2017-2018学年四川省眉山市高二下学期期末考试数学（文）试题（Word版） 9页

‎2017-2018学年四川省眉山高二下学期期末考试 ‎ 数学试题卷 （文史类） 2018.07‎ 数学试题卷（文科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．‎ ‎2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.‎ ‎3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．‎ ‎4．考试结束后，将答题卡交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知为虚数单位，实数满足，则 A．1 B． C． D．‎ ‎2．高二（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是 ‎ A.15 B‎.16 ‎ C.17 D.18‎ ‎3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是 A．假设、、都是偶数 B．假设、、都不是偶数 C．假设、、至多有一个偶数 D．假设、、至多有两个偶数 ‎4．设，计算得 ‎，观察上述结果，可推测一般结论为 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则 ‎“”是“点第四象限”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字），设甲、乙所抛掷骰子朝上一面的点数分别为、，则满足复数的实部大于虚部的概率是 A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，则函数的大致图象是 ‎8．在长为‎12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC、CB的长,则该矩形面积小于‎32cm2的概率为 ‎ ‎ ‎9．AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地‎4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示‎4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是 A．这12天中有6天空气质量为“优良”‎ B．这12天中空气质量最好的是‎4月9日 C．这12天的AQI指数值的中位数是90‎ D．从4日到9日,空气质量越来越好10．函数的大致图象如图所示，‎ 则等于 A. B. C. D. ‎11．设函数的导函数为，对任意成立，则 A． B．‎ C． D．与的大小不确定 ‎12．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是 ‎ ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．为虚数单位，设复数满足 ，则的虚部是 .‎ ‎14．如图,函数的图象在点P处的切线方程是 ‎，则 .‎ ‎15．一个样本的平均数是,且是方程的两根,则这个样本的方差是　　　　 　. ‎ ‎16．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：‎ ‎①对于任意，函数是上的减函数；‎ ‎②对于任意，函数存在最小值；‎ ‎③存在，使得对于任意的，都有成立；‎ ‎④存在，使得函数有两个零点．‎ 其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．‎ ‎（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的 成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；‎ ‎（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．‎ ‎0.400‎ ‎0.250‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ 参考公式： ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（1）请根据表中提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据: ）‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．‎ 参考公式：，；相关系数；‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；‎ ‎（2）①试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎②若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数，且曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值及函数的最大值；‎ ‎（2）证明：对任意的.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 设函数． ‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 数学（文科）参考答案 一、选择题：DCBDA BACCC AD 二、填空题：‎ ‎13. 14. 1 15. 16.②④‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（1） --------------2分 所以函数的单调减区间为 ------------------------4分 ‎（2）因为 ----------------------5分 ‎ ---------------------6分 又 ---------------------8分 由， -----------------------10分 ‎18.[解] (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96)，(93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果， --------- -------3分 符合条件的事件数(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10种结果， -----------------5分 根据等可能事件的概率得到P＝＝． --------------------6分 ‎(2)由已知数据得 甲班 乙班 总计 成绩优秀 ‎1‎ ‎5‎ ‎6‎ 成绩不优秀 ‎19‎ ‎15‎ ‎34‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎-----------------------8分 根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值 k＝≈3.137， ----------------------------11分 由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关． ----------------------------12分 ‎19.（1）6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， ----------------------------1分 ＝＝9，＝＝4， ----------------------------2分 ‎62＋82＋102＋122＝344． ---------------------------4分 ‎，线性相关性非常强. ---------------------------6分 ‎(2)158，=9，＝4，344．‎ ＝＝＝0.7，＝－＝4－0．7×9＝－2.3，‎ 故线性回归方程为＝0.7x－2.3． ----------------------------10分 ‎(3)由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，＝0．7×9－2．3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4． ----------------------------12分 ‎20.（1）由直方图可知，样本中数据落在的频率为，‎ 则估计全校这次考试中优秀生人数为． ----------------------2分 ‎（2）①设样本数据的平均数为，‎ 则，‎ 则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5． ----------------------------5分 ‎②成绩在间分别抽取了3人，2人，1人．---------------7分 记成绩在的3人为，成绩在的2人为，成绩在的1人为，记恰好抽中2名优秀生为事件，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有 ‎，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，‎ 共20种 -------------------------------------------------------------------------------------------9分 其中恰好抽中2名优秀生的结果有，‎ 共9种，----11分 则． --------------------------------------------------------------------------------12分 ‎21解：（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以解得，所以，故．令，得，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ 所以当时，取得最大值． --------------------6分 ‎（Ⅱ）证明：原不等式可变为则 ‎，可知函数单调递增，‎ 而，‎ 所以方程在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即．‎ 当x∈（0，x0）时，，函数h（x）单调递减；‎ 当x∈（x0，+∞）时，，函数h（x）单调递增；所以 ‎.‎ 即在（0，+∞）上恒成立，‎ 所以对任意x＞0，成立． ---------------------12分 法二：证，亦可.‎ ‎22.解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝. ----------1分 令g(x)＝x2－ax＋1，则方程x2－ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4.‎ ‎①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ---------2分 ‎②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ----------3分 ‎③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝，‎ 当00；当x1x2时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减． -------------5分 ‎(2)由(1)知，a>2.‎ 因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，‎ 所以k＝＝1＋－a·.‎ 又由(1)知，x1x2＝1.于是k＝2－a·. ---------------------------------7分 若存在a，使得k＝2－a.则＝1. ---------------------------------8分 即ln x1－ln x2＝x1－x2.‎ 亦即x2－－2ln x2＝0(x2>1)．　(*) -----------------------9分 再由(1)知，函数h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，‎ 所以x2－－2ln x2>1－－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾． -------------------11分 故不存在a，使得k＝2－a. ------------------12分