2018届二轮复习 直线与圆 课件（全国通用） 35页

第 1 讲　直线与圆 高考定位 　 高考对本内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题 . 直线与圆的位置关系 ( 特别是弦长问题 ) ，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识 . 多为 B 级或 C 级要求 . 真 题 感 悟 1. (2015· 江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线 mx － y － 2 m － 1 ＝ 0( m ∈ R ) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ________. 答案　 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 2 2. (2013· 江苏卷 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (0 ， 3) ，直线 l ： y ＝ 2 x － 4. 设圆 C 的半径为 1 ，圆心在 l 上 . (1) 若圆心 C 也在直线 y ＝ x － 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆 C 上存在点 M ，使 MA ＝ 2 MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 . 考 点 整 合 1. 两直线平行或垂直 (1) 两条直线平行：对于两条不重合的直线 l 1 ， l 2 ，其斜率分别为 k 1 ， k 2 ，则有 l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 ＝ k 2 . 特别地，当直线 l 1 ， l 2 的斜率都不存在且 l 1 与 l 2 不重合时， l 1 ∥ l 2 . (2) 两条直线垂直：对于两条直线 l 1 ， l 2 ，其斜率分别为 k 1 ， k 2 ，则有 l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 · k 2 ＝－ 1. 特别地，当 l 1 ， l 2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时， l 1 ⊥ l 2 . 3. 直线方程的 5 种形式中只有一般式可以表示所有的直线 . 在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性 . 比如，根据 “ 在两坐标轴上的截距相等 ” 这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况 . 而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理 . 4. 处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化 . 5. 直线与圆中常见的最值问题 (1) 圆外一点与圆上任一点的距离的最值 . (2) 直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值 . (3) 过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值 . (4) 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题 . (5) 两圆相离，两圆上点的距离的最值 . 热点一　直线与圆有关问题 [ 微题型 1] 　 求圆的方程 【例 1 － 1 】 (2015· 广州模拟 ) 若圆 C 经过 (1 ， 0) ， (3 ， 0) 两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为 ________. 探究提高 　 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式 . [ 微题型 2] 　 圆的切线问题 【例 1 － 2 】 (2015· 重庆卷改编 ) 已知直线 l ： x ＋ ay － 1 ＝ 0( a ∈ R ) 是圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的对称轴，过点 A ( － 4 ， a ) 作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则 AB ＝ ________. 答案 　 6 探究提高 　 (1) 直线与圆相切时利用 “ 切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径 ” 建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式 . (2) 过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理 . [ 微题型 3] 　 与圆有关的弦长问题 【训练 1 】 (2015· 全国 Ⅰ 卷改编 ) 过三点 A (1 ， 3) ， B (4 ， 2) ， C (1 ，－ 7) 的圆交 y 轴于 M 、 N 两点，则 | MN | ＝ ________. 热点二　直线与圆、圆与圆的位置关系 探究提高 　 根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系 . 【训练 2 】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 1 ： ( x － 3) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 4 ，圆 C 2 ： ( x ＋ m ) 2 ＋ ( y ＋ m ＋ 5) 2 ＝ 2 m 2 ＋ 8 m ＋ 10( m ∈ R ，且 m ≠ － 3). (1) 设 P 为坐标轴上的点，满足：过点 P 分别作圆 C 1 与圆 C 2 的一条切线，切点分别为 T 1 、 T 2 ，使得 PT 1 ＝ PT 2 ，试求出所有满足条件的点 P 的坐标； (2) 若斜率为正数的直线 l 平分圆 C 1 ，求证：直线 l 与圆 C 2 总相交 . 热点三　直线、圆与其他知识的交汇 1. 由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况 . 2. 确定圆的方程时，常用到圆的几个性质： (1) 直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形 ( 半弦长，弦心距，圆半径 ) ； (2) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (3) 圆心在任一弦的中垂线上； (4) 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (5) 圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称 . 3. 直线与圆中常见的最值问题 圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题 . 4. 两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程 .