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- 2021-07-01 发布
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模块检测
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正确的是 ( )．
A.< B.< C．a2|b|
解析 如果a<0，b>0，那么<0，>0，
∴<.
答案 A
2．(2012·大连统考(二))△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 由题意，得b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cos B＝＝＝，故选B.
答案 B
3．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是 ( )．
A．an＝2n－2(n∈N*) B．an＝2n＋4(n∈N*)
C．an＝－2n＋12(n∈N*) D．an＝－2n＋10(n∈N*)
解析 由得或
∵d<0，∴取a2＝6，a4＝2，
∴d＝(a4－a2)＝－2，
∴an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)
＝10－2n.
答案 D
4．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是 ( )．
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
解析 ∵x>1，∴x＋＝(x－1)＋＋1≥
2 ＋1＝3.∴a≤3.
答案 D
5．等差数列{an}满足a42＋a72＋2a4a7＝9，则其前10项之和为 ( )．
A．－9 B．－15 C．15 D．±15
解析 a42＋a72＋2a4a7＝(a4＋a7)2＝9，
∴a4＋a7＝±3，∴a1＋a10＝±3，
∴S10＝＝±15.
答案 D
6．在△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sin C＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 由三角形的面积公式，得S＝AB·BCsin ＝，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ，得AC＝，再由三角形的面积公式，得S＝AC·BCsin C＝，即可得出sin C＝，选B.
答案 B
7．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC是 ( )．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析 ∵lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，
∴lg＝lg 2.∴sin A＝2cos Bsin C，∵A＋B＋C＝180°，∴sin(B＋C)＝2cos Bsin C，∴sin(B－C)＝0.
∴B＝C，∴△ABC为等腰三角形．
答案 A
8．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )．
A．13
C．12
解析 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0，恒成立⇔⇔⇔x<1或x>3.
答案 B
9．若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是 ( )．
A．90 B．80 C．70 D．40
解析 作出可行域如图所示．
由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2、－，而
3x＋2y＝0的斜率为－，故线性目标函数的倾斜角大于
2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图
知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大
值为70.
答案 C
10．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还 ( )．
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
解析 设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)．
11．在数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn(n≥1)，则an＝________.
解析 an＋1＝Sn，an＋2＝Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝(Sn＋1－Sn)＝an＋1，
∴an＋2＝an＋1(n≥1)．
∵a2＝S1＝，
∴an＝
答案
12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝csin A，则的最大值为________．
解析 ∵a＝csin A，∴sin A＝sin C·sin A.
∴sin C＝1.C＝90°.∴A＋B＝90°，
∴＝＝sin A＋sin B
＝sin A＋cos A＝sin(A＋45°)≤.
答案
13.(2011·安徽“三校”联考)2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为10米，则旗杆的高度为________米．
解析 由题，可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理，得＝，解得AN＝20米，在Rt△AMN中，MN＝20sin 60°＝30米．故旗杆的高度为30米．
答案 30
14．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为________．
解析 由f(x)>0，得32x－k·3x＋2>0，
解得k<3x＋，
而3x＋≥2，
∴k<2.
答案 (－∞，2)
三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S5；S3，S4
的等差中项为1，求数列{an}的通项公式．
解 设等差数列{an}的首项a1＝a，公差为d，则Sn＝na＋d，依题意，有
整理得
∴a＝1，d＝0或a＝4，d＝－.
∴an＝1或an＝－n，经检验，an＝1和an＝－n均合题意．
∴所求等差数列的通项公式为an＝1或an＝－n.
16．(10分)在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，若2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，求b.
解 ∵S△ABC＝acsin B＝acsin 30°＝，
∴ac＝6.∵2b＝a＋c.
由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos 30°，
∴b2＝4b2－12－6，
得b2＝4＋2，∴b＝1＋.
17．(10分)(2012·郑州模拟)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
解 (1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则
y＝50n－98－[12×n＋×4]
＝－2n2＋40n－98
＝－2(n－10)2＋102
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为
＝－2(n＋－20)
≤－2(2 －20)＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．
18．(12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
解 (1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－22时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当x＝3时等号成立)．
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
19．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn，
解 (1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，
∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n＞1)，
∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，
即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an(n∈N*，n＞1)．
而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.
∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴an＝3n－1(n∈N*)．
∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，
在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.
又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，
∵bn＞0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，
∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．
(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①
∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②
∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n
＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.
∴Tn＝n·3n.
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