数学文卷·2018届河北省衡水中学高二下学期期末考试（2017-07） 8页

衡水中学2016-2017学年度下学期高二期末考试 数学（文科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.如图，已知，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.某校有高级教师人，一级教师人，二级教师人，现按职称用分层抽样的方法抽取人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知函数的图像在区间和上均单调递增，则正数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知函数，，，，且，，，则的值（ ）‎ A．一定等于零 B．一定大于零 C.一定小于零 D．正负都有可能 ‎10.已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：‎ ‎①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是 正确的个数是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数（）向左平移半个周期得的图像，若在上的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.对任意的，总有，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知，，则与方向相同的单位向量 ．‎ ‎14.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，，则此三棱锥外接球的表面积是 ．‎ ‎15.点在曲线上，则点到直线的距离的最小值是 ．‎ ‎16.是公差不为的等差数列，是公比为正数的等比数列，，，，则数列的前项和等于 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知向量，，且.若的三内角，，的对边分别为，，，且，（为锐角），，求，，的值.‎ ‎18. 某学校用简单随机抽样方法抽取了名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：‎ 若将月均课外阅读时间不低于小时的学生称为“读书迷”.‎ ‎（1）将频率视为概率，估计该校名学生中“读书迷”有多少人？‎ ‎（2）从已抽取的名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各人，参加读书日宣传活动.‎ ‎（ⅰ）共有多少种不同的抽取方法？‎ ‎（ⅱ）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过小时的概率.‎ ‎19. 已知数列是首项等于且公比不为的等比数列，是它的前项和，满足 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设（且），求数列的前项和的最值.‎ ‎20. 已知函数在处有极大值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.‎ ‎21. 如图，五面体中，四边形是棱形，是边长为的正三角形，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若在平面内的正投影为，求点到平面的距离.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ 高二文科期末数学答案 一、选择题 ‎1-5:CDDCA 6-10:BCBBB 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解 ‎∵又，∴‎ ‎∵.由正弦定理得，①‎ ‎∵，由余弦定理，得，②‎ 解①②组成的方程组，得.‎ 综上，，.‎ ‎18.（1）设该校名学生中“读书迷”有人，则，解得.‎ 所以该校名学生中“读书迷”约有人.‎ ‎（2）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为，，，（其中下角标表示该生月平均课外阅读时间），则从名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各人的所有基本事件为：，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ 所以共有种不同的抽取方法.‎ ‎（ⅱ）设表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过小时”，‎ 则事件包含，，，，，个基本事件.‎ 所以所求概率.‎ ‎19.（1）∵，∵，∴.‎ 整理得，解得或（舍去）.‎ ‎∴‎ ‎（2）.‎ ‎1）当时，有，数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列.‎ 由，得，所以，的没有最大值.‎ ‎2）当时，有，数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.‎ 由，得，所以，的没有最小值.‎ ‎20.（1）；（2）.‎ ‎（1），由已知，∴，‎ 当时，，∴在上单调递减，‎ 在上单调递增，∴在处有极小值，舍.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知，令，‎ 则，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调增，要使方程有三个不同的实根，则 ‎，解得.‎ ‎21.（1）证明：如图，取的中点，连，‎ 因为是边长为的正三角形，所以，‎ 又四边形是菱形，，所以是正三角形 所以，‎ 而，所以平面 所以 ‎（2）取的中点，连结 由（1）知，所以 平面，所以平面平面 而平面平面，平面与平面的交线为，‎ 所以平面，即点是在平面内的正投影 设点到平面的距离为，则点到平面距离为 因为在中，，，得 在中，，得 所以由得 即解得，所以到平面的距离 ‎22.由题意得，当时，‎ ‎，‎ ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∴的单调减区间是，单调增区间是.‎ ‎（2）①当时，，显然符合题意；‎ ‎②当时，，令，恒成立.‎ ‎∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在，使得，即，∴当时，，当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，即，‎ 由于在上是增函数，∴.‎ 由于得，设，则.‎ ‎∴函数在上单调递减，∴.‎ 综上所述，实数的取值范围