2017-2018学年辽宁省本溪一中高二上学期期末数学试题（理科）（解析版） 23页

‎2017-2018学年辽宁省本溪一中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）‎ ‎1．（5分）sin600°等于（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎2．（5分）命题“∃x∈Z，使 x2+2x+m≤0”的否命题是（　　）‎ A．∃x∈Z，使x2+2x+m＞0 B．∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0‎ C．∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0 D．不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0‎ ‎3．（5分）已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎4．（5分）已知向量，若实数x，y满足，则的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣2，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎8．（5分）已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（　　）‎ A．20 B．18 C．16 D．9‎ ‎9．（5分）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）‎ A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 ‎10．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（　　）‎ A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为 C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为 ‎11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，则“∠BAD+∠C=90°”是“AB=AC”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12．（5分）已知实设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．当直线l的斜率为2时，l在y轴上截距的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（） C．（） D．（）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．（5分）（1﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a0+a1+a2+…+a6=　 　．‎ ‎14．（5分）已知点A，B的坐标分别为（﹣2，3，5），（1，﹣1，﹣7），则向量的相反向量的坐标是　 　．‎ ‎15．（5分）数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为　 　．‎ ‎16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．MF的延长线交C于点P若M为FN的中点，则|PN|=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）‎ ‎17．（10分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]‎ ‎（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cosA=acosC．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=7，S9=27．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．‎ ‎（1）求证：M为PB的中点；‎ ‎（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；‎ ‎（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．‎ ‎21．（12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．‎ ‎（1）求袋中原有白球的个数；‎ ‎（2）求随机变量ξ的概率分布；‎ ‎（3）求甲取到白球的概率．‎ ‎22．（12分）若椭圆E1：+=1和椭圆E2：+=1满足==m（m＞0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．‎ ‎（1）求经过点（2，），且与椭圆+=1相似的椭圆方程．‎ ‎（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求|OA|+的最大值和最小值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省本溪一中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）‎ ‎1．（5分）sin600°等于（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．‎ ‎【解答】解：sin600°=sin（360°+180°+60°）=﹣sin60°=﹣．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）命题“∃x∈Z，使 x2+2x+m≤0”的否命题是（　　）‎ A．∃x∈Z，使x2+2x+m＞0 B．∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0‎ C．∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0 D．不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0‎ ‎【分析】特称命题“∃x∈Z，使 x2+2x+m≤0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即∀x∈Z，都有 x2+2x+m＞0”．‎ ‎【解答】解：特称命题“∃x∈Z，使 x2+2x+m≤0”的否定是全称命题：‎ ‎“∀x∈Z，都有 x2+2x+m＞0”．‎ 故答案为：∀x∈Z，都有 x2+2x+m＞0．‎ ‎【点评】写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义，即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值．‎ ‎【解答】解：设、的夹角为θ，则θ∈[0，π]，‎ 又（）=5，||=2，||=1，‎ ‎∴+•=22+2×1×cosθ=5，‎ 解得cosθ=，‎ ‎∴θ=，‎ ‎∴tanθ=，‎ 即向量与夹角的正切值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了利用平面向量的数量积求夹角的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知向量，若实数x，y满足，则的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内动点到原点的距离，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入两点间的距离公式得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ ‎∵，∴，‎ 其几何意义为可行域内动点到原点的距离，‎ 由图可知，A到原点距离最大．‎ 联立，解得A（3，8），‎ ‎∴的最大值是．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①‎ a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②‎ 由①②联立得a1=39，d=﹣2，‎ ‎∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，‎ 故当n=20时，Sn达到最大值400．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．