【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第47讲　两条直线的位置关系学案 12页

第47讲　两条直线的位置关系 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．‎ ‎2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．‎ ‎3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.‎ ‎2015·湖南卷，13‎ ‎2014·四川卷，14‎ ‎2014·江苏卷，11‎ 确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题.‎ 分值：3～5分 ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 ‎①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔__k1＝k2__；‎ ‎②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为__平行__.‎ ‎(2)两条直线垂直 ‎①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔__k1k2＝－1__；‎ ‎②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1与l2的关系为__垂直__.‎ ‎2．两条直线的交点 ‎3．三种距离 点P1( x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 ＝____‎ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝____‎ 两条平行线Ax＋ By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝____‎ ‎4．必会结论 ‎(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：‎ ‎①垂直：Bx－Ay＋m＝0；‎ ‎②平行：Ax＋By＋n＝0.‎ ‎(2)与对称问题相关的两个结论：‎ ‎①点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(‎2a－x0,2b－y0)．‎ ‎②设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)．　‎ 则有可求出x′，y′.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　×　)‎ ‎(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)‎ ‎(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)‎ ‎(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　√　)‎ ‎(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　√　)‎ 解析 (1)错误．当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．‎ ‎(2)错误．应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为.‎ ‎(3)正确．因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离．‎ ‎(4)正确．两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离．‎ ‎(5)正确．根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．‎ ‎2．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝(　B　)‎ A．6　　 B．－‎6　‎　‎ C．5　　 D．－5‎ 解析 由已知得k1＝1，k2＝.‎ ‎∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1×＝－1，即m＝－6.‎ ‎3．点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为(　B　)‎ A．　　 B．　　‎ C．5　　 D． 解析 d＝＝.‎ ‎4．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是(　B　)‎ A．(－a－1，－b－1)　　 B．(－b－1，－a－1)‎ C．(－a，－b)　　 D．(－b，－a)‎ 解析 设对称点为(x′，y′)，则 解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.‎ ‎5．直线l1：x－y＝0与直线l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为(　D　)‎ A．3　　 B．5　　　　‎ C．－5　　 D．－8‎ 解析 由得l1与l2的交点坐标为(1,1)，‎ 所以m＋3＋5＝0，m＝－8.‎ 一　两条直线的平行与垂直问题 两条直线平行与垂直问题中的注意点 ‎(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．‎ ‎【例1】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ 解析 (1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.‎ 若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.‎ ‎∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.‎ 又∵l1过点(－3，－1)，∴－‎3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，‎ ‎∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．‎ ‎∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，‎ ‎∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.(*)‎ 又∵l1过点(－3，－1)，∴－‎3a＋b＋4＝0.(**)‎ 由(*)(**)联立，解得a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，‎ k1＝k2，即＝1－a，①‎ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，‎ ‎∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，②‎ 联立①②，解得或 ‎∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ 二　两条直线的交点问题 常用的直线系方程 ‎(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系是Ax＋By＋m＝0(m≠C)．‎ ‎ (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系是Bx－Ay＋m＝0.‎ ‎(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1 ＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系是A1x＋B1y＋C1＋m(A2x＋B2y＋C2)＝0，但不包括l2.‎ ‎【例2】 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．‎ 解析 先解方程组 得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，‎ 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，‎ 故l的方程为5x＋3y－1＝0.‎ 三　距离公式的应用 利用距离公式应注意的问题 ‎(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝，到直线y＝b的距离d＝.‎ ‎(2)应用两平行线间的距离公式的前提是把两直线方程中x，y的系数化为相等．‎ ‎【例3】 已知点P(2，－1)．‎ ‎(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；‎ ‎(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？‎ 解析 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，‎ 此时l的方程为x＝2.‎ 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.‎ 由已知得＝2，解得k＝.‎ 此时l的方程为3x－4y－10＝0.‎ 综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.‎ ‎(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．‎ 由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.‎ 由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.‎ 所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.‎ 四　对称问题及其应用 两种对称问题的处理方法 ‎(1)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求的直线方程．‎ ‎(2)关于轴对称问题的处理方法：‎ ‎①点关于直线的对称，若两点P1 (x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，列出方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．‎ ‎②直线关于直线的对称，此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．‎ ‎【例4】 (1)已知直线l：x＋2y－2＝0.‎ ‎①求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；‎ ‎②求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．‎ ‎(2)光线由点A(－5，)入射到x轴上点B(－2,0)，又反射到y轴上的M点，再经y轴反射，求第二次反射线所在直线l的方程．‎ 解析 (1)①由解得交点P(2,0)．‎ 在l1上取点M(0，－2)，‎ M关于l的对称点设为N(a，b)，则 解得N，∴kl2＝＝7，‎ 又直线l2过点P(2,0)，∴l2的方程为7x－y－14＝0.‎ ‎②设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.‎ 在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，∴m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.‎ ‎(2)点A(－5，)关于x轴的对称点A′(－5，－)在反射光线所在的直线BM上，可知lBM：y＝(x＋2)，∴M.‎ 又第二次反射线的斜率k＝kAB＝－，∴第二次反射线所在直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－2＝0.‎ ‎1．(2018·福建厦门联考)“C＝‎5”‎是“点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为‎3”‎的(　B　)‎ A．充要条件　　　　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件　　　　 D．既不充分也不必要条件 解析 点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为‎3”‎的充分不必要条件，故选B．‎ ‎2．(2018·河南郑州二模)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为(　C　)‎ A．(1,3)　　　　 B．(－1,3)‎ C．(1,3)或(－1,3)　　　　 D．(1，－3)‎ 解析 f′(x)＝3x2－1.设点P的坐标为(x0，x－x0＋3)，由导数的几何意义知3x－1＝2，解得x0＝±1，∴点P的坐标为(1,3)或(－1,3)，故选C．‎ ‎3．(2018·浙江杭州质检)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝‎2”‎是“l1∥l‎2”‎的(　C　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件　　　　 D．既不充分也不必要条件 解析 当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C．‎ ‎4．(2018·河北名校联考)直线y＝a分别与直线y＝3x＋3，曲线y＝2x＋ln x交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　A　)‎ A．　　 B．1　　　　‎ C．　　 D．4‎ 解析 设A(x1，a)，B(x2，a)，则3x1＋3＝2x2＋ln x2，‎ ‎∴x1＝(2x2＋ln x2－3)，∴|AB|＝x2－x1＝(x2－ln x2)＋1，令f(x)＝(x－ln x)＋1，则f′(x)＝，‎ ‎∴函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴x＝1时，f(x)取最小值，即|AB|min＝.‎ 易错点　忽略直线过定点 错因分析：不熟悉直线方程形式，忽略直线过定点这一特性，致使解题过程复杂化，从而造成解题错误．‎ ‎【例1】 已知0