2018届二轮复习导数与函数的单调性、极值、最值问题课件文（全国通用） 40页

第 4 讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题 高考定位　 利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题 . 真 题 感 悟 1. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 若 x ＝－ 2 是函数 f ( x ) ＝ ( x 2 ＋ ax － 1)·e x － 1 的极值点，则 f ( x ) 的极小值为 ( 　　 ) A. － 1 B. － 2e － 3 C.5e － 3 D.1 解析　 f ′( x ) ＝ [ x 2 ＋ ( a ＋ 2) x ＋ a － 1]·e x － 1 ， 则 f ′( － 2) ＝ [4 － 2( a ＋ 2) ＋ a － 1]·e － 3 ＝ 0 ⇒ a ＝－ 1 ， 则 f ( x ) ＝ ( x 2 － x － 1)·e x － 1 ， f ′( x ) ＝ ( x 2 ＋ x － 2)·e x － 1 ， 令 f ′( x ) ＝ 0 ，得 x ＝－ 2 或 x ＝ 1 ， 当 x < － 2 或 x >1 时， f ′( x )>0 ， 当－ 2< x <1 时， f ′( x )<0 ，则 f ( x ) 极小值为 f (1) ＝－ 1. 答案　 A 答案　 y ＝ x ＋ 1 3. (2017· 全国 Ⅰ 卷改编 ) 已知函数 f ( x ) ＝ e x (e x － a ) － a 2 x ，其中参数 a ≤ 0. (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； (2) 若 f ( x ) ≥ 0 ，求 a 的取值范围 . 考 点 整 合 1. 导数的几何意义 函数 f ( x ) 在 x 0 处的导数是曲线 f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率，曲线 f ( x ) 在点 P 处的切线的斜率 k ＝ f ′( x 0 ) ，相应的切线方程为 y － f ( x 0 ) ＝ f ′( x 0 )( x － x 0 ). 易错提醒 　 求曲线的切线方程时，要注意是在点 P 处的切线还是过点 P 的切线，前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为切点 . 2. 四个易误导数公式 3. 利用导数研究函数的单调性 (1) 导数与函数单调性的关系 . ① f ′( x )>0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件，如函数 f ( x ) ＝ x 3 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上单调递增，但 f ′( x ) ≥ 0. ② f ′( x ) ≥ 0 是 f ( x ) 为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有 f ′( x ) ＝ 0 时，则 f ( x ) 为常数函数 . (2) 利用导数研究函数单调性的方法 . ① 若求单调区间 ( 或证明单调性 ) ，只要在函数定义域内解 ( 或证明 ) 不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0. ② 若已知函数的单调性，则转化为不等式 f ′( x ) ≥ 0 或 f ′( x ) ≤ 0 在单调区间上恒成立问题来求解 . 4. 利用导数研究函数的极值、最值 (1) 若在 x 0 附近左侧 f ′( x )>0 ，右侧 f ′( x )<0 ，则 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 的极大值；若在 x 0 附近左侧 f ′( x )<0 ，右侧 f ′( x )>0 ，则 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 的极小值 . (2) 设函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上连续，在 ( a ， b ) 内可导，则 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 . 易错提醒 　若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件 . 热点一　导数的几何意义 【例 1 】 (1) (2017· 鹰潭一模 ) 已知曲线 f ( x ) ＝ 2 x 2 ＋ 1 在点 M ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的瞬时变化率为－ 8 ，则点 M 的坐标为 ________. (2) (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知 f ( x ) 为偶函数，当 x ≤ 0 时， f ( x ) ＝ e － x － 1 － x ，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， 2) 处的切线方程是 ________. 解析　 (1) ∵ f ( x ) ＝ 2 x 2 ＋ 1 ， ∴ f ′( x ) ＝ 4 x ， 令 4 x 0 ＝－ 8 ，则 x 0 ＝－ 2 ， ∴ f ( x 0 ) ＝ 9 ， ∴ 点 M 的坐标是 ( － 2 ， 9). (2) 因为 f ( x ) 为偶函数，所以当 x >0 时， f ( x ) ＝ f ( － x ) ＝ e x － 1 ＋ x . 所以 f ′( x ) ＝ e x － 1 ＋ 1 ， f ′(1) ＝ e 1 － 1 ＋ 1 ＝ 2. 