2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第8练 12页

第 8 练 正弦定理、余弦定理及应用[小题提速练] [明晰考情] 1.命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相 结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时， 中档难度. 考点一 正弦定理、余弦定理 方法技巧 (1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化. (2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量. 1.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c＝2a，bsin B－asin A＝1 2asin C， 则 sin B 为( ) A. 7 4 B.3 4 C. 7 3 D.1 3 答案 A 解析 由 bsin B－asin A＝1 2asin C，且 c＝2a，得 b＝ 2a，因为 cos B＝a2＋c2－b2 2ac ＝a2＋4a2－2a2 4a2 ＝3 4 ，且 B 为三角形的内角， 所以 sin B＝ 1－ 3 4 2＝ 7 4 . 2.(2018·全国Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2 ＝ 5 5 ，BC＝1，AC＝5，则 AB 等于( ) A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5 答案 A 解析 ∵cos C 2 ＝ 5 5 ， ∴cos C＝2cos2C 2 －1＝2× 5 5 2－1＝－3 5. 在△ABC 中，由余弦定理， 得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1× －3 5 ＝32， ∴AB＝ 32＝4 2.故选 A. 3.(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝0，a＝2，c＝ 2，则 C 等于( ) A. π 12 B.π 6 C.π 4 D.π 3 答案 B 解析 因为 a＝2，c＝ 2， 所以由正弦定理可知， 2 sin A ＝ 2 sin C ， 故 sin A＝ 2sin C. 又 B＝π－(A＋C)， 故 sin B＋sin A(sin C－cos C)＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝(sin A＋cos A)sin C＝0. 又 C 为△ABC 的内角，故 sin C≠0， 则 sin A＋cos A＝0，即 tan A＝－1. 又 A∈(0，π)，所以 A＝3π 4 . 从而 sin C＝ 1 2 sin A＝ 2 2 × 2 2 ＝1 2. 由 A＝3π 4 知，C 为锐角，故 C＝π 6. 4.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2＝3b2＋3c2－2 3bcsin A，则 C＝____. 答案 π 6 解析 由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以 b2＋c2－2bccos A＝3b2＋3c2－2 3bcsin A， 3sin A－cos A＝b2＋c2 bc ，b，c>0， 2sin A－π 6 ＝b2＋c2 bc ＝c b ＋b c ≥2，当且仅当 b＝c 时，等号成立， 因此 b＝c，A－π 6 ＝π 2 ，所以 A＝2π 3 ，所以 C＝ π－2π 3 2 ＝π 6. 考点二 与三角形的面积有关的问题 要点重组 三角形的面积公式 (1)S＝1 2aha＝1 2bhb＝1 2chc(ha，hb，hc 分别表示 a，b，c 边上的高). (2)S＝1 2absin C＝1 2bcsin A＝1 2casin B. (3)S＝1 2r(a＋b＋c)(r 为△ABC 内切圆的半径). 5.(2018·全国Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若△ABC 的面积为a2＋b2－c2 4 ， 则 C 等于( ) A.π 2 B.π 3 C.π 4 D.π 6 答案 C 解析 ∵S＝1 2absin C＝a2＋b2－c2 4 ＝2abcos C 4 ＝1 2abcos C， ∴sin C＝cos C，即 tan C＝1. 又∵C∈(0，π)，∴C＝π 4. 6.钝角三角形 ABC 的面积是1 2 ，AB＝1，BC＝ 2，则 AC 等于( ) A.5 B. 5 C.2 D.1 答案 B 解析 ∵S＝1 2AB·BCsin B＝1 2 ×1× 2sin B＝1 2 ， ∴sin B＝ 2 2 ，∴B＝π 4 或3π 4 . 当 B＝3π 4 时，根据余弦定理有 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝ 5，此 时△ABC 为钝角三角形，符合题意； 当 B＝π 4 时，根据余弦定理有 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1， ∴AC＝1，此时 AB2＋AC2＝BC2， △ABC 为直角三角形，不符合题意.故 AC＝ 5. 7.已知在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝2bcos A，B＝π 3 ，c＝1，则 △ABC 的面积为______. 答案 3 4 解析 ∵a＝2bcos A， ∴由正弦定理可得 sin A＝2sin B·cos A. ∵B＝π 3 ，∴sin A＝ 3cos A，∴tan A＝ 3. 又∵A 为△ABC 的内角， ∴A＝π 3.又 B＝π 3 ， ∴C＝π－A－B＝π 3 ， ∴△ABC 为等边三角形， ∴S△ABC＝1 2acsin B＝1 2 ×1×1× 3 2 ＝ 3 4 . 8.在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcos C＝3acos B－ccos B，BA→·BC→＝2， 则△ABC 的面积为________. 答案 2 2 解析 因为 bcos C＝3acos B－ccos B， 由正弦定理得 sin Bcos C＝3sin Acos B－sin Ccos B， 即 sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos B， 所以 sin(B＋C)＝3sin Acos B. 又 sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A， 所以 sin A＝3sin Acos B， 又 sin A≠0，解得 cos B＝1 3 ， 所以 sin B＝ 1－cos2B＝ 1－1 9 ＝2 2 3 . 由BA→·BC→＝2， 可得 cacos B＝2，解得 ac＝6. 所以 S△ABC＝1 2ac·sin B＝1 2·6·2 2 3 ＝2 2. 