数学理卷·2018届四川省雅安市高二上学期期末考试（2017-01） 18页

‎2016-2017学年四川省雅安市高二（上）期末 数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．直线x﹣2y﹣3=0在y轴上的截距是（　　）‎ A．3 B． C．﹣ D．﹣3‎ ‎2．在面积为S的△ABC的边AB含任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．过点 （2，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是（　　）‎ A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+1=0‎ ‎4．将960人随机编号为1，2，…，960，用系统抽样法从中抽取32人作调查，若分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则应在编号落入的人中抽取的人数为（　　）‎ A．15 B．10 C．9 D．7‎ ‎5．与双曲线2x2﹣y2=3有相同渐近线，且过点P（1，2）的双曲线的方程为（　　）‎ A．2x2﹣=1 B．﹣x2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1‎ ‎6．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（　　）‎ A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．‎ ‎7．若点P为椭圆C： +=1上的动点，G点满足=2（O是坐标原点），则G的轨迹方程为（　　）‎ A． +=1 B． +y2=1‎ C． +3y2=1 D．x2+=1‎ ‎8．在平面内，一只蚂蚁从点A（﹣2，﹣3）出发，爬到y轴后又爬到圆（x+3）2+（y﹣2）2=2上，则它爬到的最短路程是（　　）‎ A．5 B．4 C． D．﹣‎ ‎9．设点P（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．4 D．‎ ‎10．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，]∪ C．（﹣∞，﹣2]∪‎ ‎11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎12．已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点，则线段GH的长度的最小值是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是　　．‎ ‎14．若直线l经过坐标原点，且定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，则直线l的方程为　　．‎ ‎15．若某市6所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的方差是　　．‎ ‎16．椭圆+=1的左焦点为F1，对定点M（6，4），若P为椭圆上一点，则|PF1|+|PM|的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）我市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为 ‎（Ⅰ）求直方图中x的值 ‎（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若全市共有企业1300个，试估计全市有多少企业可以申请政策优惠．‎ ‎18．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0‎ ‎（Ⅰ）求直线l的方程 ‎（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求|AB|‎ ‎19．（12分）调查某高中1000名学生的肥胖情况，得如表：‎ ‎ 偏瘦 正常 ‎ 肥胖 ‎ ‎ 女生（人）‎ ‎ 100‎ ‎163 ‎ y ‎ ‎ 男生（人）‎ ‎ x ‎ 187‎ ‎ z 已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15‎ ‎（Ⅰ）求x的值 ‎（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取100名，问应在肥胖学生中抽多少名？‎ ‎（Ⅲ）已知y≥194，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．‎ ‎20．（12分）已知圆C关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程 ‎（Ⅱ）若圆C的圆心在x轴下方，过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于﹣，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（﹣1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D ‎（1）求曲线E的方程；‎ ‎（2）求证：AC⊥AD．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．‎ ‎（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；‎ ‎（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．直线x﹣2y﹣3=0在y轴上的截距是（　　）‎ A．3 B． C．﹣ D．﹣3‎ ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】通过x=0求出y的值，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：直线x﹣2y﹣3=0，当x=0时，y=﹣，‎ 直线2x+y+3=0在y轴上的截距为：﹣3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线方程的应用，直线的截距的求法，基础题．‎ ‎　‎ ‎2．在面积为S的△ABC的边AB含任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于等于的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．‎ ‎【解答】解：记事件A={△PBC的面积大于等于的概率}，‎ 基本事件空间是线段AB的长度，（如图）‎ 因为S△PBC≥的，则有；‎ 化简记得到：，‎ 因为PE平行AD则由三角形的相似性 所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，‎ 因为AP=AB，‎ 所以P（A）==．‎ 故△PBC的面积大于等于的概率的概率为．‎ 故选C．‎ ‎【点评】解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，并且熟练记忆有关的概率公式．‎ ‎　‎ ‎3．过点 （2，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是（　　）‎ A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+1=0‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】确定圆心坐标，可得过（2，1）的直径的斜率，即可求出被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程．