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  • 2021-07-01 发布

数学卷·2018届广东省潮州市高二上学期期末数学试卷(理科)(解析版)

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全*品*高*考*网, 用后离不了!广东省潮州市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.命题“∃x0∈R,x03﹣x02+1>0”的否定是(  )‎ A.∃x0∈R,x03﹣x02+1<0 B.∀x∈R,x3﹣x2+1≤0‎ C.∃x0∈R,x03﹣x02+1≤0 D.∀x∈R,x3﹣x2+1>0‎ ‎2.“双曲线方程为x2﹣y2=3”是“双曲线离心率e=”的(  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4+a5=20,那么a3=(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎4.在△ABC中,已知a=,b=,A=30°,则c等于(  )‎ A. B. C.或 D.以上都不对 ‎5.如图,在四面体ABCD中,设G是CD的中点,则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是(  )‎ A.b=10,A=45°,C=70° B.a=60,c=48,B=60°‎ C.a=7,b=5,A=80° D.a=14,b=16,A=45°‎ ‎7.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,AD的中点,则CD1与EF所成角为(  )‎ A.0° B.45° C.60° D.90°‎ ‎8.当x>0,y>0, +=1时,x+y的最小值为(  )‎ A.10 B.12 C.14 D.16‎ ‎9.在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数)且前n项和Sn=3n+k,则k等于(  )‎ A.﹣1 B.1 C.0 D.2‎ ‎10.若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A、B两点,且线段AB中点的横坐标为2,则弦AB的长为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎11.若x、y满足约束条件,且目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,2) B.(﹣4,2) C.(﹣4,0) D.(﹣2,4)‎ ‎12.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为(  )‎ A.(0,) B.() C.(0,) D.(,1)‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13.(4分)已知{an}是公差为d的等差数列,a1=1,如果a2•a3<a5,那么d的取值范围是  .‎ ‎14.(4分)抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5,则点M的横坐标为  .‎ ‎15.(4分)若实数a,b满足2a+2b=1,则a+b的最大值是  .‎ ‎16.(4分)已知F1,F2为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的交点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q,且△F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(10分)在等差数列{an}中,a2=﹣1,2a1+a3=﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设{an}的前n项和为Sn,若Sk=﹣99,求k.‎ ‎18.(12分)已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,‎ ‎(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎19.(12分)在△ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C对应的三边,已知b2+c2=a2+bc ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若2sin2=cosC,判断△ABC的形状.‎ ‎20.(12分)一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区.为安全起见,每两辆汽车的前后间距不得小于()2km,问这批物资全部到达灾区,最少要多少小时?‎ ‎21.(12分)如图,正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直,AD⊥PD,MA∥PD,MA=AD=PD=1.‎ ‎(1)求证:MB∥平面PDC;‎ ‎(2)求二面角M﹣PC﹣D的余弦值.‎ ‎22.(12分)已知椭圆的左焦点为F,离心率为,过点M(0,1)且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为.‎ ‎(I)求椭圆G的方程;‎ ‎(II)设动点P在椭圆G上(P不是顶点),若直线FP的斜率大于,求直线OP(O是坐标原点)的斜率的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年广东省潮州市高二(上)期末数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.命题“∃x0∈R,x03﹣x02+1>0”的否定是(  )‎ A.∃x0∈R,x03﹣x02+1<0 B.∀x∈R,x3﹣x2+1≤0‎ C.∃x0∈R,x03﹣x02+1≤0 D.∀x∈R,x3﹣x2+1>0‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可.‎ ‎【解答】解:命题是特称命题,则命题的否定是全称命题,‎ 即∀x∈R,x3﹣x2+1≤0,‎ 故选:B ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.