【数学】2018届一轮复习人教A版第六章第1讲不等关系与不等式学案 10页

知识点 考纲下载 不等关系与不等式 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际 背景． 二元一次不等式(组)与简 单的线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一 次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能 加以解决． 基本不等式 ab≤ a＋b 2 (a≥0，b≥0) 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 第 1 讲　不等关系与不等式 ,　　　　　　 　　[学生用书 P108]) 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔ab⇒ac2>bc2；若 无 c≠0 这个条件，a>b⇒ac2>bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)． 2．不等式中的倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒ 1 a< 1 b； (2)a<0b>0，0 b d； (4)00 对任意实数 x 恒成立⇔{a＝b＝0， c > 0， 或{a > 0， Δ < 0. (2)不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔{a＝b＝0， c < 0， 或{a < 0， Δ < 0. 1.教材习题改编 若 a 1 a　　　　　　　 B． 1 a> 1 b C．|a|>|b| D．a2>b2 　A　[解析] 由 a 1 a不成立． 2.教材习题改编 设 A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则 A 与 B 的大小为(　　) A．A≥B B．A>B C．A≤B D．A0，所以 A>B.故选 B. 3.教材习题改编 若 a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．ac2>bc2　　　　　 　 B． c2 a < c2 b C．ac2≥bc2 D． c2 a ≤ c2 b 　C　[解析] 当 c＝0 时，A、B 错误；当 a>0，b<0 时，D 错误，故选 C. 4.教材习题改编 下列四个结论，正确的是(　　) ①a>b，cb－d； ②a>b>0，cbd； ③a>b>0⇒3 a>3 b； ④a>b>0⇒ 1 a2> 1 b2. A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 　D　[解析] 对于①，因为 a>b，c－d， 所以 a－c>b－d. 对于③，a>b>0，则3 a>3 b>0. 5.教材习题改编 若不等式－x2＋2x＋m>0 的解集是∅，则实数 m 的取值范围为(　　) A．m≤－1 B．m≥－1 C．m≤1 D．m≥1 　A　[解析] －x2＋2x＋m>0， 即为 x2－2x－m<0. 由题意得 Δ＝(－2)2－4×1×(－m)≤0， 即 4＋4m≤0， 所以 m≤－1.故选 A. 　不等式的性质[学生用书 P109] [典例引领] 　(1)已知 a，b，c，d 为实数，则“a>b 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)若 1 a< 1 b<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③ad，所以 c－d>0.又 a>b，所以两边同时乘以(c－d)，得 a(c－d)>b(c －d)，即 ac＋bd>bc＋ad.若 ac＋bd>bc＋ad，则 a(c－d)>b(c－d)，也可能 ab 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件． (2)因为 1 a< 1 b<0，所以 b0，所以 a＋b0，b 的符号不定，对于 b>a，两 边同时乘以正数 c，不等号方向不变． 2．若 a>0>b>－a，cbc；② a d＋ b c<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d －c)中，成立 的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 　C　[解析] 因为 a>0>b，c0， 所以 ad0>b>－a， 所以 a>－b>0， 因为 c－d>0， 所以 a(－c)>(－b)(－d)， 所以 ac＋bd<0， 所以 a d＋b c＝ ac＋bd cd <0，故②正确． 因为 c－d， 因为 a>b，所以 a＋(－c)>b＋(－d)， a－c>b－d，故③正确． 因为 a>b，d－c>0，所以 a(d－c)>b(d－c)， 故④正确，故选 C. 　比较两个数(式)的大小[学生用书 P109] [典例引领] 　(1)已知 a1，a2∈(0，1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是(　　) A．MN C．M＝N D．不确定 (2)若 a＝ ln 2 2 ，b＝ ln 3 3 ，则 a________b(填“>”或“<”)． 【解析】　(1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 又因为 a1∈(0，1)，a2∈(0，1)， 所以 a1－1<0，a2－1<0. 所以(a1－1)(a2－1)>0， 即 M－N>0.所以 M>N. (2)易知 a，b 都是正数， b a＝ 2ln 3 3ln 2＝log89>1，所以 b>a. 【答案】　(1)B　(2)< 比较两个数(式)大小的两种方法 [通关练习] 1．对于 0loga(1＋1 a )； ③a1＋aa1＋ 1 a. 其中成立的是(　　) A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 　D　[解析] 当 0b>0，m>0.试比较 b a与 b＋m a＋m的大小． [解] 因为 b a－ b＋m a＋m＝ （b－a）m a（a＋m），a>b>0，m>0. 所以 a(a＋m)>0，(b－a)m<0. 所以 （b－a）m a（a＋m）<0，即 b a－ b＋m a＋m<0，所以 b a< b＋m a＋m. 　不等式的恒成立问题(高频考点)[学生用书 P110] 不等式的恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题或填空题，有时也出现在解答 题中，属中档题． 高考对不等式的恒成立问题的考查主要有以下三个命题角度： (1)由 f(x)≥0(x∈R)恒成立，求参数的取值范围； (2)由 f(x)≥0(x∈[a，b])恒成立，求参数的取值范围； (3)由 f(x)≥0(m∈[a，b])恒成立，求 x 的取值范围． [典例引领] 　(1)若不等式 mx2＋2mx－4<2x2＋4x 对任意 x 都成立，则实数 m 的取值范围是 (　　) A．(－2，2]　　　　　　　 B．(－2，2) C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2] (2)设 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x)<－m＋5，对于 x∈[1，3]上恒成立，则实数 m 的取值范 围为________． 【解析】　(1)原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0， ①当 m＝2 时，对任意 x 不等式都成立； ②当 m－2<0 时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0， 所以－20 时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，所以 m< 6 7，所以 00， 又因为 m(x2－x＋1)－6<0，所以 m< 6 x2－x＋1. 