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  • 2021-07-01 发布

高中数学(人教A版)必修5能力强化提升及单元测试:模块检测

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模块检测 ‎(时间:100分钟 满分:120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.如果a<0,b>0,那么,下列不等式中正确的是 (  ).‎ A.< B.< C.a2|b|‎ 解析 如果a<0,b>0,那么<0,>0,‎ ‎∴<.‎ 答案 A ‎2.(2012·大连统考(二))△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cos B= (  ).‎ A. B. C. D. 解析 由题意,得b2=ac,又c=2a,由余弦定理,得cos B===,故选B.‎ 答案 B ‎3.等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是 (  ).‎ A.an=2n-2(n∈N*) B.an=2n+4(n∈N*)‎ C.an=-2n+12(n∈N*) D.an=-2n+10(n∈N*)‎ 解析 由得或 ‎∵d<0,∴取a2=6,a4=2,‎ ‎∴d=(a4-a2)=-2,‎ ‎∴an=a2+(n-2)d=6-2(n-2)‎ ‎ =10-2n.‎ 答案 D ‎4.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是 (  ).‎ A.(-∞,2] B.[2,+∞)‎ C.[3,+∞) D.(-∞,3]‎ 解析 ∵x>1,∴x+=(x-1)++1≥‎ ‎2 +1=3.∴a≤3.‎ 答案 D ‎5.等差数列{an}满足a42+a72+2a4a7=9,则其前10项之和为 (  ).‎ A.-9 B.-15 C.15 D.±15‎ 解析 a42+a72+2a4a7=(a4+a7)2=9,‎ ‎∴a4+a7=±3,∴a1+a10=±3,‎ ‎∴S10==±15.‎ 答案 D ‎6.在△ABC中,BC=2,B=,当△ABC的面积等于时,sin C= (  ).‎ A. B. C. D. 解析 由三角形的面积公式,得S=AB·BCsin =,易求得AB=1,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos ,得AC=,再由三角形的面积公式,得S=AC·BCsin C=,即可得出sin C=,选B.‎ 答案 B ‎7.在△ABC中,若lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC是 (  ).‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析 ∵lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,‎ ‎∴lg=lg 2.∴sin A=2cos Bsin C,∵A+B+C=180°,∴sin(B+C)=2cos Bsin C,∴sin(B-C)=0.‎ ‎∴B=C,∴△ABC为等腰三角形.‎ 答案 A ‎8.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是(  ).‎ A.13‎ C.12‎ 解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0,恒成立⇔⇔⇔x<1或x>3.‎ 答案 B ‎9.若变量x,y满足则z=3x+2y的最大值是 (  ).‎ A.90 B.80 C.70 D.40‎ 解析 作出可行域如图所示.‎ 由于2x+y=40、x+2y=50的斜率分别为-2、-,而 ‎ ‎3x+2y=0的斜率为-,故线性目标函数的倾斜角大于 ‎2x+y=40的倾斜角而小于x+2y=50的倾斜角,由图 知,3x+2y=z经过点A(10,20)时,z有最大值,z的最大 值为70.‎ 答案 C ‎10.某企业在今年年初贷款a万元,年利率为γ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计五年内还清,则每年应偿还 (  ).‎ A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 解析 设每年偿还x万元,则:x+x(1+γ)+x(1+γ)2+x(1+γ)3+x(1+γ)4=a(1+γ)5,∴x= 答案 B 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上).‎ ‎11.在数列{an}中,Sn是其前n项和,若a1=1,an+1=Sn(n≥1),则an=________.‎ 解析 an+1=Sn,an+2=Sn+1,‎ ‎∴an+2-an+1=(Sn+1-Sn)=an+1,‎ ‎∴an+2=an+1(n≥1).‎ ‎∵a2=S1=,‎ ‎∴an= 答案  ‎12.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=csin A,则的最大值为________.‎ 解析 ∵a=csin A,∴sin A=sin C·sin A.‎ ‎∴sin C=1.C=90°.∴A+B=90°,‎ ‎∴==sin A+sin B ‎=sin A+cos A=sin(A+45°)≤.‎ 答案  ‎13.(2011·安徽“三校”联考)2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式.如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A、B的距离为10米,则旗杆的高度为________米.‎ 解析 由题,可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理,得=,解得AN=20米,在Rt△AMN中,MN=20sin 60°=30米.故旗杆的高度为30米.‎ 答案 30‎ ‎14.已知f(x)=32x-k·3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围为________.‎ 解析 由f(x)>0,得32x-k·3x+2>0,‎ 解得k<3x+,‎ 而3x+≥2,‎ ‎∴k<2.‎ 答案 (-∞,2)‎ 三、解答题(本大题共5小题,共54分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(10分)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S3,S4的等比中项为S5;S3,S4‎ 的等差中项为1,求数列{an}的通项公式.‎ 解 设等差数列{an}的首项a1=a,公差为d,则Sn=na+d,依题意,有 整理得 ‎∴a=1,d=0或a=4,d=-.‎ ‎∴an=1或an=-n,经检验,an=1和an=-n均合题意.‎ ‎∴所求等差数列的通项公式为an=1或an=-n.‎ ‎16.(10分)在△ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,求b.‎ 解 ∵S△ABC=acsin B=acsin 30°=,‎ ‎∴ac=6.∵2b=a+c.‎ 由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2ac·cos 30°,‎ ‎∴b2=4b2-12-6,‎ 得b2=4+2,∴b=1+.‎ ‎17.(10分)(2012·郑州模拟)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.‎ ‎(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?‎ ‎(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?‎ 解 (1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元.则 y=50n-98-[12×n+×4]‎ ‎=-2n2+40n-98‎ ‎=-2(n-10)2+102‎ ‎∴当捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.‎ ‎(2)年平均利润为 =-2(n+-20)‎ ‎≤-2(2 -20)=12,‎ 当且仅当n=,即n=7时上式取等号.‎ 所以,当捕捞7年后年平均利润最大,最大是12万元.‎ ‎18.(12分)已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,‎ ‎(1)求不等式g(x)<0的解集;‎ ‎(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.‎ 解 (1)g(x)=2x2-4x-16<0,‎ ‎∴(2x+4)(x-4)<0,∴-22时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,‎ ‎∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,‎ 即x2-4x+7≥m(x-1).‎ ‎∴对一切x>2,均有不等式≥m成立.‎ 而=(x-1)+-2≥2-2=2(当x=3时等号成立).‎ ‎∴实数m的取值范围是(-∞,2].‎ ‎19.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中,bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn,‎ 解 (1)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),‎ ‎∴an=2Sn-1+1(n∈N*,n>1),‎ ‎∴an+1-an=2(Sn-Sn-1),‎ 即an+1-an=2an,∴an+1=3an(n∈N*,n>1).‎ 而a2=2a1+1=3,∴a2=3a1.‎ ‎∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,‎ ‎∴an=3n-1(n∈N*).‎ ‎∴a1=1,a2=3,a3=9,‎ 在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5.‎ 又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn}的公差为d,则有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2)2.‎ ‎∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2,‎ ‎∵bn>0(n∈N*),∴舍去d=-10,取d=2,‎ ‎∴b1=3,∴bn=2n+1(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,①‎ ‎∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②‎ ‎∴①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n ‎=3+2×-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n·3n.‎ ‎∴Tn=n·3n.‎

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