‎ ‎【解答】解：xx2+y2﹣2x+4y=0的圆心坐标为（1，﹣2）‎ 故过（2，1）的直径的斜率为k=3，‎ 因此被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是y﹣1=3（x﹣2），即为3x﹣y﹣5=0．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆相交的性质，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．将960人随机编号为1，2，…，960，用系统抽样法从中抽取32人作调查，若分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则应在编号落入的人中抽取的人数为（　　）‎ A．15 B．10 C．9 D．7‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人，即抽到号码的公差d=30，然后根据等差数列的公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人，即抽到号码的公差d=30，‎ ‎∵第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，‎ ‎∴等差数列的首项为9，‎ 则抽到号码数为an=9+30（n﹣1）=30n﹣29，‎ 由450≤30n﹣29≤750，‎ 得16≤n≤25，‎ 即编号落入区间的人数为10人．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．与双曲线2x2﹣y2=3有相同渐近线，且过点P（1，2）的双曲线的方程为（　　）‎ A．2x2﹣=1 B．﹣x2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】依题意，设所求的双曲线的方程2x2﹣y2=3λ，将点P（1，2）的坐标代入，求得λ即可．‎ ‎【解答】解：依题意，设所求的双曲线的方程2x2﹣y2=3λ，‎ 将点P（1，2）的坐标代入可得2﹣4=3λ．解得λ=﹣，‎ ‎∴2x2﹣y2=﹣2，‎ 即﹣x2=1，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查待定系数法的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（　　）‎ A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，求解即可．‎ ‎【解答】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．‎ 所以，解得m=﹣7．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．若点P为椭圆C： +=1上的动点，G点满足=2（O是坐标原点），则G的轨迹方程为（　　）‎ A． +=1 B． +y2=1‎ C． +3y2=1 D．x2+=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设P（x0，y0），G（x，y），则=（x﹣x0，y﹣y0），=（﹣x，﹣y），由=2，即可求得，代入椭圆C： +=1，即可求得G的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设P（x0，y0），G（x，y），由=（x﹣x0，y﹣y0），=（﹣x，﹣y），‎ 由=2，即，整理得：，‎ 由P在椭圆C： +=1，则，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查向量与圆锥曲线的应用，考查轨迹方程的求法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．在平面内，一只蚂蚁从点A（﹣2，﹣3）出发，爬到y轴后又爬到圆（x+3）2+（y﹣2）2=2上，则它爬到的最短路程是（　　）‎ A．5 B．4 C． D．﹣‎ ‎【考点】点与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由已知求出圆心坐标和半径，它爬到的最短路程是过原点到圆心的连线的距离减去半径时，由两点间的距离公式计算即可得答案．‎ ‎【解答】解：由圆（x+3）2+（y﹣2）2=2，得圆心坐标（﹣3，2），半径为，‎ 它爬到的最短路程是过原点到圆心的连线的距离减去半径时，‎ ‎ 最短距离为|AC|﹣r==，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查两点间的距离公式的应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎9．设点P（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．4 D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】将椭圆方程转化成标准方程，利用椭圆的参数方程，根据正弦函数的性质即可求得x+y的最大值．‎ ‎【解答】解：由椭圆4x2+y2=4，得，‎ 可设椭圆参数方程为，‎ ‎∴x+y=2sinθ+cosθ=sin（θ+φ），（tanφ=）．‎ 由正弦函数的性质可知：x+y的最大值为，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了椭圆参数方程的应用，考查三角函数的最值的求法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎10．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，]∪ C．（﹣∞，﹣2]∪‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），‎ kPA==﹣2，kPB==﹣．‎ ‎∵直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，‎ ‎∴k≤﹣2，或k≥﹣．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意可先求得∠AOF利用OF和OA，在直角三角形中求得的值，进而可求得双曲线的离心率 ‎【解答】解：如图，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=120°，‎ ‎∴∠AOF=60°，又OA=a，‎ OF=c，‎ ‎∴==cos60°=，‎ ‎∴e==2，‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的过程中采用了数形结合的思想，使问题的解决更直观．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点，则线段GH的长度的最小值是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知设直线AP的方程为y=k（x+‎ ‎2），代入椭圆方程由韦达定理定理求得P点坐标，即可求得直线PB的斜率为﹣．将直线PB的方程与y=3联立，即可H点坐标，求得|GH|，利用基本不等式的性质即可求得线段GH的长度的最小值．‎ ‎【解答】解：椭圆C： +y2=1的左顶点为A（﹣2，0），右顶点为B（2，0），‎ 直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+2），设P（x1，y1），从而 G（﹣2，3），‎ 由，整理得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0．‎ 由韦达定理可知：（﹣2）x1=．则x1=，从而y1=．‎ 即P（，），又B（2，0），‎ 则直线PB的斜率为﹣．