因为函数 y＝ 6 x2－x＋1＝ 6 (x－1 2 )2 ＋3 4 在[1，3]上的最小值为 6 7，所以只需 m< 6 7即可． 所以，m 的取值范围是{m|m< 6 7}． 【答案】　(1)A　(2)(－∞， 6 7) 不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区 间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下 方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是 主元，求谁的范围，谁就是参数．　 [题点通关] 角度一　由 f(x)≥0(x∈R)恒成立，求参数的取值范围 1．若不等式 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为(　　) A．[－1，4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2，5] 　A　[解析] x2－2x＋5＝(x－1)2＋4 的最小值为 4，所以 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立，只需 a2－3a≤4 即可，解得－1≤a≤4. 角度二　由 f(x)≥0(x∈[a，b])恒成立，求参数的取值范围 2．函数 f(x)＝ x2＋2x＋a x 对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ________． [解析] 因为 x∈[1，＋∞)时，f(x)＝ x2＋2x＋a x >0 恒成立，即 x2＋2x＋a>0 恒成立． 即当 x≥1 时，a>－(x2＋2x)恒成立． 设 g(x)＝－(x2＋2x)，而 g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1 在[1，＋∞)上单调递减，所以 g(x)max＝g(1)＝－3，故 a>－3. 所以，实数 a 的取值范围是(－3，＋∞)． [答案] (－3，＋∞) 角度三　由 f(x)≥0(m∈[a，b])恒成立，求 x 的取值范围 3．已知 a∈[－1，1]时，不等式 x2＋(a－4)x＋4－2a>0 恒成立，则 x 的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3) 　C　[解析] 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)， 则由 f(a)>0 对于任意的 a∈[－1，1]恒成立， 易知只需 f(－1)＝x2－5x＋6>0， 且 f(1)＝x2－3x＋2>0 即可， 联立不等式解得 x<1 或 x>3. ,　　　　　　 　　[学生用书 P111]) ——特值法判断不等式 　若 a>b>0，c b c　　　　　　　 B． a d< b c C． a c> b d D． a c< b d 【解析】　法一：因为 c－d>0， 所以 1 －d> 1 －c>0. 又 a>b>0，所以 a －d> b －c， 所以 a d< b c.故选 B. 法二：Error!⇒ c cd< d cd<0⇒ Error! ⇒ －a d > －b c ⇒ a d< b c. 法三：令 a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2， 则 a c＝－1， b d＝－1，排除选项 C，D； 又 a d＝－3 2， b c＝－ 2 3，所以 a d< b c，所以选项 A 错误，选项 B 正确．故选 B. 【答案】　B 　本题给出三种不同的方法，法一、法二是利用不等式性质变形判断，易 出错，而法三采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率． 　(2017·四川绵阳中学模拟)下列四个命题中正确命题的个数为(　　) ①若 a>|b|，则 a2>b2；②若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ③若 a>b，c>d，则 ac>bd；④若 a>b>0，则 c a> c b. A．3 B．2 C．1 D．0 　C　[解析] 易知①正确；②错误，如 3>2，－1>－3，而 3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③ 错误，如 3>1，－2>－3，而 3×(－2)<1×(－3)；④若 a>b>0，则 1 a< 1 b，当 c>0 时， c a< c b，故④ 错误．所以正确的命题只有 1 个． ,　　　　　　　 　　[学生用书 P267(独立成册)]) 1．设 a，b∈[0，＋∞)，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系是(　　) A．A≤B　　　　　　　 B．A≥B C．AB 　B　[解析] 由题意得，B2－A2＝－2 ab≤0，且 A≥0，B≥0，可得 A≥B. 2．若 m<0，n>0 且 m＋n<0，则下列不等式中成立的是(　　) A．－n|a＋b| 　D　[解析] 由于 1 a< 1 b<0，不妨令 a＝－1，b＝－2，可得 a20， 即 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. [答案] a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1 8．设 a>b，有下列不等式① a c2> b c2；② 1 a< 1 b；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，则一定成立的有 ________．(填正确序号) [解析] 对于①， 1 c2>0，故①成立； 对于②，a>0，b<0 时不成立； 对于③，取 a＝1，b＝－2 时不成立； 对于④，|c|≥0，故④成立． [答案] ①④ 9．若角 α，β满足－ π 2 <α<β<π，则 α－β 的取值范围是________． [解析] 因为－ π 2 <α<π，－ π 2 <β<π， 所以－π<－β< π 2 ， 所以－ 3π 2 <α－β< 3π 2 .又因为 α<β， 所以 α－β<0，从而－ 3π 2 <α－β<0. [答案] (－3π 2 ，0) 10．当且仅当 a∈(m，n)时， 2－ax＋x2 1－x＋x2 <3 对 x∈R 恒成立，则 m＋n＝________． [解析] 因为 1－x＋x2>0 恒成立， 所以原不等式等价于 2－ax＋x2<3(1－x＋x2)， 即 2x2＋(a－3)x＋1>0 恒成立． 所以 Δ＝(a－3)2－8<0，3－2 2b>0，c e （b－d）2. [证明] 因为 c－d>0， 又因为 a>b>0，所以 a－c>b－d>0. 所以(a－c)2>(b－d)2>0. 所以 0< 1 （a－c）2< 1 （b－d）2. 又因为 e<0，所以 e （a－c）2> e （b－d）2. 12．(2017·盐城一模)若－10，|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围． [解] 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0. 令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9. 因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以 (1)若 x＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，应舍去． (2)若 x≠3，则由一次函数的单调性，可得{f（－1） > 0， f（1） > 0， 即{x2－7x＋12 > 0， x2－5x＋6 > 0， 解得 x<2 或 x>4. 所以 x 的取值范围是{x|x<2 或 x>4}．