数学卷·2018届山东师大附中高三上学期第一次模拟数学试卷（理科）（解析版） 26页

‎2017-2018学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎2．（5分）计算： =（ ）‎ A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i ‎3．（5分）在下列区间中，使函数存在零点的是（ ）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）‎ ‎4．（5分）设随机变量X服从正态分布N（0，1），P（X＞1）=p，则P（X＞﹣1）=（ ）‎ A．p B．1﹣p C．1﹣2p D．2p ‎5．（5分）调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．（5分）如图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：cm2）等于（ ）‎ A．55π B．75π C．77π D．65π ‎7．（5分）某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎8．（5分）设不等式组所表示的区域为M，函数y=﹣的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）‎ A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=cos（2x+‎ ‎），将y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则φ的一个值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）“a＞4”是“方程x2+ax+a=0有两个负实数根”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则的最大值是（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）已知两个单位向量，满足|+2|=，则，的夹角为．‎ ‎14．（5分）若dx=a，则（x+）6展开式中的常数项为 ．‎ ‎15．（5分）已知，则= ．‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=（x2+ax+b）ex，当b＜1时，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均为增函数，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）已知等差数列{an}满足a4=6，a6=10．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列{bn}各项均为正数，其前n项和Tn，若b3=a3，T2=3，求Tn．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．‎ ‎（1）求证：PB=PD；‎ ‎（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．‎ ‎19．（12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：‎ 产假安排（单位：周）‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？‎ ‎（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；‎ ‎②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ax（lnx﹣1）（a≠0）．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）当a＞0时，设函数g（x）=x3﹣f（x），函数h（x）=g′（x），‎ ‎①若h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎②证明：ln（1×2×3×…×n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．‎ ‎（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题号.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）‎ ‎22．（10分）已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度；‎ ‎（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）．‎ ‎（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．‎ ‎2017-2018学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【分析】求出集合B，根据集合的基本运算进行求解即可．‎ ‎【解答】解：B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}=B={x∈Z|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，‎ 则A∩B={1，3，4}，‎ 故A∩B的子集个数为23=8个，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据条件求出A∩B是解决本题的关键．‎ ‎2．（5分）计算： =（ ）‎ A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i ‎【分析】先求出（1﹣i）2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质进行化简．‎ ‎【解答】解： ===2，‎ 故选 A．‎ ‎【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，‎ 两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．‎ ‎ ‎ ‎3．（5分）在下列区间中，使函数存在零点的是（ ）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）‎ ‎【分析】由函数零点的判定定理即可判断出．‎ ‎【解答】解：∵f（1）=ln2﹣1＜lne﹣1=0，f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴f（1）f（2）＜0．‎ ‎∴函数f（x）在区间（1，2）上存在零点．‎ 故选B．‎ ‎【点评】熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎4．（5分）设随机变量X服从正态分布N（0，1），P（X＞1）=p，则P（X＞﹣1）=（ ）‎ A．p B．1﹣p C．1﹣2p D．2p ‎【分析】根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于x=0对称，得到一对对称区间的概率之间的关系，即P（X＞1）=P（X＜﹣1），得到要求的区间的概率．‎ ‎【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（0，1），‎ P（X＞1）=p，‎ ‎∴P（X＜﹣1）=p，‎ P（X＞﹣1）=1﹣P（X＜﹣1）=1﹣p，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线关于x=0对称时，对称轴两侧的对称区间上的概率之间的关系，本题的运算量比较小，是一个送分题目．