比较基础.‎ ‎ ‎ ‎2.“双曲线方程为x2﹣y2=3”是“双曲线离心率e=”的(  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据双曲线的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【解答】解:双曲线的标准方程为﹣=1,则a=b=,则双曲线为等轴双曲线,则双曲线离心率e=,‎ 即充分性成立,‎ 反之若双曲线离心率e=,则双曲线为等轴双曲线,但方程不一定为x2﹣y2=3,即必要性不成立,‎ 即“双曲线方程为x2﹣y2=3”是“双曲线离心率e=”的充分不必要条件,‎ 故选:B ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合双曲线的性质是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎3.在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4+a5=20,那么a3=(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】法一:设首项为a1,公差为d,由已知有5a1+10d=20,所以a3=4.‎ 法二:因为a1+a5=a2+a4=2a3,所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20,故a3=4.‎ ‎【解答】解:法一:‎ ‎∵{an}为等差数列,‎ 设首项为a1,公差为d,‎ 由已知有5a1+10d=20,‎ ‎∴a1+2d=4,‎ 即a3=4.‎ 故选A.‎ 法二 在等差数列中,‎ ‎∵a1+a5=a2+a4=2a3,‎ ‎∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20,‎ ‎∴a3=4.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查数列的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.‎ ‎ ‎ ‎4.在△ABC中,已知a=,b=,A=30°,则c等于(  )‎ A. B. C.或 D.以上都不对 ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】由a,b及cosA的值,利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程,求出方程的解即可得到c的值.‎ ‎【解答】解:由,利用余弦定理得:‎ ‎=+c2﹣2c×,即c2﹣3c+10=0,‎ 因式分解得:(c﹣2)(c﹣)=0,解得:c=2或.‎ 故选C ‎【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.如图,在四面体ABCD中,设G是CD的中点,则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】空间向量的加减法.‎ ‎【分析】先求出则(+)=,根据向量的加法运算法则计算即可.‎ ‎【解答】解:∵G是CD的中点,‎ ‎∴=+=,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了数形结合思想,考查向量的运算性质,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是(  )‎ A.b=10,A=45°,C=70° B.a=60,c=48,B=60°‎ C.a=7,b=5,A=80° D.a=14,b=16,A=45°‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】A、由A和C的度数,利用三角形内角和定理求出B的度数,再由b的值,利用正弦定理求出a与c,得到此时三角形只有一解,不合题意;‎ B、由a,c及cosB的值,利用余弦定理列出关系式,得到b2小于0,无解,此时三角形无解,不合题意;‎ C、由a,b及sinA的值,利用正弦定理求出sinB的值,由a大于b得到A大于B,可得出此时B只有一解,不合题意;‎ D、由a,b及sinA的值,利用正弦定理求出sinB的值,由a小于b得到A小于B,可得出此时B有两解,符合题意.‎ ‎【解答】解:A、∵A=45°,C=70°,‎ ‎∴B=65°,又b=10,‎ ‎∴由正弦定理==得:a==,c=,‎ 此时三角形只有一解,不合题意;‎ B、∵a=60,c=48,B=60°,‎ ‎∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=3600+2304﹣2880=3024>0,‎ ‎∴此时三角形有一解,不合题意;‎ C、∵a=7,b=5,A=80°,‎ ‎∴由正弦定理=得:sinB=,‎ 又b<a,∴B<A=80°,‎ ‎∴B只有一解,不合题意;‎ D、∵a=14,b=16,A=45°,‎ ‎∴由正弦定理=得:sinB==>,‎ ‎∵a<b,∴45°=A<B,‎ ‎∴B有两解,符合题意,‎ 故选D ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的边角关系,以及三角形的内角和定理,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,AD的中点,则CD1与EF所成角为(  )‎ A.0° B.45° C.60° D.90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】由EF∥A1D,A1B∥D1C,得∠DA1B是CD1与EF所成角,由此能求出CD1与EF所成角.‎ ‎【解答】解:连结A1D、BD、A1B,‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,AD的中点,∴EF∥A1D,‎ ‎∵A1B∥D1C,∴∠DA1B是CD1与EF所成角,‎ ‎∵A1D=A1B=BD,‎ ‎∴∠DA1B=60°.‎ ‎∴CD1与EF所成角为60°.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.‎ ‎ ‎ ‎8.