高中数学选修2-2课时练习第三章 2_2（一） 13页

‎2．2　最大值、最小值问题(一)‎ ‎[学习目标]‎ ‎1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．‎ ‎2．会求某闭区间上函数的最值．‎ ‎[知识链接]‎ 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？‎ 答　函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．最值点的概念 ‎(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．‎ ‎2．最值的概念 函数的最大值和最小值统称为最值．‎ ‎3．最值点的可能位置 函数的最值可能在极值点取得，也可能在区间的端点取得．‎ ‎4．求函数的最大值与最小值的步骤 ‎(1)求f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较．其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.‎ 要点一　求函数在闭区间上的最值 例1　求下列各函数的最值：‎ ‎(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；‎ ‎(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．‎ 解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.‎ 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－3‎ ‎(－3，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，0)‎ ‎0‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎－60‎  极大值4‎ 极小值3‎ 极大值4‎ ‎－5‎ ‎∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；‎ 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.‎ ‎(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，‎ ‎∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，‎ ‎∴f(x)在[－1,1]上为增函数．‎ 故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；‎ x＝1时，f(x)最大值＝2.‎ 即f(x)的最小值为－12，最大值为2.‎ 规律方法　(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．若仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．‎ ‎①求出导数为零的点．‎ ‎②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．‎ ‎(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．‎ 跟踪演练1　求下列函数的最值：‎ ‎(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]；‎ ‎(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．‎ 解　(1)∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.‎ ‎∵f(2)＝－，f(0)＝4，f(3)＝1，‎ ‎∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值－.‎ ‎(2)∵f(x)＝3ex－exx2，‎ ‎∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)‎ ‎＝－ex(x＋3)(x－1)，‎ ‎∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，‎ 即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，‎ ‎∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2，‎ x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.‎ 要点二　含参数的函数的最值问题 例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．求f(x)在区间[0,2]上的最大值．‎ 解　令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.‎ ‎①当≤0，即a≤0时，‎ f(x)在[0,2]上单调递增，‎ 从而f(x)max＝f(2)＝8－‎4a.‎ ‎②当≥2，即a≥3时，‎ f(x)在[0,2]上单调递减，‎ 从而f(x)max＝f(0)＝0.‎ ‎③当0<<2，即01.‎ 故实数m的取值范围是(1，＋∞)．‎ 规律方法　(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．‎ ‎(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到“和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．‎ 跟踪演练3　设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋‎8c，‎ ‎(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；‎ ‎(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．‎ 解　(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．‎ ‎∴当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.‎ ‎∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋‎8c.‎ 又f(3)＝9＋‎8c＞f(1)，‎ ‎∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋‎8c.‎ ‎∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，‎ ‎∴9＋‎8c＜c2，即c＜－1或c＞9.‎ ‎∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．‎ ‎(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋‎8c，‎ ‎∴9＋‎8c≤c2，即c≤－1或c≥9，‎ ‎∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．‎ ‎1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)‎ C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)‎ 答案　B 解析　∵f′(x)＝－2x＋4，‎ ‎∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，‎ 故f(x)在[3,5]上单调递减，‎ 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．‎ ‎2．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　)‎ A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 答案　D 解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在 ‎(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.‎ ‎3．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)‎ A．π－1 B.－‎1 C．π D．π＋1‎ 答案　C 解析　因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′＞0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝‎ π－sin π＝π，故选C.‎ ‎4．(2012·安徽改编)函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为(　　)‎ A. ‎ 答案　A 解析　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．‎ ‎∵x∈，f′(x)＞0.‎ ‎∴f(x)在上是单调增函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.‎ ‎5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．‎ 答案　－71‎ 解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．‎ 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.‎ 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，‎ f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.‎ 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，‎ ‎∴f(x)min＝k－76＝－71.‎ ‎1．求函数的最值时，应注意以下几点：‎ ‎(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．‎ ‎(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．