【数学】2018届一轮复习人教A版分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案 7页

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 原理 异同点　　 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 定义 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完 成这件事共有 N＝______种不同的方 法 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步 有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种 不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝________种不同的方法 区别 各种方法相互独立，用其中任何一种 方法都可以完成这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有各 个步骤都完成才能做完这件事 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事， 只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(　　) (4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i＝1,2,3，…，n)， 那么完成这件事共有 m1m2m3…mn 种方法．(　　) (5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　) 1．用 0,1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 2．(教材改编)已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从 M，N 这两个集合中各选一 个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限 内不同的点的个数是(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 3．满足 a，b∈{－1,0,1,2}，且关于 x 的方程 ax2＋2x＋b＝0 有实数解的有序数对(a，b)的个 数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 4．从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个 数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 5．(教材改编)5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的 报名方法有________种． 题型一　分类加法计数原理的应用 例 1　高三一班有学生 50 人，其中男生 30 人，女生 20 人；高三二班有学生 60 人，其中男 生 30 人，女生 30 人；高三三班有学生 55 人，其中男生 35 人，女生 20 人． (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不 同的选法？ 思维升华　分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或 关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这 件事情的任何一种方法必须属于某一类． 　(2016·全国丙卷)定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k≤2m，a1，a2，…，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数．若 m＝4，则不 同的“规范 01 数列”共有(　　) A．18 个 B．16 个 C．14 个 D．12 个 题型二　分步乘法计数原理的应用 例 2　(1)(2016·全国甲卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位 于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 (2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________ 种不同的报名方法． 引申探究 1．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项， 每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？ 2．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每 人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？ 思维升华　(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先 后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成 了，才算完成这件事． (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完 成． 　(1)用 0,1,2,3,4,5 可组成无重复数字的三位数的个数为________． (2)(2017·石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的 种数为______．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_____种． 题型三　两个计数原理的综合应用 例 3　(1)如图，矩形的对角线把矩形分成 A，B，C，D 四部分，现用 5 种不同颜色给四部分 涂色，每部分涂 1 种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方 法． (2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正 方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ________． 思维升华　利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解． 　(2017·济南质检)如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使 用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________． 13．利用两个基本原理解决计数问题 典例　(1)把 3 封信投到 4 个信箱，所有可能的投法共有(　　) A．24 种 B．4 种 C．43 种 D．34 种 (2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有 4 次， 轮船有 3 次，问此人的走法可有________种． 错解展示 解析　(1)因为每个信箱有三种投信方法，共 4 个信箱， 所以共有 3×3×3×3＝34(种)投法． (2)乘火车有 4 种方法，坐轮船有 3 种方法， 共有 3×4＝12(种)方法． 答案　(1)D　(2)12 现场纠错：　 纠错心得：　 提醒：完成作业　第十章　§10.1 答案精析 基础知识　自主学习 知识梳理 m＋n　m×n 思考辨析 (1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 考点自测 1．B　2.C　3.B　4.B　5.32 题型分类　深度剖析 例 1　解　(1)完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班任选一名学生共有 50 种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有 60 种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有 55 种选法． 根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有 50＋60＋55＝165(种)不同的选 法． (2)完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法． 根据分类加法计数原理，共有 30＋30＋20＝80(种)不同的选法． 跟踪训练 1　C 例 2　(1)B　(2)120 解析　(1)从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种，所以从 E 点 到 G 点的最短路径为 6×3＝18(种)，故选 B. (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第二 个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法 共有 6×5×4＝120(种)． 引申探究 1．解　每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步乘法 计数原理，可得不同的报名方法共有 36＝729(种)． 2．解　每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘 法计数原理，可得不同的报名方法共有 63＝216(种)． 跟踪训练 2　(1)100　(2)45　54 例 3　(1)260　(2)36 解析　(1)区域 A 有 5 处涂色方法；区域 B 有 4 种涂色方法；区域 C 的涂色方法可分 2 类： 若 C 与 A 涂同色，区域 D 有 4 种涂色方法；若 C 与 A 涂不同色，此时区域 C 有 3 种涂色方 法，区域 D 也有 3 种涂色方法．所以共有 5×4×4＋5×4×3×3＝260(种)涂色方法． (2)第 1 类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成“正交线面对”，这样的“正交线面对” 有 2×12＝24(个)；第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”， 这样的“正交线面对”有 12 个．所以正方体中“正交线面对”共有 24＋12＝36(个)． 跟踪训练 3　96 现场纠错系列 现场纠错 (1)C　(2)7 解析　(1)第 1 封信投到信箱中有 4 种投法；第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法；第 3 封信投 到信箱中也有 4 种投法．只要把这 3 封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可 得共有 43 种方法． (2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3 种，每一种方法都能从 甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有 4＋3＝7(种)． 纠错心得　(1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步． (2)把握完成一件事情的标准，如典例(1)没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误．