当x>0,y>0, +=1时,x+y的最小值为(  )‎ A.10 B.12 C.14 D.16‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵x>0,y>0, +=1,‎ ‎∴x+y=(x+y)=10+‎ ‎=16,当且仅当y=3x=12时取等号.‎ ‎∴x+y的最小值为16.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数)且前n项和Sn=3n+k,则k等于(  )‎ A.﹣1 B.1 C.0 D.2‎ ‎【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】由递推式可知给出的数列是等比数列,写出等比数列的前n项和公式后,结合给出的数列的前n项和即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由an+1=can,得,所以数列{an}是等比数列,‎ 因为当公比不等于1时等比数列的前n项和Sn=,‎ 而Sn=3n+k,由此可知k=﹣1.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了等比关系的确定,考查了等比数列前n项和公式中含qn项的系数与常数之间的关系,关键是把我其中的规律,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A、B两点,且线段AB中点的横坐标为2,则弦AB的长为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】由题意知,求出抛物线的参数p,由于直线过焦点,先利用中点的坐标公式求出x1+x2,利用弦长公式x1+x2+p求出AB的长.‎ ‎【解答】解:因为抛物线为y2=4x,‎ 所以p=2‎ 设A、B两点横坐标分别为x1,x2,‎ 因为线段AB中点的横坐标为2,‎ 则,即x1+x2=4,‎ 故|AB|=x1+x2+p=4+2=6.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题是直线被圆锥曲线所截,求弦长问题,一般可以由公式:|AB|═求得;线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系,从而简化解题过程.但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用.‎ ‎ ‎ ‎11.若x、y满足约束条件,且目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,2) B.(﹣4,2) C.(﹣4,0) D.(﹣2,4)‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,判断目标函数的斜率关系,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:作出可行域如图,则直线x+y=1,x﹣y=﹣1,2x﹣y=2的交点分别为A(3,4),B(0,1),C(1,0),‎ 若目标函数z=ax+2y仅在点C(1,0)处取得最小值,‎ 若a=0,则目标函数为z=2y,此时y=,满足条件.‎ 若a≠0,则目标函数为y=﹣x+,‎ 若a>0,则斜率k=﹣<0,‎ 要使目标函数z=ax+2y仅在点C(1,0)处取得最小值,‎ 则﹣>﹣1,即a<2,此时0<a<2,‎ 若a<0,则斜率k=﹣>0,‎ 要使目标函数z=ax+2y仅在点C(1,0)处取得最小值,‎ 则﹣<2,即a>﹣4,此时﹣4<a<0,‎ 综上﹣4<a<2,‎ 即a的取值范围(﹣4,2).‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义是解决本题的关键.注意使用数形结合.‎ ‎ ‎ ‎12.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为(  )‎ A.(0,) B.() C.(0,) D.(,1)‎ ‎【考点】正弦定理;椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由“”的结构特征,联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得:两者结合起来,可得到,再由焦点半径公式,代入可得到:a(a+ex0)=c(a﹣ex0)解出x0,由椭圆的范围,建立关于离心率的不等式求解.要注意椭圆离心率的范围.‎ ‎【解答】解:在△PF1F2中,由正弦定理得:‎ 则由已知得:,‎ 即:aPF1=cPF2‎ 设点P(x0,y0)由焦点半径公式,‎ 得:PF1=a+ex0,PF2=a﹣ex0‎ 则a(a+ex0)=c(a﹣ex0)‎ 解得:x0==‎ 由椭圆的几何性质知:x0>﹣a则>﹣a,‎ 整理得e2+2e﹣1>0,解得:e<﹣﹣1或e>﹣1,又e∈(0,1),‎ 故椭圆的离心率:e∈(﹣1,1),‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的定义,性质及焦点三角形的应用,特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点,多数是用a,b,c转化,用椭圆的范围来求解离心率的范围.‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13.已知{an}是公差为d的等差数列,a1=1,如果a2•a3<a5,那么d的取值范围是  .‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式,结合a2•a3<a5,得到d的关系式,求出d的范围即可.‎ ‎【解答】解:{an}是公差为d的等差数列,a1=1,∵a2•a3<a5,‎ ‎∴(1+d)(1+2d)<1+4d,‎ 即2d2﹣d<0,解得d.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎14.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5,则点M的横坐标为 4 .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】求出抛物线的准线方程,利用抛物线的定义,求解即可.