2021高考数学大一轮复习考点规范练49椭圆理新人教A版 9页

考点规范练49　椭圆 ‎　考点规范练A册第33页　 ‎ 基础巩固 ‎1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为(　　)‎ A‎.x‎2‎‎169‎+‎y‎2‎‎144‎=1 B‎.x‎2‎‎144‎+‎y‎2‎‎169‎=1 C‎.x‎2‎‎169‎+‎y‎2‎‎25‎=1 D‎.x‎2‎‎144‎+‎y‎2‎‎25‎=1‎ 答案:A 解析:由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.‎ 又椭圆的焦点在x轴上,‎ ‎∴椭圆方程为x‎2‎‎169‎‎+‎y‎2‎‎144‎=1.‎ ‎2.(2019北京,理4)已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎1‎‎2‎,则(　　)‎ A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b 答案:B 解析:椭圆的离心率e=ca‎=‎‎1‎‎2‎,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.‎ ‎3.(2019河南洛阳期中)“-30,‎m+3>0,‎‎5-m≠m+3,‎解得-3|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.‎ ‎6.已知F1,F2是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A‎.‎‎5‎‎5‎‎,1‎ B‎.‎‎2‎‎2‎‎,1‎ C‎.‎‎0,‎‎5‎‎5‎ D‎.‎‎0,‎‎2‎‎2‎ 答案:B 解析:∵F1,F2是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右两个焦点,‎ ‎∴离心率0b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为‎2‎‎2‎,F2与椭圆上点的连线中最短线段的长为‎2‎-1.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(2)已知椭圆E上存在一点P,使得直线PF1,PF2分别交椭圆E于点A,B,若PF‎1‎=2F‎1‎A‎,‎PF‎2‎=λF‎2‎B(λ>0),求直线PB的斜率.‎ 解:(1)由题意得e=ca‎=‎‎2‎‎2‎,①‎ a-c=‎2‎-1,②‎ 由①②解得a=‎2‎,c=1,∴b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=1.‎ ‎∴椭圆E的标准方程是x‎2‎‎2‎+y2=1.‎ ‎(2)设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线lPA的方程为x=my-1.‎ 由x=my-1,‎x‎2‎‎+2y‎2‎=2,‎消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,‎ 则y0·y1=-‎‎1‎m‎2‎‎+2‎‎.‎ 9‎ ‎∵‎1‎m=‎y‎0‎x‎0‎‎+1‎‎,∴m=‎x‎0‎‎+1‎y‎0‎‎.‎ ‎∴‎‎|PF‎1‎|‎‎|F‎1‎A|‎‎=-y‎0‎y‎1‎=-y‎0‎‎-‎‎1‎‎(m‎2‎+2)‎y‎0‎=(m2+2)y‎0‎‎2‎‎=‎‎(x‎0‎+1‎‎)‎‎2‎y‎0‎‎2‎‎+2‎y‎0‎‎2‎=(x0+1)2+2y‎0‎‎2‎=(x0+1)2+2-x‎0‎‎2‎=3+2x0.‎ ‎∴3+2x0=2,解得x0=-‎1‎‎2‎,∴P‎-‎1‎‎2‎,±‎‎14‎‎4‎‎.‎ ‎∴kPB=kPF‎2‎‎=‎‎±‎‎14‎‎4‎‎-‎1‎‎2‎-1‎=‎‎∓‎14‎‎6‎.‎ 故直线PB的斜率为±‎‎14‎‎6‎‎.‎ ‎9.已知椭圆M:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎6‎‎3‎,焦距为2‎2‎‎.‎斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.‎ ‎(1)求椭圆M的方程;‎ ‎(2)若k=1,求|AB|的最大值;‎ ‎(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q‎-‎7‎‎4‎,‎‎1‎‎4‎共线,求k.‎ 解:(1)由题意得a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎,‎ca‎=‎6‎‎3‎,‎‎2c=2‎2‎,‎ 解得a=‎3‎,b=1.