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- 2021-07-01 发布
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《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（理科）
专题6函数的单调性
本专题特别注意：
1.抽象函数单调性陷阱；
2.复合函数单调性问题陷阱；
3.隐含条件陷阱；
4.数形结合和陷阱；
5．参数讨论陷阱；
6.与函数奇偶性的联系
7.恒成立问题中的最值.
【学习目标】
1．了解函数单调性的概念，会讨论和证明一些简单函数的单调性．
2．利用函数的单调性求最值，求单调区间及参数的取值范围．【知识要点】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
f(x1)f(x2)
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x10在(－1,3)上的解集为( )
A. (1,3) B. (－1,1)
C. (－1,0)∪(1,3) D. (－1,0)∪(0,1)
【答案】C
【解析】若，则此时是偶函数， 即 若 ，则 ∵函数的周期是4，
即 ，作出函数在 上图象如图，
若，则不等式 等价为 ，此时
若 ，则不等式等价为 ，此时 ，
综上不等式 在 上的解集为
故选C.
【方法总结】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
16．【河南省商丘市2017-2018高三第二次模拟考试】已知且，函数在区间上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
17．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵函数f（x）=是R上的增函数，
∴，
解得：a∈[4，8），
故选：D．
方法总结：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是指数函数，第二段是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.
18．【山东省淄博市淄川中学2018学年下学期第一次月考】已知定义在上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
方法总结：
（1）对于条件中含有导函数的不等式的问题，解题时一般要通过构造函数的方法进行，结合导数的运算法则构造出积或商形式的函数，然后再结合函数的单调性解题．
（2）解函数不等式时要注意函数性质的利用，如本题中对于先减后增的偶函数，在解不等式时，可将问题转化为变量到对称轴的距离的问题处理．
19．已知函数在区间上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式即为，
∵函数在区间上单调递增，
∴，即，解得．
∴实数的取值范围是．选A．
20．【河北省定州中学2018届高三下学期第一次月考】定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数， 有 成立，若关于的不等式
在上恒成立，则实数的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∴定义在R上的函数满足，，
∴函数为偶函数，又对任意的不相等的实数， 有成立，即函数数在上递减，
∴在 上单调递增，
若关于的不等式在上恒成立，
即 对恒成立．
∴ 对恒成立，
即 对恒成立，即 且 对 恒成立．
令 ，则 ，则在 上递增， 上递减，
令 则在 上递减，
．
综上所述，
故选D．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，解题时要注意转化的数学思想的利用．
21．设是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足:
①;②对任意,当时,恒有;那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是
A.
B. 或
C.
D.
【答案】D
【解析】对于存在函数 ，满足： 对任意 当 时，恒有 ，所以选项A是“保序同构”；
对于或，存在函数，满足：
对任意 当 时，恒有，所以选项B是“保序同构”；
对于，存在函数
满足： 对任意 当 时，恒有
，所以选项C是“保序同构”；
前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．
故选：D．
【点睛】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．
22．【四川省成都外国语学校2018学年数学试题】已知函数的定义域为，当时， ，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
方法总结：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系,对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.
23．【四川省棠湖中学2018届高三3月月考】定义在R上的函数满足
，且对任意的不相等的实数， 有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵函数满足，
∴函数为偶函数．
又，
∴，
∴．
由题意可得函数在上单调递增，在上单调递减．
∴恒成立，
∴恒成立，
即 恒成立．
令，则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴．
令，则，
∴在上单调递减，
∴．
综上可得实数的取值范围为．选D．
方法总结：解答本题的两个注意点
（1）要根据条件中给出的函数的奇偶性的性质，将问题转化为上恒成立的问题，去掉绝对值后转化为不等式恒成立求解．
（2）解决恒成立问题时，选用分离参数的方法进行，转化为求具体函数的最大值或最小值的问题，然后根据导数并结合函数的单调性去解即可．
24．【山东省济南市2018届高三第一次模拟】设函数 ，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题
25．【吉林省延边州2018年高考仿真模拟试题 】若函数,当，时有恒成立，则的取值范围是____________ .
【答案】 (2,3]
【解析】分析：
已知条件“当，时有恒成立，”说明函数是增函数，则此函数的两段都是增函数，且在时的两个函数值存在一个大小关系，从而可得的范围．
详解：
由恒成立，得函数是增函数，
∴，解得．
故答案为．
点睛：
本题是创新问题，解题关键是正确理解新概念，本题中“当，时有恒成立，”它反应分段函数的两段都是增函数，同时在处的两侧函数值也有一个大小关系．这样可讯速求解．
26．设函数，则使成立的的取值范围是___________.