考点三 解三角形中的最值(范围)问题 方法技巧 由余弦定理中含两边和的平方(如 a2＋b2－2abcos C＝c2)且 a2＋b2≥2ab，因此在 解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用 S ＝1 2absin C 型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性. 9.在△ABC 中，AC→·AB→＝|AC→－AB→|＝3，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 21 B.3 21 4 C. 21 2 D.3 21 答案 B 解析 设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ∵AC→·AB→＝|AC→－AB→|＝3， 即 bccos A＝3，a＝3， ∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ≥1－ 9 2bc ＝1－3cos A 2 ， ∴cos A≥2 5 ， ∴0＜sin A≤ 21 5 ， ∴0＜tan A≤ 21 2 . ∴△ABC 的面积 S＝1 2bcsin A＝3 2tan A≤3 2 × 21 2 ＝3 21 4 ， 故△ABC 面积的最大值为3 21 4 . 10.已知 a，b，c 分别为△ABC 的内角 A，B，C 所对的边，其面积满足 S△ABC＝1 4a2，则c b 的最 大值为( ) A. 2－1 B. 2 C. 2＋1 D. 2＋2 答案 C 解析 根据题意，有 S△ABC＝1 4a2＝1 2bcsin A， 即 a2＝2bcsin A.应用余弦定理， 可得 b2＋c2－2bccos A＝a2＝2bcsin A， 令 t＝c b ，于是 t2＋1－2tcos A＝2tsin A. 于是 2tsin A＋2tcos A＝t2＋1， 所以 2 2sin A＋π 4 ＝t＋1 t ， 从而 t＋1 t ≤2 2，解得 t 的最大值为 2＋1. 11.已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边，满足 cos Asin Bsin C＋cos Bsin Asin C ＝2cos Csin Asin B，则 C 的最大值为______. 答案 π 3 解析 由正弦定理，得 bccos A＋accos B＝2abcos C， 由余弦定理，得 bc·b2＋c2－a2 2bc ＋ac·c2＋a2－b2 2ac ＝2ab·a2＋b2－c2 2ab ， ∴a2＋b2＝2c2，∴cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝ a2＋b2－1 2 a2＋b2 2ab ＝a2＋b2 4ab ≥2ab 4ab ＝1 2 ， 当且仅当 a＝b 时，取等号. ∵00，tan B>0. 所以 tan(A－B)＝ tan A－tan B 1＋tan Atan B ＝ 2tan B 1＋3tan2B ＝ 2 1 tan B ＋3tan B ≤ 2 2 3 ＝ 3 3 ， 当且仅当 1 tan B ＝3tan B，即 tan B＝ 3 3 时，tan(A－B)取得最大值， 所以 B＝π 6. 1.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角 A 的取值 范围是( ) A. π 2 ，π B. π 4 ，π 2 C. π 3 ，π 2 D. 0，π 2 答案 C 解析 因为 a2＜b2＋c2， 所以 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＞0，所以 A 为锐角. 又因为 a＞b＞c，所以 A 为最大角， 所以角 A 的取值范围是 π 3 ，π 2 . 2.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且(2b－a)cos C＝ccos A，c＝3，sin A ＋sin B＝2 6sin Asin B，则△ABC 的面积为( ) A.3 3 8 B.2 C. 3 2 D.3 3 4 答案 D 解析 因为(2b－a)cos C＝ccos A， 由正弦定理得，(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A， 化简得 2sin Bcos C＝sin B，又 sin B≠0，因为 C∈(0，π)，所以 cos C＝1 2 ，所以 C＝π 3. 又由 sin A＋sin B＝2 6sin Asin B， 可得(sin A＋sin B)·sin C＝3 2sin Asin B， 由正弦定理可得(a＋b)c＝3 2ab，所以 a＋b＝ 2ab. 因为 c2＝a2＋b2－2abcos C，所以 2(ab)2－3ab－9＝0， 所以 ab＝3(负值舍去)， 所以 S△ABC＝1 2absin C＝3 3 4 . 3.已知 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 的对边. 下列四个命题： ①若 tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC 是锐角三角形； ②若 acos A＝bcos B，则△ABC 是等腰三角形； ③若 bcos C＋ccos B＝b，则△ABC 是等腰三角形； ④若 a cos A ＝ b cos B ＝ c cos C ，则△ABC 是等边三角形. 其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③④ 解析 命题①：∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＞0， ∴A，B，C 均为锐角，∴①正确； 命题②：由 acos A＝bcos B，可得 sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B 或 A＋B＝π 2 ，∴②错； 命题③：可知 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B， ∴sin A＝sin B， ∴A＝B，∴③正确； 命题④：由已知和正弦定理，易知 tan A＝tan B＝tan C，∴④正确. 解题秘籍 (1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题. (2)对已知关系式进行转化时，一定要等价变形，尤其注意式子两边不可随意同除以同一个式子. 1.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，则角 A 等 于( ) A.60° B.120° C.90° D.60°或 120° 答案 D 解析 由正弦定理可知 a sin A ＝ b sin B ，即 3 sin A ＝ 2 sin 45° ＝2，所以 sin A＝ 3 2 ，因为 a>b，所以 A>45°，所以 A＝60°或 A＝120°.故选 D. 2.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B， 则角 A 为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 A 解析 由 sin C＝2 3sin B，得 c＝2 3b， ∴c2＝2 3bc， ∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝－ 3bc＋2 3bc 2bc ＝ 3 2 ， 又 0°