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1,‎ ‎∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5,‎ ‎∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离,‎ ‎∴可得所求点的横坐标为4.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离,要求该点的横坐标,着重考查了抛物线的标准方程与简单性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎15.若实数a,b满足2a+2b=1,则a+b的最大值是 ﹣2 .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】由2a+2b=1,得=,从而可求a+b的最大值,注意等号成立的条件.‎ ‎【解答】解:∵2a+2b=1,‎ ‎∴=,即,‎ ‎∴a+b≤﹣2,当且仅当,即a=b=﹣1时取等号,‎ ‎∴a=b=﹣1时,a+b取最大值﹣2.‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎【点评】该题考查基本不等式在求函数最值中的运用,属基础题,熟记基本不等式的使用条件是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎16.已知F1,F2为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的交点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q,且△F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为 y=±x .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到a,b的关系.‎ ‎【解答】解:∵在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2|PF2|.‎ 由双曲线定义知|PF1|﹣|PF2|=2a,∴|PF2|=2a,‎ 由已知易得|F1F2|=|PF2|,∴2c=2a,∴c2=3a2=a2+b2,‎ ‎∴2a2=b2,∵a>0,b>0,∴ =,故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.‎ 故答案为y=±x.‎ ‎【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、等边三角形的性质等是解题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(10分)(2016秋•潮州期末)在等差数列{an}中,a2=﹣1,2a1+a3=﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设{an}的前n项和为Sn,若Sk=﹣99,求k.‎ ‎【考点】数列的求和;等差数列的性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,依题意,得到关于首项与公差的方程组,解之即可求得数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)利用等差数列的求和公式,易得Sn=﹣n2+2n,由Sk=﹣k2+2k=﹣99即可求得k的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,依题意,得,…4‎ 解得a1=1,d=﹣2…6‎ 所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n﹣1)d=﹣2n+3…8‎ ‎(Ⅱ)Sn===﹣n2+2n…10‎ 令Sk=﹣k2+2k=﹣99,即k2﹣2k﹣99=0…12‎ 解得k=11,或k=﹣9(舍去)…13‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用,考查方程思想与运算求解能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2016春•新余期末)已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,‎ ‎(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】(1)若命题p为真命题,根据椭圆的定义和方程建立不等式关系,即可求实数m的取值范围;‎ ‎(2)根据复合命题的关系得到p,q为一个真命题,一个假命题,然后求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵方程表示焦点在y轴上的椭圆,‎ ‎∴,即,‎ 即﹣1<m<1,‎ ‎∴若命题p为真命题,求实数m的取值范围是(﹣1,1);‎ ‎(2)若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,‎ 则p,q为一个真命题,一个假命题,‎ 若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,‎ 则判别式△=4m2﹣4(2m+3)<0,‎ 即m2﹣2m﹣3<0,得﹣1<m<3.‎ 若p真q假,则,此时无解,‎ 柔p假q真,则,得1≤m<3,‎ 综上,实数m的取值范围是[1,3).‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及应用,求出命题的等价条件是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016秋•潮州期末)在△ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C对应的三边,已知b2+c2=a2+bc ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若2sin2=cosC,判断△ABC的形状.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)由已知及余弦定理可求cosA=,结合范围A∈(0,π),可求A的值.