2019届二轮复习（文）第十章计数原理、概率第4节课件（35张）（全国通用） 35页

第 4 节　随机事件的概率 最新考纲　 1. 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别； 2. 了解两个互斥事件的概率加法公式 . 1. 频率与概率 知 识 梳 理 频率 f n ( A ) 2. 事件的关系与运算   定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B_______ 事 件 A ( 或称事件 A 包含于事件 B ) _______ ( 或 A ⊆ B ) 相等关系 若 B ⊇ A 且 A ⊇ B _______ 并事 件 ( 和事件 ) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 _______ ( 或和事件 ) A ∪ B ( 或 A ＋ B ) 包含 B ⊇ A A ＝ B 并事件 交事 件 ( 积事件 ) 若某事件发生当且仅 当 __________ 且 __________ ， 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 ( 或积事件 ) A ∩ B ( 或 AB ) 互斥事件 若 A ∩ B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 A ∩ B ＝ ∅ 对立事件 若 A ∩ B 为不可能事件， A ∪ B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A ∩ B ＝ ∅ P ( A ∪ B ) ＝ 1 事件 A 发生 事 件 B 发 生 3. 概率的几个基本性质 (1) 概率的取值范围 ： _______________ . (2) 必然事件的概率 P ( E ) ＝ ____ . (3) 不可能事件的概率 P ( F ) ＝ ____ . (4) 互斥事件概率的加法公式 ① 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P ( A ∪ B ) ＝ ___________ . ② 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P ( A ) ＝ ___________ . 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 1 0 P ( A ) ＋ P ( B ) 1 － P ( B ) [ 常用结论与微点提醒 ] 2. 概率加法公式的推广 当 一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P ( A 1 ∪ A 2 ∪…∪ A n ) ＝ P ( A 1 ) ＋ P ( A 2 ) ＋ … ＋ P ( A n ). 3 . 一般概率加法公式 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A ∩ B ). 诊 断 自 测 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 事件发生的频率与概率是相同的 .( 　　 ) (2) 在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值 .( 　　 ) (3) 若随机事件 A 发生的概率为 P ( A ) ，则 0 ≤ P ( A ) ≤ 1.( 　　 ) (4)6 张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率 .( 　　 ) 答案　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 2. (2018· 金华十校联考 ) 有各不相同的 5 个红球、 3 个黄球、 2 个白球，事件 A ：从红球和黄球中各选 1 球，事件 B ：从所有球中选取 2 球，则事件 A 发生是事件 B 发生的 ( 　　 ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 解 析　 事件 A ：从红球和黄球中各选 1 球，能推出事件 B ：从所有球中选取 2 球，是充分条件， 事 件 B ：从所有球中选取 2 球，推不出事件 A ：从红球和黄球中各选 1 球，不是必要条件 . 答 案　 A 答案 　 A 5. 袋中装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是 0.40 和 0.35 ，那么黑球共有 ________ 个 . 解析　 任取一球是黑球的概率为 1 － (0.40 ＋ 0.35) ＝ 0.25 ， ∴ 黑球有 100 × 0.25 ＝ 25( 个 ). 答案 　 25 6. (2018· 嘉兴测试 ) 口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为 0.4 ，摸出的球是红球或白球的概率为 0.9 ，那么摸出的球是黄球的概率为 ________ ；是白球的概率为 ________. 解 析　 设摸出红球的概率是 P ( A ) ，摸出黄球的概率是 P ( B ) ，摸出白球的概率是 P ( C ) ， ∴ P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 0.4 ， P ( A ) ＋ P ( C ) ＝ 0.9 ， ∴ P ( C ) ＝ 1 － P ( A ) － P ( B ) ＝ 0.6 ， P ( B ) ＝ 1 － P ( A ) － P ( C ) ＝ 0.1 . 答 案 　 0.1 　 0.6 考点一　随机事件间的关系 【例 1 】 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这五个数中任取两个数，其中： ① 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ② 至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③ 至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④ 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 . 上述事件中，是对立事件的是 ( 　　 ) A . ① B . ②④ C. ③ D. ①③ 解析 　从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这五个数中任取两个数有 3 种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数 . 其中 “ 至少有一个是奇数 ” 包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件 . 又 ①②④ 中的事件可以同时发生，不是对立事件 . 答案 　 C 规律方法 　 (1) 本题中准确理解恰有两个奇数 ( 偶数 ) ，一奇一偶，至少有一个奇数 ( 偶数 ) 是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系 . (2) 准确把握互斥事件与对立事件的概念 . ① 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生 . ② 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生 . 【训练 1 】 口袋里装有 1 红、 2 白、 3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出 2 球，事件 A ＝ “ 取出的 2 球同色 ” ， B ＝ “ 取出的 2 球中至少有 1 个黄球 ” ， C ＝ “ 取出的 2 球至少有 1 个白球 ” ， D ＝ “ 取出的 2 球不同色 ” ， E ＝ “ 取出的 2 球中至多有 1 个白球 ”. 下列判断中正确的序号为 ________. ① A 与 D 是对立事件； ② B 与 C 是互斥事件； ③ C 与 E 是对立事件； ④ P ( C ∪ E ) ＝ 1 ； ⑤ P ( B ) ＝ P ( C ). 答案 　 ① 考点二　随机事件的频率与概率 【例 2 】 (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) 某险种的基本保费为 a ( 单位：元 ) ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 频数 60 50 30 30 20 10 (1) 记 A 为事件： “ 一续保人本年度的保费不高于基本保费 ” ，求 P ( A ) 的估计值； (2) 记 B 为事件： “ 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160% ” ，求 P ( B ) 的估计值； (3) 求续保人本年度平均保费的估计值 . 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85 a × 0.30 ＋ a × 0.25 ＋ 1.25 a × 0.15 ＋ 1.5 a × 0.15 ＋ 1.75 a × 0.10 ＋ 2 a × 0.05 ＝ 1.192 5 a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5 a . 规律方法 　 (1) 解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率 . (2) 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数 ( 概率 ) ，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 . 【训练 2 】 某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中 “√” 表示购买， “×” 表示未购买 . 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； (3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大 ？ 解　 (1) 从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙， 考点三　互斥事件与对立事件的概率 【例 3 】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾 客数 / 人 x 30 25 y 10 结算时间 / ( 分钟 / 人 ) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1) 确定 x ， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率 ( 将频率视为概率 ). 解　 (1) 由已知得 25 ＋ y ＋ 10 ＝ 55 ， x ＋ 30 ＝ 45 ， 所以 x ＝ 15 ， y ＝ 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 【训练 3 】 某商场有奖销售活动中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得 .1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个 . 设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A ， B ， C ，求： ( 1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； ( 2)1 张奖券的中奖概率； ( 3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 .