【答案】
【解析】分析：首先判断函数为偶函数，再判断在单调递减，得到在单调递增，从而将原不等式转化为求解即可.
详解：因为函数，所以时， ,可得在单调递减，，所以函数为偶函数，所以在单调递增，又因为，，，，，故答案为.
方法总结：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
27．已知函数f1(x)＝|x－1|，f2(x)＝x＋1，g(x)＝＋，若a，b∈[－1,5]，且当x1，x2∈[a，b]时， ＞0恒成立，则b－a的最大值为________．
【答案】5
【解析】 且 恒成立， 在区间上单调第增，
∵函数
当 时， ，单调减；
当 单调增；
当时， ，单调递增． 的最大值为．
故答案为5.．
【方法总结】本题考查了恒成立问题，考查了转化思想方法，解得的关键是对题意的理解，以及对隐含条件的挖掘，是中档题．
28．已知函数在上具有单调性,则实数的取值范围是_________.
【答案】
【方法总结】本题考查分段函数的单调性.在已知分段函数的单调性求有关参数问题时，往往只重视各段上的单调性相同，但忽视两段函数的分界点对应函数值的大小关系.
三、解答题
29．【北京市石景山九中2018期中考试数学试题】已知函数在定义域上为增函数，且满足， ．
（）求， 的值．
（）求的值．
（）解不等式： ．
【答案】（1）；（2）0；（3）.
【解析】试题分析:(1)令x=y=3,代入求出,令x=9,y=3,代入求出的值;(2)令,求出f(0),则, 同理， ,代入即可;(3)根据函数的单调性和定义域列出不等式组,求解即可.
试题解析:
（），
．
（）时， ，
∴．
又，
同理，
，
∴．
（）因为，
且在上为增函数，
所以，
解得．
故原不等式解集为．
30．设函数
（）当时，求函数的值域．
（）若函数是上的减函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先分段求各段值域：根据二次函数对称轴与对应区间位置关系确定最值即得值域，根据对数函数单调性确定值域，最后求两个范围的并集得原函数值域，（2）分段函数单调性保证各段单调性且在结合点也单调性，解不等式可得的取值范围．
（）若函数是上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立：
①当，是减函数，
于是，则．
②时，是减函数，则．
③，则．
于是实数的取值范围是．
方法总结：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
31．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)用定义证明为R上的减函数；
(3)若对任意的, 不等式恒成立, 求的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】【试题分析】(1)利用求出,利用求得,由此求得函数的表达式.(2)在定义域上任取,计算,可证得函数为上的减函数.(3)利用函数的奇偶性与单调性,将原不等式转化为在利用分离常数法来求得的取值范围.
【试题解析】
（1）由得，由得，∴
（2）设，则
＝
＝
∴ ∴为R上的减函数
【方法总结】本小题主要考查函数的奇偶性与函数解析式的求法.考查利用单调性的定义证明函数的单调区间,考查利用函数的单调性求解不等式和不等式恒成立问题.若函数为奇函数,且在处有定义,则必会满足这个条件务必要在处有定义才能够使用.
32．定义在上的函数，如果满足对任意，存在常数，都有成立，则称
是上的有界函数，其中称为函数的上界，已知函数．
（1）当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由．
（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．
【答案】（1），不是有界函数．
（2）．
【解析】试题分析：
（1）当时，，，利用换元法可得函数在的值域为，故不满足有界函数的定义．（2）将问题转化为在恒成立，分两种情况利用分离参数的方法分别求出的取值范围，然后取交集即可得到所求的范围．
试题解析：
（2）由题意知在上恒成立，
∴在恒成立．
①当在恒成立时，
令，
则由原不等式可得对恒成立，
设，，
由单调性的定义可得在上单调递增，
∴，
∴．
②当在恒成立时，
令，则由原不等式得对恒成立，
设，，
由函数单调性的定义可得在上单调递减，
∴，
∴.
综上．
∴实数的取值范围．
解题方法总结
1．在研究函数的单调性时，常需要先将函数解析式化简变形，等价转化为讨论一些熟知函数的单调性问题，因此，掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程，同时应充分注意函数的等价性．
2．函数单调性的证明方法：①定义证明法．②导数证明法．
3．判断函数的单调性的方法：①观察法；②图象法；③定义法；④复合函数法；⑤导数法．
注意：确定单调性一定是相对于某个区间而言，并且一定要在定义域内．
4．运用奇偶函数的性质及其与单调性的关系是进行单调区间转换的一种有效手段．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
5．已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程，解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不等式，同时要注意定义域的这一隐性的限制条件．
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