数学（文）卷·2017届山东省桓台第二中学高三4月月考（模拟）（2017 12页

高三数学模拟试卷（文科）‎ 一、选择题：‎ ‎1．已知集合M={x|16﹣x2≥0}，集合N={y|y=|x|+1}，则M∩N=（　　）‎ A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}‎ ‎2．若复数z满足z（4﹣i）=5+3i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i ‎3．由变量x与y的一组数据：‎ x ‎1‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎13‎ ‎19‎ y y1‎ y2‎ y3‎ y4‎ y5‎ 得到的线性回归方程为=2x+45，则=（　　）‎ A．135 B．90 C．67 D．63‎ ‎4．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为16，20，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎5．函数的图象经过下列平移，可以得到函数图象的是（　　）‎ A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎6．已知f（x）是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（　　）‎ A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则该三棱锥的体积为（　　）‎ ‎ A． B． C．1 D．6‎ ‎8．已知向量与的夹角为60，时，实数x为（　　）‎ A．4 B．2 C．l D．‎ ‎9．已知点P在直线x=﹣1上移动，过点P作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=1的切线，相切于点Q，则切线长|PQ|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎10．已知函数，若关于x的方程恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、 填空题：‎ ‎11．在某市举办的安全教育知识竞赛中，抽取1800名学生的成绩（单位：分），其频率分布直方图如图所示，则成绩落在[50，60）中的学生人数为　　．‎ ‎12．在上随机的取一个数x，则事件“满足不等式”发生的概率为　　．‎ ‎13．实数x、y满足约束条件的取值范围为　　．‎ ‎14．德国数学家莱布尼兹发现了右面的单位分数三角形，单位分数是分子为1，分母为正整数的分数称为莱布尼兹三角形：根据前6行的规律，写出第7行的第3个数是　　．‎ ‎15．以抛物线y2=8x的焦点为圆心，以双曲线的虚半轴长b为半径的圆与该双曲线的渐近线相切，则当取得最小值时，双曲线的离心率为　　．‎ 三、 解答题：‎ ‎16．（12分）已知f（x）=，其中．‎ ‎（I）求f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f（A）=﹣1，a=，且向量垂直，求边长b和c的值．‎ ‎17．（12分）一厂家生产A、B、C三类空气净化器，每类净化器均有经典版和至尊版两种型号，某月的产量如表（单位：台）：‎ 空气净化器A 空气净化器B 空气净化器C 经典版 ‎100‎ ‎150‎ ‎400‎ 至尊版 ‎300[Z#X#X#K]‎ ‎450‎ ‎600‎ ‎（I）在C类空气净化器中，用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1台经典版空气净化器的概率；‎ ‎（Ⅱ）用随机抽样的方法从B类空气净化器中抽取8台，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8台空气净化器的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AB=1，，E为PD中点，PA=1．‎ ‎（I）求证：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）在棱PC上是否存在点M，使得直线PC⊥平面BMD？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．[]‎ ‎19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2an•等差数列{bn}的前n项和为Tn，且T2=S2=b3•‎ ‎（I）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列{cn}的前2n项和R2n．‎ ‎20．（13分）已知函数．‎ ‎（I）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在x∈[0，2]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，求m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个零点，求证：x1+x2＜0．‎ ‎21．（14分）如图，圆O（O为坐标原点）与离心率为的椭圆T： =1（a＞b＞0）相交于点M（0，1）． ‎ ‎（I）求椭圆T与圆O的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．‎ ‎①P为椭圆上任一点（异于点M），记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求d12+d22的最大值；‎ ‎②若3，求l1与l2的方程．‎ ‎　‎ 高考数学模拟试卷（文科）参考答案 ‎　‎ 一、选择题：1．C2．A．3．D．4．C．5．B．6．C．7．A8．B．9．B．10．A．‎ 二、填空题：11．180．12．．13．[]．14．．15．．‎ ‎　‎ 三、解答题：16．