【三维设计】2017届高三数学（理）二轮复习（通用版）课余自主加餐训练 （五）直线与圆锥曲线专练 5页

‎ (五)直线与圆锥曲线专练 ‎1．过点Q(－2，)作圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的切线，切点为D，且|QD|＝4.‎ ‎(1)求r的值；‎ ‎(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设，求||的最小值(O为坐标原点)．‎ ‎2．如图，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，O是坐标原点，|OF|＝，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若过点M(－，0)的直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，且|PM|＝2|MQ|，求直线l的方程．‎ ‎3．已知点A(－4，0)，直线l：x＝－1与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2.‎ ‎(1)求点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)设C与x轴交于E，F两点，P是直线l上一点，且点P不在C上，直线PE，PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线．‎ ‎4．(2016·四川高考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的 两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．‎ 答 案 ‎1．解：(1)由题可知，圆O的圆心为(0，0)，半径为r.‎ ‎∵过点Q(－2，)作圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的切线，切点为D，且|QD|＝4，‎ ‎∴r＝|OD|＝ ‎＝＝3.‎ ‎(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，‎ 即bx＋ay－ab＝0，则A(a，0)，B(0，b)，‎ ‎∵，‎ ‎∴＝(a，b)，‎ ‎∴||＝.‎ ‎∵直线l与圆O相切，∴＝3，‎ ‎∴3＝ab≤，‎ ‎∴≥6，∴||≥6，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．‎ ‎∴||的最小值为6.‎ ‎2．解：(1)由题设条件，|P0F|＝＝＝.‎ 易知|P0F|＝， 从而＝.‎ 又c＝|OF|＝，即a2－b2＝5，‎ 因此a2－a－5＝0，‎ 解得a＝3或a＝－，‎ 又a>0，故a＝3，从而b＝2.‎ 故所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意y1>0，y2<0，并可设直线l：x＝ty－，代入椭圆方程得＋＝1，即(4t2＋9)y2－8ty－16＝0.‎ 从而y1＋y2＝，y1y2＝－.‎ 又由|PM|＝2|MQ|，得＝＝2，‎ 即y1＝－2y2.‎ 因此y1＋y2＝－y2，y1y2＝－2y，‎ 故－＝－2，可解得t2＝.‎ 注意到y2＝－且y2<0，知t>0，因此t＝.‎ 故满足题意的直线l的方程为x＝y－，即为2x－y＋2＝0.‎ ‎3．解：(1)设点M(x，y)，依题意，＝＝2，化简得x2＋y2＝4，‎ 即轨迹C的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)证明：由(1)知曲线C的方程为x2＋y2＝4，令y＝0得x＝±2，不妨设E(－2，0)，F(2，0)，如图．‎ 设P(－1，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，则直线PE的方程为y＝y0(x＋2)，‎ 由得(y＋1)x2＋4yx＋4y－4＝0，‎ 所以－2x1＝，即x1＝，y1＝.‎ 直线PF的方程为y＝－(x－2)，‎ 由得(y＋9)x2－4yx＋4y－36＝0，‎ 所以2x2＝，即x2＝，y2＝.‎ 所以kAS＝＝＝，‎ kAT＝＝＝，‎ 所以kAS＝kAT，所以A，S，T三点共线．‎ ‎4．解：(1)由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.‎ 由方程组得3x2－12x＋18－2b2＝0.‎ 由题意Δ＝24(b2－3)＝0，得b2＝3，‎ 则直线l与椭圆E的交点坐标为(2，1)‎ 所以椭圆E的方程为＋＝1.‎ 点T的坐标为(2，1)．‎ ‎(2)证明：由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，‎ 由方程组可得 所以P点坐标为，|PT|2＝m2.‎ 设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由方程组可得3x2＋4mx＋4m2－12＝0.‎ 由Δ＝16(9－2m2)＞0，解得－＜m＜.‎ 则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 所以|PA|＝ ‎＝，‎ 同理|PB|＝.‎ 所以|PA|·|PB|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝m2.‎ 故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.‎