‎ ‎【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，‎ 再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，‎ 故应选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣2，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．‎ ‎【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），‎ 则P到直线：x=﹣1的距离d2=a2+1，‎ P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=‎ 则d1+d2=a2+1+=‎ 当a=时，‎ 点P到直线l1和直线x=﹣1的距离之和的最小值为：2；‎ P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2+1=3．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（　　）‎ A．20 B．18 C．16 D．9‎ ‎【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+‎ 的最小值．‎ ‎【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，‎ 故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，‎ 而+=2（+）×（x+y）‎ ‎=2（5++）≥2（5+2）=18，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）‎ A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 ‎【分析】因为2位老人不排在两端，所以从5名志愿者中选2名排在两端，因为2位老人相邻，所以把2位老人看成一个整体，与其他元素进行排列，注意整体之间的排列．‎ ‎【解答】解：可分3步．‎ 第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有A52=20种排法，‎ 第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44=24种排法 第三步，2名老人之间的排列，有A22=2种排法 最后，三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法 故选B ‎【点评】本题主要考查了有限制的排列问题的解决，掌握这些常用方法．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（　　）‎ A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为 C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为 ‎【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．‎ ‎【解答】解：将x=代入得：t=sin=，‎ 将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，‎ 得到P′（﹣s，）点，‎ 若P′位于函数y=sin2x的图象上，‎ 则sin（﹣2s）=cos2s=，‎ 则2s=+2kπ，k∈Z，‎ 则s=+kπ，k∈Z，‎ 由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，则“∠BAD+∠C=90°”是“AB=AC”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分必要条件的定义结合三角形平行四边形的基础知识判断即可．‎ ‎【解答】解：延长AD到E，使得DE=AD，则四边形ABEC是平行四边形，‎ 如图示：‎ ‎，‎ 则由∠BAD+∠C=90°，显然推不出AB=AC，不是充分条件，‎ 若AB=AC，推出∠BAD+∠C=90°，是必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角形、平行四边形的基础知识，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知实设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．当直线l的斜率为2时，l在y轴上截距的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（） C．（） D．（）‎ ‎【分析】设直线l及AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得AB的中点坐标，代入直线l的方程，根据m的取值范围，即可求得l在y轴上截距的取值范围．‎ ‎【解答】解：设直线l的方程为：y=2x+b′，‎ 故有过AB的直线的方程为y=﹣x+m，，整理得：2x2+x﹣m=0，则x1+x2=﹣．‎ 由A、B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式△=+8m＞0，也就是：m＞﹣．‎ 由直线AB的中点为（，）=（﹣，+m），‎ 则+m=﹣+b′，于是：b′=+m＞﹣=．‎ 即得l在y轴上的截距的取值范围是（，+∞），‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的应用，直线与抛物线的位置关系，中点坐标公式的应用，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．（5分）（1﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a0+a1+a2+…+a6=　0　．‎ ‎【分析】在二项展开式的通项公式中，令x=0，可得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：在（1﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6 中，‎ 令x=1，可得a0+a1+a2+…+a6=0，‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知点A，B的坐标分别为（﹣2，3，5），（1，﹣1，﹣7），则向量的相反向量的坐标是　（﹣3，4，12）　．‎ ‎【分析】先求出=（3，﹣4，﹣12），由此能出向量的相反向量的坐标．‎ ‎【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，3，5），（1，﹣1，﹣7），‎ ‎∴=（3，﹣4，﹣12），‎ ‎∴向量的相反向量的坐标=（﹣3，4，12）．‎ 故答案为：（﹣3，4，12）．‎ ‎【点评】本题考查向量的坐标的求法，考查空间向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为　或2　．‎ ‎【分析】由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此即可求出离心率．‎ ‎【解答】解：∵1，m，9构成一个等比数列，‎ ‎∴m2=1×9，‎ 则m=±3．‎ 当m=3时，圆锥曲线是椭圆，它的离心率是=；‎ 当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，它的离心率是=2．‎ 则离心率为或2．‎ 故答案为：或2．‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．MF的延长线交C于点P若M为FN的中点，则|PN|=　　．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解P的坐标，利用距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，‎ 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：±2，不妨M（1，2），则N（0，4），‎ FN的方程为：‎ 联立，可得：y2+2y﹣16=0，‎ 可得：4yP=﹣2，‎ 可得P（3，﹣6），‎ ‎|PN|==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）‎ ‎17．（10分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]‎ ‎（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ ‎【分析】（1）根据∥，利用向量的运算建立等式关系，即可求出x的值；‎ ‎（2）由f（x）=，利用向量的运算可得f（x）的解析式，化简，结合三角函数的性质可得最大值和最小值以及对应的x的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵∥，‎ ‎∴cosx=3sinx，‎ 可得：tanx=．