（12分）‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）；[]‎ ‎∴f（x）==2cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=2cos（2x+）+1，‎ 令﹣π+2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z，‎ 得﹣+kπ≤x≤﹣+kπ，k∈Z，‎ 当k=0时，﹣≤x≤﹣，‎ 当k=1时，≤x≤，‎ ‎∴f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间是[﹣，﹣]和[，]；‎ ‎（Ⅱ）△ABC中，f（A）=﹣1，‎ ‎∴2cos（2A+）+1=﹣1，‎ ‎∴cos（2A+）=﹣1，‎ ‎∴2A+=π，‎ 解得A=；‎ 又a=，‎ 向量垂直，‎ ‎∴•=2sinB﹣3sinC=0，‎ 由正弦定理得：2b﹣3c=0，‎ ‎∴b=c；‎ 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 即=c2+c2﹣2×c2×，‎ 解得c=1；‎ ‎∴b=．‎ ‎17．（12分）‎ 解：（Ⅰ）×5=2，×5=3，‎ 故5台中2台经典版，3台至尊版，‎ 故满足条件的概率是：p==0.7；‎ ‎（Ⅱ）设9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2的平均数是，‎ 则=9，‎ 则该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的共6个，‎ 满足条件的概率是p==．‎ ‎18．（12分）‎ 解：（I）证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接EO，‎ ‎∵ABCD为菱形，可得：O为BD中点，‎ 又∵E为PD中点，‎ ‎∴EO∥PB，‎ ‎∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面AEC；‎ 解：（Ⅱ）在棱PC上存在点M，当CM=时，使得直线PC⊥‎ 平面BMD，理由如下：‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PA，‎ 又∵ABCD为菱形，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎∴由PA∩AC=A，可得：BD⊥平面PAC，‎ ‎∴由PC⊂平面PAC，可得：BD⊥PC，‎ ‎∴若在棱PC上存在点M，使得直线PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．‎ ‎∵若PC⊥BM，由于PC⊥BO，‎ ‎∴PC⊥平面BOM，可得PC⊥OM，‎ ‎∴△COM∽△PAC，可得：，可得：，解得：CM=，‎ ‎∴在棱PC上存在点M，当CM=时，使得直线PC⊥平面BMD．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）‎ 解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，‎ 解得a1=2，‎ 当n=2时，a1+a2=2a2﹣2，‎ 求得a2=4，‎ 设等差数列{bn}的公差为d，前n项和为Tn，‎ T2=S2=b3，可得b1+b1+d=a1+a2=b1+2d=6，‎ 解得b1=d=2，‎ 则bn=2n；‎ ‎（Ⅱ）Tn=（2+2n）n=n（n+1），‎ 令=（﹣1）n•‎ ‎=（﹣1）n•（1++），‎ 则数列{cn}的前2n项和 R2n=﹣（1+1+）+（1++）﹣（1++）+…+（﹣1﹣﹣）+（1++）‎ ‎=﹣1+=﹣．‎ ‎20．（13分）‎ ‎（Ⅰ）解：f′（x）=ex﹣1，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，‎ 故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；‎ ‎（Ⅱ）若存在x∈[0，2]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，‎ 即存在x∈[0，2]，使得（ex﹣﹣2x）min＜m2﹣2m﹣3成立，‎ 令h（x）=ex﹣﹣2x，x∈[0，2]，‎ 则h′（x）=ex+﹣2≥2﹣2=0，‎ 故h（x）在[0，2]递增，h（x）min=h（0）=0，‎ 故只需m2﹣2m﹣3＞0，解得：m＞3或m＜﹣1；‎ ‎（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知，x=0是函数f（x）的极小值点，‎ 也是最小值点，即最小值为f（0）=2m+4，‎ 显然只有2m+4＜0时，函数f（x）有两个零点，‎ 设x1＜x2，易知，x1＜0，x2＞0，‎ ‎∵f（x1）﹣f（﹣x2）=f（x2）﹣f（﹣x2）=ex2﹣e﹣x2﹣2x2，‎ 令h（x）=ex﹣e﹣x﹣2x（x≥0），‎ 由（Ⅱ）可知h（x）在[0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴h（x）≥h（0）=0，又∵x1＜0＜x2，‎ ‎∴h（x2）＞0，‎ 即ex2﹣e﹣x2﹣2x2＞0，‎ ‎∴f（x1）＞f（﹣x2），‎ 又∵x1＜0，﹣x2＜0，‎ 且由（Ⅰ）知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，‎ ‎∴x1＜﹣x2，[]‎ ‎∴x1+x2＜0．‎ ‎21．（14分）‎ 解：（Ⅰ）∵圆O（O为坐标原点）与离心率为的椭圆T： =1（a＞b＞0）相交于点M（0，1）． ‎ ‎∴由题意知：离心率为e==，b=1，a2=b2+c2，‎ 解得：a=2，b=1，c=，‎ ‎∴椭圆C的方程为=1，圆O的方程x2+y2=1．‎ ‎（Ⅱ）①设P（x0，y0），由l1⊥l2，则d12+d22=丨PM丨2=x02+（y0﹣1）2，‎ 由=1，得d12+d22=+（y0﹣1）2=﹣3（）2+，‎ ‎∵﹣1≤y0≤1，∴当时，取得最大值为，此时点P（±，）．‎ ‎②设l1的方程为y=kx+1，‎ 由，得（k2+1）x2+2kx=0，∵xA≠0，∴，‎ 代入y=kx+1，得，∴A（﹣，），‎ 由，得（4k2+1）x2+8kx=0，由xC≠0，∴，‎ 代入y=kx+1，得，∴C（﹣），‎ 把A，C中的k置换成﹣，得B（），D（），‎ ‎∴=（﹣），=（），‎ ‎=（，），=（，），‎ 由，‎ 得3[（﹣•+（﹣）（）]=4[+（﹣）（﹣）]，‎ 整理，得：，即3k4﹣4k2﹣4=0，解得k=，‎ ‎∴l1的方程为y=，l2的方程为y=﹣，‎ 或l1的方程为y=﹣，l2的方程为y=．‎ ‎　‎