高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：1_3 第2课时 相似三角形的性质 27页

1.3 　相似三角形的判定及性质 第二课时　相似三角形的性质 掌握利用三角形相似的性质，能正确利用三角形相似的定理解决几何问题． 1 ． 相似三角形的性质定理： (1) 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ________ ． (2) 相似三角形周长的比等于 ________ ． (3) 相似三角形面积的比等于 ____________ ． 2 ．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于 __________ ． 1 ． (1) 相似比　 (2) 相似比　 (3) 相似比的平方 2 ．相似比的平方 如图所示，∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 4 ， BC ＝ 3 ， DE ∥ BC ， EF ⊥ BC ，设 DE ＝ x ，试用 x 表示图中所有线段． 如图所示，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， S △ ADE ∶ S △ ABC ＝ 4∶9. (1) 求 AE ∶ EC . (2) 求 S △ ADE ∶ S △ CDE . 点评： 解题思路是先证明两个三角形相似，运用面积比求出相似比，解题关键是运用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 1 ．在△ ABC 中，点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且 DE ∥ BC ，若 AE ∶ EC ＝ 1∶2 ，且 AD ＝ 4 cm ，则 DB 等于 ( 　　 ) A ． 2 cm 　　　　　　　　　 B ． 6 cm C ． 4 cm D ． 8 cm 2 ． 在△ ABC 中， AB ＝ 9 ， AC ＝ 12 ， BC ＝ 18 ， D 为 AC 上一点， DC ＝ AC ，在 AB 上取一点 E ，得到△ ADE ，若△ ADE 与△ ABC 相似，则 DE 的长为 ( 　　 ) A ． 6 B ． 8 C ． 6 或 8 D ． 14 D C 3 ． △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ ， AD 和 A ′ D ′ 分别是△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′ 的角平分线，且 AD ∶ A ′ D ′ ＝ 5∶3 ，下面给出四个结论： ① BC ∶ B ′ C ′ ＝ 5∶3 ；②△ ABC 的周长∶ △ A ′ B ′ C ′ 的周长＝ 5∶3 ；③△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′ 的对应高之比为 5∶3 ；④△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′ 的对应中线之比为 5∶3. 其中正确的有 ( 　　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 D 4 ．两个相似三角形的一对对应边长分别是 24 cm 和 12 cm . (1) 若它们的周长和是 120 cm ，则这两个三角形的周长分别为 ________ 和 ________ ； (2) 若它们的面积差是 420 cm 2 ，则这两个三角形的面积分别为 ________ 和 ________ ． 80 cm 40 cm 560 cm 2 140 cm 2 5 ．有一块三角形铁片 ABC ，已知最长边 BC ＝ 12 cm ，高 AD ＝ 8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，且矩形的长是宽的 2 倍，则加工成的铁片的面积为 ( 　　 ) A ． 18 cm 2 或 cm 2 　　 B ． 20 cm 2 或 18 cm 2 C ． 18 cm 2 D. cm 2 A 6 ．如图所示，已知在△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，正方形 DEFG 内接于△ ABC ， DE ∥ AC ， EF ∥ BC ， AC ＝ 1 ， BC ＝ 2 ，则 AF ∶ FC 等于 ( 　　 ) A ． 1∶3 B ． 1∶4 C ． 1∶2 D ． 2∶3 C 7 ． D 、 E 、 F 是△ ABC 的三边中点，设△ DEF 的面积为 4 ，△ ABC 的周长为 9 ，则△ DEF 的周长与△ ABC 的面积分别是 ( 　　 ) A ． 4.5,16 B ． 9,4 C ． 4.5,8 D. ， 16 A 8 ．如图所示， D 、 E 、 F 、 G 、 H 、 I 是△ ABC 三边的三等分点，△ ABC 的周长是 l ，则六边形 DEFGHI 的周长是 ( 　　 ) A. l B ． 3 l C ． 2 l D. l D 9 ．在△ ABC 中， D 为 BC 上一点，且∠ BAC ＝∠ ADC ， BC ＝ 16 cm ， AC ＝ 12 cm ，则 DC ＝ ________cm. 10 ．两相似三角形的相似比为 1∶3 ，则其周长之比为 ______ ，内切圆面积之比为 ______ ． 1∶3 1∶9 9 11 ． (2011 年陕西卷 ) 如图所示，∠ B ＝∠ D ， AE ⊥ BC ，∠ ACD ＝ 90° ，且 AB ＝ 6 ， AC ＝ 4 ， AD ＝ 12 ，则 AE ＝ ______. 12 ． (2011 年广东卷 ) 如图所示，在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB ＝ 4 ， CD ＝ 2. E ， F 分别为 AD 、 BC 上点，且 EF ＝ 3 ， EF ∥ AB ，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 ________ ． 13 ．如图所示，已知边长为 12 的正三角形 ABC ， DE ∥ BC ， S △ BCD ∶ S △ BAC ＝ 4∶9 ，求 CE 的长． 解析：方法一： 如图所示，过点 D 作 DF ⊥ BC 于点 F ， 过点 A 作 AG ⊥ BC 于点 G ， S △ BCD ＝ BC · DF ， S △ BAC ＝ BC · AG ， ∵ S △ BCD ∶ S △ BAC ＝ 4∶9 ， ∴ DF ∶ AG ＝ 4∶9. ∵△ BDF ∽△ BAG ， ∴ BD ∶ BA ＝ DF ∶ AG ＝ 4∶9. ∵ AB ＝ 12 ， ∴ CE ＝ BD ＝ 1 ． 我们已经学过全等三角形，两个全等三角形的大小、形状是完全一样的，相似三角形是形状相同但大小不一样的三角形．显然，当两个相似三角形的相似比为 1 的时候，相似三角形就成了全等三角形．鉴于相似三角形和全等三角形的类似点，在学习相似三角形的性质时可以类比全等三角形的性质来研究． 2 ．研究相似三角形的性质时，切记从相似比入手即可，涉及线段的比均等于相似比，只有面积的比是相似比的平方． 3 ．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积． 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束