‎ ‎∵x∈[0，π]‎ ‎∴x=．‎ ‎（2）由f（x）=，‎ ‎∴f（x）=3cosx﹣sinx=2cos（x+）‎ ‎∵x∈[0，π]‎ ‎∴x+∈[，]‎ 当x+=π时，即x=时，f（x）取得最小值为．‎ 当x+=时，即x=0时，f（x）取得最大值为=3‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用向量坐标的运算建立关系求解三角函数解析式函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cosA=acosC．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c，a以及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）已知等式（2b﹣c）cosA=a•cosC，‎ 由正弦定理化简得（2sinB﹣sinC）cosA=sinA•cosC，‎ 整理得：2sinB•cosA=sinCcosA+sinAcosC，‎ 即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，‎ 在△ABC中，sinB≠0，‎ ‎∴cosA=，‎ ‎∵0＜A＜π ‎∴A=；‎ ‎（2）∵b+c=4，a=2，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bcosA，即4=b2+c2﹣bc，‎ ‎∴4=（b+c）2﹣3bc，‎ ‎∵b+c=4，‎ ‎∴bc=4，‎ ‎∴S△ABC=bc•sinA=×4×=‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=7，S9=27．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出数列的首项与公差，然后求解等差数列的通项公式．‎ ‎（2）求出数列变号的项，然后求解等差数列前n（n≤6）项的和，再求解 n＞6的数列的和．‎ ‎【解答】解：（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=7，S9=27．可得a1+2d=7，9a1+36d=27，‎ 解得a1=11，d=﹣2，‎ ‎∴an=﹣2n+13；‎ ‎（2）因为an=﹣2n+13，所以，a6=1，a7=﹣1，‎ 当n≤6且n∈N*时，Tn=a1+a2+…+，‎ 当n≥7且n∈N*时，Tn=（a1+a2+…+a6）﹣（a7+a8+…+an）=n2﹣12n+72，‎ 综上，‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，数列求和，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．‎ ‎（1）求证：M为PB的中点；‎ ‎（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；‎ ‎（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；‎ ‎（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；‎ ‎（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，‎ ‎∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，‎ ‎∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，‎ ‎∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；‎ ‎（2）解：取AD中点G，‎ ‎∵PA=PD，∴PG⊥AD，‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，‎ 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．‎ 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，‎ 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），‎ ‎，．‎ 设平面PBD的一个法向量为，‎ 则由，得，取z=，得．‎ 取平面PAD的一个法向量为．‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；‎ ‎（3）解：，平面BDP的一个法向量为．‎ ‎∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．‎ ‎【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 ‎，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．‎ ‎（1）求袋中原有白球的个数；‎ ‎（2）求随机变量ξ的概率分布；‎ ‎（3）求甲取到白球的概率．‎ ‎【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，设出袋中原有n个白球，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到关于n的方程，解方程即可．‎ ‎（2）ξ的所有可能值为：1，2，3，4，5，求出ξ取每一个值时对应的概率，即得分布列，再根据分布列，依据求数学期望的公式求得期望Eξ．‎ ‎（3）甲先取，甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．这三种情况是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知…（3分）‎ ‎∴n（n﹣1）=6得n=3或n=﹣2（舍去），‎ 所以袋中原有3个白球．…（5分）‎ ‎（2）由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，‎ 所以； ；； ‎ ‎；…（10分）‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎…（12分）‎ ‎（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记”甲取到白球”为事件A，‎ 由题意可得：P（A）=P（”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”）‎ ‎∵事件”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”两两互斥，‎ ‎∴…（16分）‎ ‎【点评】本题考查随机事件的概率的求法，以及求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）若椭圆E1：+=1和椭圆E2：+=1满足==m（m＞0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．‎ ‎（1）求经过点（2，），且与椭圆+=1相似的椭圆方程．‎ ‎（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求|OA|+的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（1）设所求的椭圆方程为，由题意得，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（2）当射线与y轴重合时，|OA|+=；当射线不与坐标轴重合时，设其方程为y=kx（k≥0，x＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知条件推导出=，由此能求出的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为，‎ 则由题意得，解得，…（3分）‎ ‎∴所要求的椭圆方程为．…（5分）‎ ‎（2）①当射线与y轴重合时，‎ ‎=．…（6分）‎ ‎②当射线不与坐标轴重合时，‎ 由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形．‎ 设其方程为y=kx（k≥0，x＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，解得，，…（7分）‎ 由，解得，，…（8分）‎ ‎=，‎ 令，则由，‎ 知，…（10分）‎ ‎=，‎ 记，则f（t）在上是增函数，‎ ‎∴，…（12分）‎ ‎∴，‎ 由①②知，的最大值为，‎ 的最小值为．…（13分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两线段和的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意换元法和函数的单调性的合理运用．‎ ‎　‎