‎ ‎(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．‎ ‎2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．‎ ‎3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)‎ A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值 答案　D 解析　由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．‎ ‎2．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是(　　)‎ A．0 B. ‎ C. D. 答案　B 解析　y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，‎ ‎∴f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值，故选B.‎ ‎3．函数y＝的最大值为(　　)‎ A．e－1 B．e C．e2 D. 答案　A 解析　令y′＝＝＝0(x＞0)，‎ 解得x＝e.当x>e时，y′<0；当0＜x＜e时，y′＞0.‎ y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，‎ 所以ymax＝.‎ ‎4．函数y＝在定义域内(　　)‎ A．有最大值2，无最小值 B．无最大值，有最小值－2‎ C．有最大值2，最小值－2 D．无最值 答案　C 解析　令y′＝＝＝0，‎ 得x＝±1.当x变化时，y′与y随x的变化如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ y′‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ y  极小值  极大值  由上表可知x＝－1时，y取极小值也是最小值－2；x＝1时，y取极大值也是最大值2.‎ ‎5．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，2ln 2－2]‎ 解析　函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．‎ ‎6．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．‎ 答案　＋ 解析　y′＝1－2sin x＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.‎ ‎7．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．‎ 解　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－2‎ ‎(－2,0)‎ ‎0‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ f′(x) ‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ f(x)‎ ‎－40＋a  极大值a  ‎－8＋a ‎∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.‎ 当x＝0时，f(x)的最大值为3.‎ 二、能力提升 ‎8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案　D 解析　‎ 由题意画出函数图像如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．‎ y′＝2t－＝＝.‎ 当0＜t＜时，y′＜0，可知y在上单调递减；‎ 当t＞时，y′＞0，可知y在上单调递增．‎ 故当t＝时，|MN|有最小值．‎ ‎9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的a∈[1,2]，b∈(2,3]，函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数t的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，3] B．(－∞，5] ‎ C．[3，＋∞) D．[5，＋∞)‎ 答案　D 解析　∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数f(x)在[a，b]上单调递减，则有f′(x)≤0在[a，b]上恒成立，即不等式3x2－2tx＋3<0在[a，b]上恒成立，即有t≥在[a，b]上恒成立，而函数y＝在[1,3]上单调递增，由于a∈[1,2]，b∈(2,3]，当b＝3时，函数y＝取得最大值，即ymax＝‎ ＝5，所以t≥5，故选D.‎ ‎10．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．‎ 答案　－ 解析　f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.‎ ‎∵f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，‎ ‎∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－＋a＝－.‎ ‎11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范围．‎ 解　(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，‎ ‎∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，‎ ‎∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．‎ ‎∴，∴.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，‎ f′(x)＝3x2－6x－9，‎ 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值c＋5‎ 极小值c－27‎ 而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，‎ ‎∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，‎ 要使f(x)＜2|c|恒成立，只要c＋54＜2|c|即可，‎ 当c≥0时，c＋54＜‎2c，∴c＞54；‎ 当c＜0时，c＋54＜－‎2c，∴c＜－18.‎ ‎∴c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.‎ ‎(1)求f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ 解　(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.‎ 令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，‎ ‎∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．‎ ‎(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，‎ f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，‎ ‎∴f(2)＞f(－2)．‎ 于是有22＋a＝20，∴a＝－2.‎ ‎∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.‎ ‎∵在(－1,3)上f′(x)＞0，‎ ‎∴f(x)在[－1,2]上单调递增．‎ 又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，‎ ‎∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，‎ ‎∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，‎ 即f(x)最小值为－7.‎ 三、探究与创新 ‎13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.‎ ‎(1)求a，b，c，d的值；‎ ‎(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．‎ 解　(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，‎ g′(0)＝4，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，‎ ‎∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，‎ 设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，‎ F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．‎ 由题设可得F(0)≥0，即k≥1，‎ 令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，‎ ‎①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，‎ ‎∴当x∈(－2，x1)时，‎ F′(x)＜0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)单调递减，在 ‎(x1，＋∞)单调递增，故F(x)在x＝x1处取最小值F(x1)，而F(x1)＝2x1＋2－x－‎ ‎4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.‎ ‎∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．‎ ‎②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e2)，‎ ‎∴当x≥－2时，F′(x)≥0，‎ ‎∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而F(－2)＝0，‎ ‎∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，‎ ‎③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．‎ 综上所述，k的取值范围为[1，e2].‎