数学卷·2018届陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二上学期期末数学试卷（文科）（b卷）（解析版） 13页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（文科）（B卷）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．语句甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎2．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎4．设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＜d，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．＞‎ ‎5．直线3x+2y+5=0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是（　　）‎ A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（0，﹣3） D．（﹣3，2）‎ ‎6．抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7．已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．椭圆=1过点（﹣2，），则其焦距为（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎9．直线l过点且与双曲线x2﹣y2=2仅有一个公共点，这样的直线有（　　）‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎10．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请把正确答案填在题中横线上）‎ ‎11．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线方程为　　．‎ ‎12．已知数列{an}满足a1=2，an+1﹣an+1=0（n∈N+），则此数列的通项an=　　．‎ ‎13．已知函数y=ax2+b在点（1，3）处的切线斜率为2，则=　　．‎ ‎14．已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=x2•f′（2）+3x，则f′（2）=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．已知双曲线M的标准方程﹣=1．求双曲线M的实轴长、虚轴长、焦距、离心率．‎ ‎17．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎18．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于　　．‎ ‎19．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（文科）（B卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．语句甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：若P点的轨迹是椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立．‎ 若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．‎ ‎∴语句甲是语句乙的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．‎ ‎【解答】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosC，a与b的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．‎ ‎【解答】解：∵C=，a=2，b=1，‎ ‎∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3，‎ 又c为三角形的边长，‎ 则c=．‎ 故选B ‎　‎ ‎4．设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＜d，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．＞‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】利用不等式的基本性质即可选出答案．‎ ‎【解答】解：∵c＜d，∴﹣c＞﹣d，又a＞b，∴a﹣c＞b﹣d．‎ 故答案为 B．‎ ‎　‎ ‎5．直线3x+2y+5=0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是（　　）‎ A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（0，﹣3） D．（﹣3，2）‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】先把（0，0）代入3x+2y+5，然后检验选项中的坐标代入与该值正负一样的即为符合条件的点 ‎【解答】解：把（0，0）代入3x+2y+5=5＞0‎ 把（﹣3，4）代入3x+2y+5=3×（﹣3）+2×4+5=4＞0‎ ‎∴（﹣3，4）与（0，0）在同一区域 故选A ‎　‎ ‎6．抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得抛物线焦点坐标及准线方程，则焦点到准线的距离d=﹣（）=．‎ ‎【解答】解：抛物线的标准方程：x2=y，‎ 则抛物线x2=y的焦点F（0，），准线方程y=﹣，‎ 则焦点到准线的距离d=﹣（）=，‎ 抛物线x2=y的焦点到准线的距离，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】导数的加法与减法法则．‎ ‎【分析】求出原函数的导函数，由f'（﹣1）=4列式可求a的值．‎ ‎【解答】解：由f（x）=ax3+3x2+2，得f′（x）=3ax2+6x．‎ 所以f′（﹣1）=3a﹣6=4，解得．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．椭圆=1过点（﹣2，），则其焦距为（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数m，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的a，b，c之间的关系即可求出焦距2c．‎ ‎【解答】解：由题意知，把点（﹣2，）代入椭圆的方程可求得 b2=4，‎ 故椭圆的方程为 ，‎ ‎∴a=4，b=2，‎ c===2，则其焦距为4．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．直线l过点且与双曲线x2﹣y2=2仅有一个公共点，这样的直线有（　　）‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】讨论直线的斜率，当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件，当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足满足条件．‎ ‎【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，‎ 方程为x=，满足条件；‎ 当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，‎ 也能满足与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，‎ 综上，满足条件的直线共有3条．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据三角形的周长求出a的值，再根据勾股定理求出c的值，最后根据离心率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：设椭圆方程为，‎ ‎∵△PF2Q的周长为36，‎ ‎∴PF2+QF2+PQ=36=4a，‎ 解得a=9，‎ ‎∵过F1的最短弦PQ的长为10‎ ‎∴PF2=QF2=（36﹣10）=13，‎ 在直角三角形QF1F2中，根据勾股定理得，‎ ‎=，‎ ‎∴c=6，‎ ‎∴‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请把正确答案填在题中横线上）‎ ‎11．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线方程为　y2=﹣8x　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】利用抛物线的性质可知该抛物线的形式为：y2=﹣2px（p＞0），依题意可求p的值，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：依题意，设抛物线的方程为：y2=﹣2px（p＞0），‎ ‎∵准线方程为x=2，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴p=4，‎ ‎∴抛物线的方程是y2=﹣8x．‎ 故答案为：y2=﹣8x．‎ ‎　‎ ‎12．已知数列{an}满足a1=2，an+1﹣an+1=0（n∈N+），则此数列的通项an=　3﹣n　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an+1﹣an+1=0（n∈N+），即an+1﹣an=﹣1，‎ ‎∴数列{an}是等差数列，公差为﹣1．‎ ‎∴an=2﹣（n﹣1）=3﹣n．‎ 故答案为：3﹣n．‎ ‎　‎ ‎13．已知函数y=ax2+b在点（1，3）处的切线斜率为2，则=　2　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，可得a的方程，再由切点，可得a+b=3，解得b，进而得到所求值．‎ ‎【解答】解：函数y=ax2+b的导数为y′=2ax，‎ 则在点（1，3）处的切线斜率为k=2a=2，‎ 即为a=1，‎ 又a+b=3，解得b=2，‎ 则=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】变形为x与4y的乘积，利用 基本不等式求最大值 ‎【解答】解：，当且仅当x=4y=时取等号．‎ 故应填．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=x2•f′（2）+3x，则f′（2）=　﹣1　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求出函数的导数，然后求解函数值即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x2•f′（2）+3x，‎ 则f′（x）=2x•f′（2）+3，‎ f′（2）=4•f′（2）+3，‎ 解得f′（2）=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．已知双曲线M的标准方程﹣=1．求双曲线M的实轴长、虚轴长、焦距、离心率．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的几何量，即可求双曲线M的实轴长、虚轴长、焦距、离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，2a=4，2b=2，2c=2，e=．‎ ‎　‎ ‎17．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）设{an}的公比为q．由a1=2，a4=16，解得q=2，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由q=2，a1=2，能求出数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}的公比为q．‎ ‎∵a1=2，a4=16，‎ ‎∴16=2q3，解得q=2，‎ 所以数列{an}的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得q=2，a1=2，‎ 所以数列{an}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎18．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于　或　．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求 ‎【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°‎ 由正弦定理可得 b＜c∴C＞B=30°‎ ‎∴C=60°，或C=120°‎ 当C=60°时，A=90°，‎ 当C=120°时，A=30°，‎ 故答案为：或 ‎　‎ ‎19．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．‎ ‎（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b 由题意；，解得，‎ ‎∴所求的解析式为 ‎（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）‎ 令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，‎ ‎∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0‎ 因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，‎ 当x=2时，f（x）有极小值，‎ ‎∴函数的图象大致如图．‎ 由图可知：．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，‎ ‎∴‎ ‎∴b=‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，‎ ‎∴|MN|==‎ ‎∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为 ‎∴△AMN的面积S=‎ ‎∵△AMN的面积为，‎ ‎∴‎ ‎∴k=±1．‎ ‎　‎