， ‎ 所以 ． ‎ ‎（2）由，，得，， ‎ 所以， ‎ 由正弦定理，得 ， ‎ 所以△的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 三角形中角的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；‎ 第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.‎ ‎22．(1)见解析(2) ‎【解析】分析：（1）利用推出是常数，然后已知，即可证明数列是等比数列； （2）利用错位相减法求出数列的前项和为n，化简不等式，通过对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ 详解：‎ ‎(1) 已知,‎ ‎ 时, 相减得. 又易知 . ‎ 又由得 ‎ .‎ 故数列是等比数列. ‎ ‎(2)由(1)知. ‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ 相减得,‎ ‎ , ‎ ‎ 不等式为.‎ 化简得.‎ 设, ‎ .‎ 故所求实数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力．‎