‎ ‎ ‎ ‎5．（5分）调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】设n个小时后才可以驾车，根据题意可知，每单位时间内酒精下降的量成等比数列，进而可得方程，求得n．‎ ‎【解答】解：设n个小时后才可以驾车，‎ 由题得方程0.8（1﹣50%）n=0.2‎ ‎0.5n=，n=2‎ 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车．‎ 故答案为2‎ ‎【点评】本题意实际问题为依托，主要考查了等比数列的性质及实际应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．‎ ‎ ‎ ‎6．（5分）如图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：cm2）等于（ ）‎ A．55π B．75π C．77π D．65π ‎【分析】由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥A﹣BCD；‎ 由三棱锥的体积求出h的值，把三棱锥还原为长方体，‎ 长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径2R，由此求出外接球的面积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥A﹣BCD；‎ 由三视图可知AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BD=5，BC=6，AB=h，‎ ‎∴三棱锥的体积V=××5×6h=20，∴h=4；‎ 把三棱锥还原为长方体，如图所示；‎ 则长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径2R；‎ ‎∴（2R）2=42+52+62=77，‎ ‎∴三棱锥外接球的面积为S=4πR2=77π．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了三棱锥的结构特征以及多面体外接球的面积计算问题，是基础题．‎ ‎ ‎ ‎7．（5分）某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【分析】由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，‎ 根据y=sin的周期性，即可求出S的值．‎ ‎【解答】解：由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量 S=sin+sin+sinπ+…+sin的值，‎ 由于y=sin的周期为6，且同一周期内的6个函数值的累加和为0；‎ 又2016÷6=336，‎ 所以S=sin+sin+sinπ+…+sin=sin=sin=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．‎ ‎ ‎ ‎8．（5分）设不等式组所表示的区域为M，函数y=﹣的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】作出平面区域，根据面积比得出概率．‎ ‎【解答】解：作出图形如图所示：‎ 则区域M为△ABC，区域N为单位圆的下半圆，‎ 点O到直线x+y=﹣和直线x﹣y=的距离均为=1，故半圆与AB，BC相切．‎ ‎∴向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为P===‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．‎ ‎ ‎ ‎9．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）‎ A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1‎ ‎【分析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．‎ ‎【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；‎ 由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=cos（2x+），将y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则φ的一个值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，诱导公式，求得φ的值．‎ ‎【解答】解：已知函数f（x）=cos（2x+‎ ‎），将y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得y=cos（4x+）的图象，‎ 再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，可得y=cos（4x﹣4|φ|+）的图象．‎ 根据所得的图象关于原点对称，可得﹣4|φ|+=kπ+，k∈Z，‎ 令k=﹣1，可得φ的一个值是，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎ ‎ ‎11．（5分）“a＞4”是“方程x2+ax+a=0有两个负实数根”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】方程x2+ax+a=0有两个负实数根，则，解出即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：方程x2+ax+a=0有两个负实数根，则，解得a≥4，‎ ‎∴“a＞4”是“方程x2+ax+a=0有两个负实数根”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、根与系数的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则 的最大值是（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．‎ ‎【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，‎ 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，‎ 在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．‎ 由余弦定理得，‎ ‎|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，‎ 配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，‎ 又∵ab≤（）2，‎ ‎∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2‎ 得到|AB|≥（a+b）．‎ ‎∴≤1，‎ 即的最大值为1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．‎ ‎ ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）已知两个单位向量，满足|+2|=，则，的夹角为 ．‎ ‎【分析】利用向量的模的计算公式，求出向量的夹角即可．‎ ‎【解答】解：因为|+2|=，‎ 所以|+2|2==（）2，‎ 又，是两个单位向量，‎ 所以，‎ ‎∴=﹣，‎ 又，‎ 所以cos=，‎ ‎，的夹角为．