考点67+坐标系-2019年领军高考数学（理）必刷题 10页

考点67 坐标系 ‎1．在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎ ，‎ ‎ ． ‎ 且当时，取最大值，此时，‎ 所以，，，此时.‎ ‎2．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,圆经过伸缩变换后得到曲线,相互垂直的直线过定点与曲线相交于两点, 与曲线相交于两点.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎3．在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线.‎ ‎（1）将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线，请写出直线，和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线经过点且， 与曲线交于点，求的值.‎ ‎【答案】(1) ，；(2)2.‎ ‎【解析】 ‎ ‎(1)因为，所以的直角坐标方程为； ‎ 设曲线上任一点坐标为，则，所以， ‎ 代入方程得： ，所以的方程为. ‎ ‎(2)直线： 倾斜角为，由题意可知，‎ 直线的参数方程为（为参数），‎ 联立直线和曲线的方程得，.设方程的两根为，则，由直线参数的几何意义可知，. ‎ ‎12．在平面直角坐标系xy中，曲线C的参数方程为为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为。‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求△PAB面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎∴．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），设是曲线上任一点，是曲线上任一点.‎ ‎(1)求与交点的极坐标；‎ ‎(2)已知直线，点在曲线上，求点到的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）与的交点极坐标为与；（2）点到的距离的最大值为.‎ ‎14．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 (为参数，)．‎ ‎(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；‎ ‎(2)证明：直线l和曲线C相交，并求相交弦的长度．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎15．在极坐标系中，点坐标是，曲线的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线经过点和极点．‎ ‎（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线和曲线相交于两点、，求线段的长．‎ ‎【答案】(1)；(2) ‎ ‎16．在直角坐标系中,直线过点,倾斜角为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是 ‎(1)写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程 ‎(2)若直线与曲线交于不同的两点,当最大时,求出直线的直角坐标方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）直线l的参数方程为 (t为参数)，‎ 把代入曲线C的极坐标方程可得直角坐标方程为，‎ ‎（2）设A，B对应的参数分别为，，‎ 把直线l的参数代入曲线C的直角坐标方程可得，‎ 因为有两个交点，所以，‎ 解得，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，最大，此时，‎ 所以直线l的直角坐标方程为． ‎ ‎23．已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）把的参数方程式化为普通方程，的极坐标方程式化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求与交点的极坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）与交点的极坐标分别为.‎ ‎24．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，将曲线（为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎25．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为 (，为参数)，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) ‎ ‎【解析】解：(1)由消去参数，得曲线的普通方程为 由得，曲线的直角坐标方程为 ‎(2)设，则点到曲线的距离为 当时，有最小值，所以的最小值为. ‎