所以 f ( x ) 在点 (1 ， 2) 处的切线方程为 y － 2 ＝ 2( x － 1) ，即 2 x － y ＝ 0. 答案　 (1)( － 2 ， 9) 　 (2)2 x － y ＝ 0 探究提高　 1.(1) 利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化，其中关键是求出切点的坐标 . (2) 以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系和导数联系起来求解 . 2. 求曲线的切线要注意 “ 过点 P 的切线 ” 与 “ 在点 P 处的切线 ” 的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点 . 答案　 (1)A 　 (2)1 探究提高 　 1. 求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解 ( 证 ) 不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0. 2. 解答本例容易出现以下错误： (1) 忽略函数的定义域，在函数解析式中含有对数必须满足 x >0. (2) 对 k 分类讨论不全，题目中已知 k >0 ，对 k 分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面 . 【迁移探究 1 】 若将本例中的条件 “ k >0” 变为 “ k <0” ，其他条件不变， f ( x ) 在 (0 ， 2) 上的单调性如何？ 【迁移探究 2 】 在本例 (1) 中，将 “ (0 ， 2) ” 改为 (0 ，＋ ∞ ) ，其他条件不变，求函数 f ( x ) 的单调区间 . 探究提高　 1. 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f ′( x ) ≥ 0( 或 f ′( x ) ≤ 0) ， x ∈ ( a ， b ) 恒成立，解出参数的取值范围 ( 一般可用不等式恒成立的理论求解 ) ，应注意参数的取值是 f ′( x ) 不恒等于 0 的参数的范围 . 2. 若函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 上不单调，则转化为 f ′( x ) ＝ 0 在 ( a ， b ) 上有解 . 【训练 2 】 已知 a ∈ R ，函数 f ( x ) ＝ ( － x 2 ＋ ax )e x ( x ∈ R ， e 为自然对数的底数 ). (1) 当 a ＝ 2 时，求函数 f ( x ) 的单调递增区间； (2) 若函数 f ( x ) 在 ( － 1 ， 1) 上单调递增，求 a 的取值范围； 解　 (1) ∵ f ( x ) ＝ e x ·cos x － x ， ∴ f (0) ＝ 1 ， f ′( x ) ＝ e x (cos x － sin x ) － 1 ， ∴ f ′(0) ＝ 0 ， ∴ y ＝ f ( x ) 在 (0 ， f (0)) 处的切线方程为 y － 1 ＝ 0·( x － 0) ，即 y ＝ 1. 命题角度 2 　与函数极值点个数有关问题 【例 3 － 2 】 (2017· 衡水中学月考 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ax － 1 － ln x ( a ∈ R ). (1) 讨论函数 f ( x ) 在定义域内的极值点的个数； (2) 若函数 f ( x ) 在 x ＝ 1 处取得极值， ∀ x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， f ( x ) ≥ bx － 2 恒成立，求实数 b 的最大值 . 探究提高　 1. 求函数 f ( x ) 的极值，则先求方程 f ′( x ) ＝ 0 的根，再检查 f ′( x ) 在方程根的左右附近函数值的符号 . 2. 若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f ′( x ) ＝ 0 根的大小或存在情况来求解 . 3. 求函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 与 f ( x ) 的各极值进行比较得到函数的最值 . 1. 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用 “∪” 连接，而只能用逗号或 “ 和 ” 字隔开 . 2. 可导函数在闭区间 [ a ， b ] 上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值 . 3. 可导函数极值的理解 (1) 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2) 对于可导函数 f ( x ) ， “ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 f ′( x 0 ) ＝ 0 ” 是 “ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处取得极值 ” 的必要不充分条件； (3) 注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点 . 4. 求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论 . 5. 求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维 —— 直接求函数的极值或最值；也有逆向思维 —— 已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想 .