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积的运算，向量的模的应用，考查计算能力．‎ ‎ ‎ ‎14．（5分）若dx=a，则（x+）6展开式中的常数项为 160 ．‎ ‎【分析】先根据定积分求出a的值，再根据二项式定理即可求出展开式中的常数项．‎ ‎【解答】解： dx=2lnx|=2（lne﹣ln1）=2=a，‎ ‎∴（x+）6展开式中的常数项为C6323=160，‎ 故答案为：160‎ ‎【点评】本题考查了定积分和二项式定理的应用，属于基础题．‎ ‎ ‎ ‎15．（5分）已知，则= ．‎ ‎【分析】根据三角恒等变换化简，得出sin（α+）的值，再利用二倍角公式求出的值．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴sincosα﹣cossinα﹣cosα ‎=﹣sinα﹣cosα ‎=﹣sin（α+）=，‎ ‎∴sin（α+）=﹣；‎ ‎∴=1﹣2sin2（α+）‎ ‎=1﹣2×‎ ‎=．‎ 故选：．‎ ‎【点评】本题考查了三角恒等变换与二倍角公式的应用问题，是基础题．‎ ‎ ‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=（x2+ax+b）ex，当b＜1时，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均为增函数，则的取值范围是 （﹣3，﹣] ．‎ ‎【分析】根据求导公式求出函数的导数，在根据二次函数图象求出a，b的取值范围，绘制出a，b的取值范围，根据线性规划求出其取值范围．‎ ‎【解答】解：由f′（x）=[x2+（a+2）x+a+b]ex 函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）增函数，‎ ‎∴x2+（a+2）x+a+b＞0恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 画出满足条件的平面区域，如图所示：‎ ‎，‎ 由，解得B（1，1），‎ 由，解得C（﹣1，﹣1），‎ 结合图象的几何意义表示过A（2，﹣2）与平面区域内的点的直线的斜率，‎ 而KAB=﹣3，KAC=﹣，‎ 故的取值范围是（﹣3，﹣]，‎ 故答案为：（﹣3，﹣]．‎ ‎【点评】考察学生函数求导、二次函数的性质及线性规划问题，属于中档题．‎ ‎ ‎ 三、解答题：共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）已知等差数列{an}满足a4=6，a6=10．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列{bn}各项均为正数，其前n项和Tn，若b3=a3，T2=3，求Tn．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式可把已知条件用a1，d表示，解方程可得a1，d从而可求an ‎（2）由（1）可得an=2n﹣2，把已知可转化为，解方程可得b1，q，代入等比数列的求和公式．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，首项为a，‎ ‎∵a4=6，a6=10，∴（3分）‎ 解得（5分）‎ ‎∴数列{an}的通项公式an=a1+（n﹣d）d=2n﹣2．（6分）‎ ‎（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0）‎ ‎∵an=2n﹣2，‎ ‎∴a3=4，‎ ‎∵a3=b3，‎ ‎∴b3=4‎ 即（8分）‎ 解得或舍（10分）‎ ‎∴．（12分）‎ ‎【点评】本小题主要考查等差、等比数列的通项公式以及等比数列的前n项和公式，属于对基本定义、基本公式的简单运用的考查，试题难度不大．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．‎ ‎（1）求证：PB=PD；‎ ‎（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．‎ ‎【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连结PO，则AC⊥BD，结合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PO，又O为BD的中点，得出OP为BD的中垂线，得出结论；‎ ‎（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，证明四边形AQEF是平行四边形，于是AQ⊥平面PCD，通过证明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA，结合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于|cos＜＞|，从而得出线面角的大小．‎ ‎【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连结PO．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，OB=OD．‎ 又PA⊥BD，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，‎ ‎∴BD⊥PO．‎ 又OB=OD，‎ ‎∴PB=PD．‎ ‎（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，‎ 则EQ∥CD，EQ=CD，又AF∥CD，AF==，‎ ‎∴EQ∥AF，EQ=AF，‎ ‎∴四边形AQEF为平行四边形，∴EF∥AQ，‎ ‎∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，‎ ‎∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，‎ ‎∴AP=AD=．‎ ‎∵AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥CD，‎ 又AD⊥CD，AQ∩AD=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．‎ 又BD⊥PA，BD∩CD=D，‎ ‎∴PA⊥平面ABCD．‎ 以A为坐标原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则B（，0，0），P（0，0，），A（0，0，0），Q（0，，）．‎ ‎∴=（0，，），=（，0，﹣）．‎ ‎∵AQ⊥平面PCD，∴为平面PCD的一个法向量．‎ ‎∴cos＜＞==﹣．‎ 设直线PB与平面PCD所成角为θ，‎ 则sinθ=|cos＜＞|=．‎ ‎∴直线PB与平面PCD所成角为．‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：‎ 产假安排（单位：周）‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？‎ ‎（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；‎ ‎②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．‎ ‎【分析】（1）由表中信息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率．‎ ‎（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率．‎ ‎②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．