‎ 由，得，‎ ‎∴H（﹣12k+2，3）．‎ 故|GH|=|﹣2+12k﹣2|=|+12k﹣4|．‎ 又k＞0， +12k≥2=12．‎ 当且仅当=12k，即k=时等号成立．‎ ‎∴当k=时，线段GH的长度取最小值8．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是　15　．‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】由图知，每次进入循环体后，x的值被施加的运算是乘以2加上1，故由此运算规律进行计算，经过4次运算后输出的结果．‎ ‎【解答】解：由图知运算规则是对x=2x+1，故 第一次进入循环体后x=2×1+1=3，n=2‎ 第二次进入循环体后x=2×3+1=7，n=3‎ 第三次进入循环体后x=2×7+1=15，n=4，不满足循环条件，退出循环 故答案为：15．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．若直线l经过坐标原点，且定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，则直线l的方程为　y=±x　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】直线斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx，再利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：直线斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx，‎ ‎∵定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，‎ ‎∴=，解得k=±1．‎ ‎∴直线l的方程为：y=±x．‎ 故答案为：y=±x．‎ ‎【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．若某市6所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的方差是　　．‎ ‎【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据题意，由茎叶图分析出所给的数据，根据数据先计算出数据的平均数，进而由方差公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，由茎叶图可得所给的数据为：87、91、93、92、90、93，‎ 其平均数==91，‎ 则其方差s2==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查茎叶图的应用，涉及数据方差的计算，关键是由茎叶图读出数据．‎ ‎　‎ ‎16．椭圆+=1的左焦点为F1，对定点M（6，4），若P为椭圆上一点，则|PF1|+|PM|的最大值为　15　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆+=1可得：a2=25，b2=16，c=3．由|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．‎ ‎【解答】解：由椭圆+=1焦点在x轴上，可得：a2=25，b2=16．‎ ‎∴a=5，b=4，c=3．‎ ‎∴F2（3，0），|MF2|=5．‎ ‎∴|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2×5+|MF2|=15，‎ 当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．‎ 故答案为：15．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、最大值问题的转化为三角形的三边关系，属于中档题 ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•雅安期末）我市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为 ‎（Ⅰ）求直方图中x的值 ‎（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若全市共有企业1300个，试估计全市有多少企业可以申请政策优惠．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据频率和为1，列出方程求出x的值；‎ ‎（Ⅱ）计算缴税收不少于60万元的企业对应的频率与频数即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得；‎ ‎20×（x+0.025+0.0065+0.003+0.003）=1，‎ 解得x=0.0125；‎ ‎（Ⅱ）可申请政策优惠企业的频率为 ‎20×0.006=0.12，‎ 且1300×0.12=156，‎ 故全市1300个企业中，估计有156个企业可申请政策优惠．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•雅安期末）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0‎ ‎（Ⅰ）求直线l的方程 ‎（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求|AB|‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出P的坐标，利用直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0求直线l的方程 ‎（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求出A，B的坐标，即可求|AB|．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，可得P（﹣2，2），‎ ‎∵直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0，‎ ‎∴kl=﹣2，‎ ‎∴直线l的方程为2x+y+2=0；‎ ‎（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0联立，可得y2﹣y﹣2=0，‎ ‎∴y=﹣1或2，‎ ‎∴A（﹣，﹣1），B（﹣2，2）‎ ‎∴|AB|==．‎ ‎【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线，直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•雅安期末）调查某高中1000名学生的肥胖情况，得如表：‎ ‎ 偏瘦 正常 ‎ 肥胖 ‎ ‎ 女生（人）‎ ‎ 100‎ ‎163 ‎ y ‎ ‎ 男生（人）‎ ‎ x ‎ 187‎ ‎ z 已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15‎ ‎（Ⅰ）求x的值 ‎（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取100名，问应在肥胖学生中抽多少名？‎ ‎（Ⅲ）已知y≥194，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单随机抽样．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知，由此能求出x的值．‎ ‎（Ⅱ）由题意知肥胖学生人数为y+z=400人，设应在肥胖学生中抽取m人，按比例列方程，能求出应在肥胖学生中抽多少名．