所以椭圆M的方程为x‎2‎‎3‎+y2=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=x+m,‎x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎=1,‎得4x2+6mx+3m2-3=0,‎ 所以x1+x2=-‎3m‎2‎,x1x2=‎‎3m‎2‎-3‎‎4‎‎.‎ 所以|AB|=‎‎(x‎2‎-x‎1‎‎)‎‎2‎+(y‎2‎-‎y‎1‎‎)‎‎2‎ ‎=‎‎2(x‎2‎-‎x‎1‎‎)‎‎2‎ ‎=‎‎2[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎ ‎=‎‎12-3‎m‎2‎‎2‎‎.‎ 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为‎6‎‎.‎ 9‎ ‎(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x‎1‎‎2‎+3y‎1‎‎2‎=3,x‎2‎‎2‎+3y‎2‎‎2‎=3.‎ 直线PA的方程为y=y‎1‎x‎1‎‎+2‎(x+2).‎ 由y=y‎1‎x‎1‎‎+2‎(x+2),‎x‎2‎‎+3y‎2‎=3,‎得[(x1+2)2+3y‎1‎‎2‎]x2+12y‎1‎‎2‎x+12y‎1‎‎2‎-3(x1+2)2=0.‎ 设C(xC,yC),所以xC+x1=‎‎-12‎y‎1‎‎2‎‎(x‎1‎+2‎)‎‎2‎+3‎y‎1‎‎2‎‎=‎4x‎1‎‎2‎-12‎‎4x‎1‎+7‎.‎ 所以xC=‎4x‎1‎‎2‎-12‎‎4x‎1‎+7‎-x1=‎‎-12-7‎x‎1‎‎4x‎1‎+7‎‎.‎ 所以yC=y‎1‎x‎1‎‎+2‎(xC+2)=‎y‎1‎‎4x‎1‎+7‎‎.‎ 设D(xD,yD),同理得xD=‎-12-7‎x‎2‎‎4x‎2‎+7‎,yD=‎y‎2‎‎4x‎2‎+7‎‎.‎ 记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,‎ 则kCQ-kDQ=y‎1‎‎4x‎1‎+7‎‎-‎‎1‎‎4‎‎-12-7‎x‎1‎‎4x‎1‎+7‎‎+‎‎7‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎4x‎2‎+7‎‎-‎‎1‎‎4‎‎-12-7‎x‎2‎‎4x‎2‎+7‎‎+‎‎7‎‎4‎=4(y1-y2-x1+x2).‎ 因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.‎ 故y1-y2=x1-x2.‎ 所以直线l的斜率k=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=1.‎ 能力提升 ‎10.(2019全国Ⅰ,理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)‎ A‎.‎x‎2‎‎2‎+y2=1 B‎.x‎2‎‎3‎+‎y‎2‎‎2‎=1‎ C‎.x‎2‎‎4‎+‎y‎2‎‎3‎=1 D‎.x‎2‎‎5‎+‎y‎2‎‎4‎=1‎ 答案:B 解析:如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.‎ 9‎ 由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.‎ 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,‎ 故|AF1|=2n.‎ 由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,‎ 得m-n=2n,‎m+n=2a,‎解得m=‎3a‎2‎,‎n=a‎2‎.‎ ‎∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b)‎.∴kAF‎2‎=‎b‎1‎=b.‎ 过点B作x轴的垂线,垂足为点P.‎ 由题意可知△OAF2∽△PBF2.‎ 又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=‎‎1‎‎2‎‎.‎ 又kAF‎2‎‎=‎|BP|‎‎|F‎2‎P|‎=‎‎|BP|‎‎1‎‎2‎=b,‎ ‎∴|BP|=‎1‎‎2‎b.∴点B‎3‎‎2‎‎,‎1‎‎2‎b‎.‎ 把点B坐标代入椭圆方程x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1中,得a2=3.‎ 又c=1,故b2=2.‎ 所以椭圆方程为x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎11.椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足PF‎1‎‎·PF‎2‎=‎b‎2‎‎2‎的点P,则椭圆的离心率的范围是　　　　　. ‎ 答案:‎‎3‎‎3‎‎,1‎ 解析:∵椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足PF‎1‎‎·PF‎2‎=‎b‎2‎‎2‎的点P,‎ 9‎ ‎∴|PF‎1‎|·|PF‎2‎|cos=b‎2‎‎2‎,‎ ‎4c2=PF‎1‎‎2‎‎+‎PF‎2‎‎2‎-2|PF‎1‎|·|PF‎2‎|cos,‎ ‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=2a,‎ 可得PF‎1‎‎2‎‎+‎PF‎2‎‎2‎+2|PF‎1‎|·|PF‎2‎|=4a2,‎ ‎∴4c2=4a2-2|PF‎1‎|·|PF‎2‎|-b2.‎ ‎∴2|PF‎1‎|·|PF‎2‎|=3a2-3c2≤2‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|‎‎2‎‎2‎,‎ 当且仅当|PF‎1‎|=|PF‎2‎|时,等号成立.‎ 可得c‎2‎a‎2‎‎≥‎‎1‎‎3‎,解得e‎≥‎3‎‎3‎.‎ 又0b>0,x≤0)和圆N:(x-2)2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成,A,B是M与N的公共点,点P,Q(均异于点A,B)分别是M,N上的动点.‎ ‎(1)若|PQ|的最大值为4+‎5‎,求半椭圆M的方程;‎ ‎(2)若直线PQ过点A,且AQ‎+‎AP=0,BP‎⊥‎BQ,求半椭圆M的离心率.‎ 解:(1)A(0,1),B(0,-1),故b=1,|PQ|的最大值为4+‎5‎=a+2+‎5‎,解得a=2.‎ ‎∴半椭圆M的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1(-2≤x≤0).‎ ‎(2)设直线PQ方程为y=kx+1,与圆N的方程联立可得(k2+1)x2+(2k-4)x=0,∴xA+xQ=‎‎4-2k‎1+‎k‎2‎‎.‎ ‎∵xA=0,∴Q‎4-2k‎1+‎k‎2‎‎,‎‎-k‎2‎+4k+1‎‎1+‎k‎2‎‎.‎ ‎∵AQ+‎AP‎=0,AQ=(xQ,yQ-1),AP=(xP,yP-1),‎ ‎∴xP+xQ=0,yP+yQ=2.‎ 9‎ ‎∴xP=‎2k-4‎‎1+‎k‎2‎,yP=‎‎3k‎2‎-4k+1‎‎1+‎k‎2‎‎.‎ ‎∵BP⊥‎BQ‎,‎ ‎∴BP·‎BQ‎=xPxQ+(yP+1)(yQ+1)=‎-(2k-4‎‎)‎‎2‎‎(1+‎k‎2‎‎)‎‎2‎‎+‎‎(-k‎2‎+4k+1)(3k‎2‎-4k+1)‎‎(k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎+2+1=(k2+1)(16k-12)=0,‎ 解得k=‎3‎‎4‎,∴P‎-‎8‎‎5‎,-‎‎1‎‎5‎‎.‎ 代入椭圆方程可得‎64‎‎25‎a‎2‎‎+‎‎1‎‎25‎=1,解得a2=‎‎8‎‎3‎‎.‎ ‎∴半椭圆M的离心率e=‎‎1-‎b‎2‎a‎2‎‎=‎10‎‎4‎.‎ 高考预测 ‎13.椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直线AB的方程.‎ 解:(1)由题意可得|PF2|=b‎2‎a=3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,故椭圆E的方程为x‎2‎‎16‎‎+‎y‎2‎‎12‎=1.‎ ‎(2)易知点P的坐标为(2,3).‎ 因为∠APF2=∠BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.‎ 设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则直线PA的方程为y-3=k(x-2),‎ 由y-3=k(x-2),‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎ 可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,‎ 所以x1+2=‎8k(2k-3)‎‎3+4‎k‎2‎,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),‎ 可得x2+2=‎-8k(-2k-3)‎‎3+4‎k‎2‎‎=‎‎8k(2k+3)‎‎3+4‎k‎2‎,‎ 9‎ 所以x1+x2=‎16k‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎,x1-x2=‎-48k‎3+4‎k‎2‎,‎ kAB=‎y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎=‎k(x‎1‎-2)+3+k(x‎2‎-2)-3‎x‎1‎‎-‎x‎2‎ ‎=k(x‎1‎+x‎2‎)-4kx‎1‎‎-‎x‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 所以满足条件的直线AB的方程为y+1=‎1‎‎2‎(x-1),即为x-2y-3=0.‎ 9‎