2018届高三数学一轮复习： 第3章 第7节 课时分层训练23 7页

课时分层训练(二十三) 正弦定理、余弦定理应用举例 A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．如图 379 所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与 灯塔 B 的距离为( ) 【导学号：01772135】 图 379 A．a km B. 3a km C. 2a km D.2a km B [在△ABC 中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°， ∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝ 3a.] 2．如图 3710，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观 察站南偏西 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) 图 3710 A．北偏东 10° B．北偏西 10° C．南偏东 80° D．南偏西 80° D [由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°， 所以∠DBA＝10°，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°.] 3．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线 航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向 是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距 离是( ) 【导学号：01772136】 A．10 2海里 B.10 3海里 C．20 3海里 D.20 2海里 A [如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20 海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝ 45°，根据正弦定理得 BC sin 30° ＝ AB sin 45° ， 解得 BC＝10 2(海里)．] 4．如图 3711，一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB＝1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从 码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 ( ) 图 3711 A．8 km/h B.6 2 km/h C．2 34 km/h D.10 km/h B [设 AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意 知，sin θ＝0.6 1 ＝3 5 ，从而 cos θ＝4 5 ，所以由余弦定理得 1 10v 2＝ 1 10 ×2 2＋12－ 2× 1 10 ×2×1×4 5 ，解得 v＝6 2.] 5．在不等边三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a 为最大边，如果 sin2(B＋C)0. 则 cos A＝b2＋c2－a2 2bc >0. ∵0π 3. 因此得角 A 的取值范围是 π 3 ，π 2 .] 二、填空题 6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点 D 出发，沿角的一边 DA 行 走 10 米后，拐弯往另一方向行走 14 米正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一点， 我们将该点记为点 B，则 B 与 D 之间的距离为________米． 【导学号：01772137】 16 [如图所示，设 BD＝x m，则 142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，整理得 x2－10x－96＝0，x＝－6(舍去)，x＝16，∴x＝16(米)．] 7．如图 3712，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在 塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D，测得∠BDC＝45°，则塔 AB 的高是________米. 【导学号：01772138】 图 3712 10 6 [在△BCD 中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°， ∠DBC＝30°， BC sin 45° ＝ CD sin 30° ，BC＝CDsin 45° sin 30° ＝10 2.在 Rt△ABC 中，tan 60° ＝AB BC ，AB＝BCtan 60°＝10 6(米)．] 8．如图 3713 所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15° 方向，与海轮相距 20 海里的 B 处，海轮按北偏西 60°的方向航行了 30 分钟后到 达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75°的方向，则海轮的速度为________海里 /分钟． 图 3713 6 3 [由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°， 由正弦定理得 AC sin B ＝ AB sin∠ACB ， 所以 AC＝ AB·sin B sin∠ACB ＝20×sin 60° sin 45° ＝10 6， 所以海轮航行的速度为10 6 30 ＝ 6 3 (海里/分钟)．] 三、解答题 9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下 办法：在岸边设置两个观察点 A，B，且 AB 长为 80 米，当航模在 C 处时，测得 ∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过 20 秒后，航模直线航行到 D 处，测得∠BAD ＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号) 图 3714 [解] 在△ABD 中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°， ∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80 2.3 分 在△ABC 中， BC sin 30° ＝ AB sin 45° ， ∴BC＝ABsin 30° sin 45° ＝ 80×1 2 2 2 ＝40 2.6 分 在△DBC 中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 60° ＝(80 2)2＋(40 2)2－2×80 2×40 2×1 2 ＝9 600. ∴DC＝40 6，航模的速度 v＝40 6 20 ＝2 6米/秒. 12 分 10．如图 3715，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若 渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上． 图 3715 (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin α的值． [解] (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.3 分 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得 BC＝28. 所以渔船甲的速度为BC 2 ＝14 海里/小时.7 分 (2)在△ABC 中，因为 AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正 弦定理，得 AB sin α ＝ BC sin 120° ，9 分 即 sin α＝ABsin 120° BC ＝12× 3 2 28 ＝3 3 14 .12 分 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱 的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A 向北 偏东 30°前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高 度是 ( ) 【导学号：01772139】 A．50 m B.100 m C．120 m D.150 m A [设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在△ABC 中，A＝60°，AC＝h， AB＝100，BC＝ 3h，根据余弦定理得，( 3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°， 即 h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即 h＝50，故水柱的高度是 50 m．] 2．(2014·全国卷Ⅰ)如图 3716，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山 顶 C 为测量观测点．从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA＝60°.已知山高 BC＝100 m，则山高 MN＝________m. 图 3716 150 [根据图示，AC＝100 2 m. 在△MAC 中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得 AC sin 45° ＝ AM sin 60° ⇒AM＝100 3 m. 在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°， ∴MN＝100 3× 3 2 ＝150(m)．] 3．已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶各有一个发射塔 A，B，塔顶 A，B 的海拔高度分别为 AM＝100 米和 BN＝200 米，一测量车在小山 M 的正南 方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30°，该测量车向北偏西 60°方向行驶了 100 3米后到达点 Q，在点 Q 处测得发射塔顶 B 处的仰角为θ，且∠BQA＝θ， 经测量 tan θ＝2，求两发射塔顶 A，B 之间的距离． 图 3717 [解] 在 Rt△AMP 中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100 3，连接 QM(图 略)，在△PQM 中，∠QPM＝60°，3 分 又 PQ＝100 3， ∴△PQM 为等边三角形， ∴QM＝100 3.6 分 在 Rt△AMQ 中，由 AQ2＝AM2＋QM2，得 AQ＝200. 在 Rt△BNQ 中，tan θ＝2，BN＝200， ∴BQ＝100 5，cos θ＝ 5 5 .9 分 在△BQA 中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100 5)2， ∴BA＝100 5. 即两发射塔顶 A，B 之间的距离是 100 5米.12 分