‎ ‎（Ⅲ）由题意知y+z=400，y≥194，z≥193，利用列举法能求出肥胖学生中男生不少于女生的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，‎ 解得x=150（人）．‎ ‎（Ⅱ）由题意知肥胖学生人数为y+z=400（人），‎ 设应在肥胖学生中抽取m人，则，‎ 解得m=40（人）．‎ ‎∴应在肥胖学生中抽40名．‎ ‎（Ⅲ）由题意知y+z=400，y≥194，z≥193，‎ 满足条件的（y，z）有：‎ ‎（194，206），（195，205），（196，204），（197，203），（198，202），（199，201），（200，200），‎ ‎（201，199），（202，198），（203，197），（204，196），（205，195），（206，194），（207，193），‎ 共有14组，‎ 设事件A表示“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，‎ y≤z包含听基本事件有：‎ ‎（194，206），（195，205），（196，204），（197，203），（198，202），（199，201），（200，200），‎ 共有7组，‎ ‎∴肥胖学生中男生不少于女生的概率P（A）=．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•雅安期末）已知圆C关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程 ‎（Ⅱ）若圆C的圆心在x轴下方，过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意设出圆的标准方程，圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，写出a，r的方程组，解方程组得到圆心和半径；‎ ‎（Ⅱ）圆C的方程为x2+（y+1）2=2．设直线l方程为y﹣2=k（x+1），利用过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，建立方程，即可求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+（y﹣a）2=r2 ‎ ‎∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）‎ ‎∴1+a2=r2 ①‎ 又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2，‎ 可知圆心到直线y=x的距离等于半径的；‎ ‎∴②‎ 解①、②得a=±1，r2=2 ‎ ‎∴所求圆的方程为x2+（y±1）2=2；‎ ‎（Ⅱ）圆C的方程为x2+（y+1）2=2．‎ 设直线l方程为y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，则=，‎ ‎∴k=﹣1或7，‎ ‎∴直线l的方程为x+y﹣1=0或7x﹣y+9=0．‎ ‎【点评】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•雅安期末）平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于﹣，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（﹣1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D ‎（1）求曲线E的方程；‎ ‎（2）求证：AC⊥AD．‎ ‎【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（1）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得： =﹣，化简得曲线E的方程；‎ ‎（2）设CD方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AC⊥AD．‎ ‎【解答】（1）解：设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得： ‎ ‎=﹣，化简得+=1，‎ 故曲线E的方程为： +=1（x≠±2）．‎ ‎（2）证明：CD斜率不为0，所以可设CD方程为my=x+1，与椭圆联立得：（m2+3）y2﹣2my﹣3=0，‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），所以y1+y2=，y1y2=﹣．‎ ‎（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=（m2+1）（﹣）+m•+1=0，‎ 所以AC⊥AD．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015•临沂二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．‎ ‎（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；‎ ‎（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得 b和a的值，可得椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得 x1+x2 以及x1+x2 的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．‎ ‎（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得 x1+x2 以及x1﹣x2 的值，从而求得AB的斜率K的值．‎ ‎【解答】解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），‎ 由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．‎ 再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．‎ ‎（Ⅱ）（i）设A（ x1，y1 ），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，‎ 代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2﹣4=0，‎ 由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．‎ 利用韦达定理可得 x1+x2=﹣2t，x1 •x2=2t2﹣4．‎ 在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），‎ ‎∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|‎ ‎=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，‎ 故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最大值为4．‎ ‎（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为﹣k，‎ PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，‎ ‎∴x1+2=．‎ 同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，‎ ‎∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K==‎ ‎====．‎ ‎【点评】本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．‎