高中数学选修2-2教学课件第2讲《函数的求导法则 》 28页

第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第一章 解决求导问题的思路 : ( 构造性定义 ) 求导法则 其他基本初等函数求导公式 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 一、四则运算求导法则 定理 1. 的和、 差、 积、 商 ( 除分母 为 0 的点外 ) 都在点 x 可导 , 且 下面分三部分加以证明 , 并同时给出相应的推论和 例题 . 此法则可推广到任意 有限项 的情形 . 证 : 设 则 故结论成立 . 例如 , (2) 证 : 设 则有 故结论成立 . 推论 : ( C 为常数 ) 例 1. 解 : (3) 证 : 设 则有 故结论成立 . 推论 : ( C 为常数 ) 例 2. 求证 证 : 类似可证 : 二、反函数的求导法则 定理 2. y 的某邻域内 单调可导 , 证 : 在 x 处给增量 由 反函数的单调性 知 且由反函数的连续性知 因此 例 3. 求反三角函数及指数函数的导数 . 解 : 1) 设 则 类似可求得 利用 , 则 2) 设 则 特别当 时 , 小结 : 推论 3) 在点 x 可导 , 三、复合函数求导法则 定理 3. 在点 可导 复合函数 且 在点 x 可导 , 证 : 在点 u 可导 , 故 （当 时 ) 故有 例如 , 关键 : 搞清复合函数结构 , 由外向内 逐层求导 . 推广 ： 此法则可推广到多个中间变量的情形 . 例 4. 求下列导数 : 解 : (1) (2) (3) 说明 : 类似可得 例 5. 设 求 解 : 思考 : 若 存在 , 如何求 的导数 ? 这两个记号含义不同 例 6 . 设 解 : 记 则 ( 反双曲正弦 ) 其他反双曲函数的导数看参考书自推 . 的反函数 双曲正弦 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P18) 2. 有限次 四则运算的求导法则 ( C 为常数 ) 3. 复合函数求导法则 4. 初等函数在定义区间内可导 , 由定义证 , 说明 : 最基本的公式 其他公式 用求导法则推出 . 且导数仍为初等函数 例 7. 求 解 : 例 8. 设 解 : 求 先化简后求导 例 9. 求 解 : 关键 : 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 例 10. 设 求 解 : 内容小结 求导公式及求导法则 ( 见 P14 ~ P20 ) 注意 : 1) 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 . 1. 思考与练习 对吗 ? 2. 设 其中 在 因 故 正确解法 : 时 , 下列做法是否正确 ? 在求 处连续 , 由于 f ( a ) = 0 ，故 连续不一定可导！ 3. 求下列函数的导数 解 : (1) (2) 或 4. 设 求 解 : 方法 1 利用导数定义 . 方法 2 利用求导公式 . 备用题 1 . 设 解： 2 . 设 解 : 其中 可导 , 求 求