‎ ‎【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；‎ 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2分）‎ ‎（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，‎ 由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），‎ 其和不低于32周的选法有（14、18）、（15、17）、（15、18）、（16、17）、（16、18）、（17、18），共6种，‎ 由古典概型概率计算公式得…（6分）‎ ‎②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．‎ ‎，，‎ ‎，‎ 因而ξ的分布列为 ξ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ P ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 所以E（ξ）=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32，…（12分）‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠‎ MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），‎ 则c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4．‎ 可得椭圆C的方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则+=1，A（﹣2，0），‎ AF所在直线方程y=（x+2），‎ 取x=0，得y=，‎ ‎∴N（0，），‎ AE所在直线方程为y=（x+2），‎ 取x=0，得y=．‎ 则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），‎ 半径r=，‎ 圆的方程为x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=．‎ 取y=0，得x=±2．‎ 可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．‎ 可得在x轴上存在点P（±2，0），‎ 使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ax（lnx﹣1）（a≠0）．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）当a＞0时，设函数g（x）=x3﹣f（x），函数h（x）=g′（x），‎ ‎①若h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎②证明：ln（1×2×3×…×n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．‎ ‎【分析】（1）求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a＞0，a＜0，由导数大于0，解得增区间；‎ ‎（2）①当a＞0时，求出g（x）的导数，由题意可得≥的最大值，求出右边函数的导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求a的范围；‎ ‎②由①可得＜，x∈N，可得2elnn＜n2，由累加法和对数的运算性质即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=ax（lnx﹣1）的导数为f′（x）=a（lnx﹣1）+a=alnx，‎ 当a＞0时，x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；‎ 当a＜0时，0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．‎ 即有a＞0，f（x）的递增区间为（1，+∞）；‎ a＜0时，f（x）的递增区间为（0，1）；‎ ‎（2）①当a＞0时，设函数g（x）=x3﹣f（x）=x3﹣ax（lnx﹣1），‎ 函数h（x）=g′（x）=x2﹣alnx，x＞0，‎ h（x）≥0恒成立，即为≥的最大值，‎ 由y=的导数为，当x＞时，函数y递减；‎ 当0＜x＜时，函数y递增，即有x=取得最大值，‎ 则有≥，解得0＜a≤e；‎ ‎②证明：由①可得＜，x∈N，‎ 即有2elnn＜n2，‎ 可得2e（ln1+ln2+ln3+…+lnn）＜12+22+32+…+n2，‎ 则ln（1•2•3…n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，考查不等式的证明，注意运用已知不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题号.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）‎ ‎22．（10分）已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度；‎ ‎（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三角函数的平方关系式，将曲线C的参数方程化为普通方程，求出直线AB的方程，代入，可得3x2﹣4x=0，即可求出|AB|的长度；‎ ‎（Ⅱ）直线参数方程代入，A，B对应的参数为t1，t2，则|PA|•|PB|=﹣t1t2，即可求出|PA|•|PB|的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C的普通方程为．‎ 当θ=时，直线AB的方程为，y=x﹣1，‎ 代入，可得3x2﹣4x=0，∴x=0或x=‎ ‎∴|AB|=•=；‎ ‎（Ⅱ）直线参数方程代入，得（cos2θ+2sin2θ）t2+2tcosθ﹣1=0．‎ 设A，B对应的参数为t1，t2，∴|PA|•|PB|=﹣t1t2==∈[，1]．‎ ‎【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，熟练掌握参数方程与直角坐标的互化公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）．‎ ‎（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=7时，利用对数函数的真数大于0，列出不等式，利用绝对值不等式转化为：代数不等式即可求函数f（x）的定义域；‎ ‎（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，转化求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x﹣1|+|x+2|＞7，‎ 令x﹣1=0，x+2=0，解得x=1，x=﹣2，这就是两个分界点．把全体实数分成3个区间．‎ 不等式的解集是以下不等式组解集的并集：‎ ‎，或，或…（3分）‎ 解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣4）∪（3，+∞）； …（5分）‎ ‎（Ⅱ）不等式f（x）≥3即：|x﹣1|+|x+2|≥a+8，‎ ‎∵x∈R时，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，…（8分）‎ ‎∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，‎ ‎∴a的取值范围是：（﹣∞，﹣5]．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．‎