‎ ‎(2)利用三角函数恒等变换的应用化简2sin2=cosC,可得sin(B+)=1,结合范围B∈(0,π),可求 ‎∴B=C=,即可判断三角形的形状.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 解:(1)在△ABC中,由余弦定理得b2+c2﹣a2=2bccosA,又b2+c2=a2+bc,‎ ‎∴cosA=,‎ ‎∵A∈(0,π),‎ ‎∴A=. …‎ ‎(2)∵2sin2=cosC,‎ ‎∴cosB+cosC=1,…(7分)‎ ‎∴cosB+cos(﹣B)=1,可得:cosB+coscosB+sinsinB=1,…(9分)‎ ‎∴sinB+cosB=1,可得:sin(B+)=1,‎ ‎∵B∈(0,π),‎ ‎∴B=,C=,…(11分)‎ ‎∴△ABC是等边三角形.…(12分)‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的形状,考查了转化思想,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2016秋•潮州期末)一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区.为安全起见,每两辆汽车的前后间距不得小于()2km,问这批物资全部到达灾区,最少要多少小时?‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用.‎ ‎【分析】由题意可知,t相当于:最后一辆车行驶了25个km+400km所用的时间,利用基本不等式,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设全部物资到达灾区所需时间为t小时,‎ 由题意可知,t相当于:最后一辆车行驶了25个km+400km所用的时间,‎ 因此,t=+≥2=10.‎ 当且仅当=,即x=80时取“=”.‎ 故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少要10小时.‎ ‎【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用,考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2016秋•潮州期末)如图,正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直,AD⊥PD,MA∥PD,MA=AD=PD=1.‎ ‎(1)求证:MB∥平面PDC;‎ ‎(2)求二面角M﹣PC﹣D的余弦值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(1)推导出AB∥CD,MA∥PD,从而平面ABM∥平面PDC,由此能证明MB∥平面PDC.‎ ‎(2)推导出CD⊥PD,AD⊥PD,AD⊥DC,以DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角M﹣PC﹣D的余弦值.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,‎ 又∵MA∥PD,…(1分)‎ AB∩MA=A,CD∩PD=D,‎ AB⊂平面ABM,MA⊂平面ABM,CD⊂平面PDC,PD⊂平面PDC,‎ ‎∴平面ABM∥平面PDC,(3分)‎ ‎∵MB⊂平面ABM,‎ ‎∴MB∥平面PDC.(4分)‎ 解:(2)∵正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直,‎ 平面ABCD∩平面AMPD=AD,在正方形ABCD中,CD⊥AD,‎ ‎∴CD⊥平面AMPD,∴CD⊥PD.(6分)‎ 又AD⊥PD,AD⊥DC,‎ 以DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴建立空间直角坐标系,(7分)‎ 则M(1,0,1),P(0,0,2),C(0,1,0),‎ 是平面PCD的一个法向量 设平面MPC的法向量为=(x,y,z),‎ 则,(9分)‎ 令z=1,得=(1,2,1),(10分)‎ 则cos<>==,(11分)‎ 设二面角M﹣PC﹣D为θ,由图可知θ为锐角,‎ 所以二面角M﹣PC﹣D的余弦值为.(12分)‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2016秋•潮州期末)已知椭圆的左焦点为F,离心率为,过点M(0,1)且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为.‎ ‎(I)求椭圆G的方程;‎ ‎(II)设动点P在椭圆G上(P不是顶点),若直线FP的斜率大于,求直线OP(O是坐标原点)的斜率的取值范围.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(I)由已知点在椭圆G上,离心率为,列出方程组求出a,b,能求出椭圆G的方程.‎ ‎(II)点F的坐标为(﹣1,0),设点P的坐标为(x0,y0),直线FP的方程为y=k(x+1),从而得.设直线OP的方程为y=mx.得.由此能求出直线OP(O是坐标原点)的斜率的取值范围.‎ ‎【解答】解:(I)∵椭圆的左焦点为F,离心率为,‎ 过点M(0,1)且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为.‎ ‎∴点在椭圆G上,又离心率为,‎ ‎∴,解得 ‎∴椭圆G的方程为.‎ ‎(II)由(I)可知,椭圆G的方程为.∴点F的坐标为(﹣1,0).‎ 设点P的坐标为(x0,y0)(x0≠﹣1,x0≠0),直线FP的斜率为k,‎ 则直线FP的方程为y=k(x+1),‎ 由方程组消去y0,并整理得.‎ 又由已知,得,解得或﹣1<x0<0.‎ 设直线OP的斜率为m,则直线OP的方程为y=mx.‎ 由方程组消去y0,并整理得.‎ 由﹣1<x0<0,得m2>,‎ ‎∵x0<0,y0>0,∴m<0,∴m∈(﹣∞,﹣),‎ 由﹣<x0<﹣1,得,‎ ‎∵x0<0,y0>0,得m<0,∴﹣<m<﹣.‎ ‎∴直线OP(O是坐标原点)的斜率的取值范围是(﹣∞,﹣)∪(﹣,﹣).‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线的斜率的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆与直线的位置关系的合理运用.‎ ‎ ‎