高中数学必修5能力强化提升1-1习题课 5页

习题课 正弦定理与余弦定理 双基达标　(限时20分钟) ‎1．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 (　　)．‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析　∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，‎ ‎∴sin Acos B－cos Asin B＝0，‎ 即sin(A－B)＝0，∴A＝B.‎ 答案　C ‎2．在△ABC中，若a2＝bc，则角A是 (　　)．‎ A．锐角 B．钝角 C．直角 D．60°‎ 解析　cos A＝＝＝＞0，∴0°＜A＜90°.‎ 答案　A ‎3．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　设BC＝a，则BM＝MC＝.‎ 在△ABM中，‎ AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，‎ 即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB①‎ 在△ACM中，‎ AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC 即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB②‎ ‎①＋②得：72＋62＝42＋42＋a2，‎ ‎∴a＝.‎ 答案　B ‎4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为________．‎ 解析　∵a2＋c2－b2＝ac，‎ ‎∴cos B＝＝＝，∴B＝.‎ 答案　 ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．‎ 解析　由sin B＋cos B＝sin＝得 sin＝1，∴B＝.‎ 由正弦定理＝得 sin A＝＝＝，‎ ‎∴A＝或π.‎ ‎∵a＜b，∴A＜B，A＝.‎ 答案　 ‎6．在△ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A.‎ 解　由A、B、C成等差数列及A＋B＋C＝180°得B＝60°，A＋C＝120°.‎ 由2b2＝3ac及正弦定理得 ‎2sin2B＝3sin Asin C，‎ 故sin Asin C＝.‎ cos(A＋C)＝cos Acos C－sin Asin C＝cos Acos C－，‎ 即cos Acos C－＝－，‎ cos Acos C＝0，‎ cos A＝0或cos C＝0，‎ 所以A＝90°，或A＝30°.‎ ‎7．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为 (　　)．‎ A. B．8－4 C．1 D. 解析　由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.①‎ ‎∵a2＋b2－c2＝2abcos C，故方程①化为2ab(1＋cos C)＝4.‎ ‎∴ab＝.‎ 又∵C＝60°，∴ab＝.‎ 答案　A ‎8．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　在△ABC中，由正弦定理得sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，由sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，∴cos A＝≥，∴0＜A≤.‎ 答案　C ‎9．△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状是________．‎ 解析　∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，‎ ‎∴＝＝，∴sin＝sin＝sin，‎ 又∵A＋B＋C＝π，∴＋＋＝.‎ ‎∴＝＝，∴A＝B＝C＝.‎ 答案　等边三角形 ‎10．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若＋＝6cos C，则＋ 的值是________．‎ 解析　由＋＝6cos C，得b2＋a2＝6abcos C.‎ 化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将＋切化弦，‎ 得·＝· ‎＝·＝.‎ 根据正、余定理得＝ ‎＝＝＝4.‎ 答案　4‎ ‎11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若||＋||＝||，试判断△ABC的形状．‎ 解　(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，‎ 即1＋1＋2＝3，‎ ‎∴2＋2cos A＝3.‎ ‎∴cos A＝.∵0＜A＜π，∴A＝.‎ ‎(2)∵||＋||＝||，∴b＋c＝a，‎ ‎∴sin B＋sin C＝sin A，‎ ‎∴sin B＋sin＝×，‎ 即sin B＋cos B＝，‎ ‎∴sin＝.‎ ‎∵0＜B＜，∴＜B＋＜，‎ ‎∴B＋＝或，故B＝或.‎ 当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.‎ 故△ABC是直角三角形．‎ ‎12．(创新拓展)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos B＝.‎ ‎(1)求＋的值；‎ ‎(2)设·＝，求a＋c的值．‎ 解　(1)由cos B＝，‎ 得sin B＝ ＝.‎ 由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C.‎ 于是＋＝＋ ‎＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)由·＝得ca·cos B＝，‎ 由cos B＝，可得ca＝2，‎ 即b2＝2.‎ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，‎ 得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5，‎ ‎∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，‎ ‎∴a＋c＝3.‎