【数学】2020届一轮复习（理）通用版2-8函数模型及函数的综合应用 10页

‎2.8　函数模型及函数的综合应用 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 函数模型及函数的综合应用 ‎①了解指数函数、对数函数、幂函数增长特征,体会直线增长、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义;‎ ‎②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 ‎2016四川,5,5分 函数的实际应用问题 对数运算 ‎★☆☆‎ ‎2014湖南,8,5分 函数的实际应用问题 ‎2017山东,15,5分 函数的综合应用 函数单调性 ‎2017浙江,17,5分 函数的综合应用 函数的单调性及最值 分析解读　　为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:‎ ‎1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.‎ ‎2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式(组)求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　函数模型及函数的综合应用 ‎1.(2017福建质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是(　　)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,12)定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时, f(x)=x,则下列四个命题:‎ ‎①f(2 018)=0;②函数f(x)的最小正周期为2;‎ ‎③当x∈[-2 018,2 018]时,方程f(x)=‎1‎‎2‎有2 018个根;‎ ‎④方程f(x)=log5|x|有5个根.‎ 其中真命题的个数为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018福建闽侯第六中学模拟,15)已知f(x)是R上的减函数,A(3,-1),B(0,1)是其图象上的两个点,则不等式|f(1+ln x)|<1的解集是　　　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎e‎,‎e‎2‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法　函数的实际应用题 ‎1.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·‎1‎‎2‎th,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降到32 ℃时,还需要　　　　分钟. ‎ 答案　10‎ ‎2.(2017江西金溪一中等期中联考,19)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康有一定的危害,为了给消费者带来放心蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4‎2a,Q=‎1‎‎4‎a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).‎ ‎(1)求f(50)的值;‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?‎ 解析　(1)甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,‎ ‎∴f(50)=80+4‎2×50‎+‎1‎‎4‎×150+120=277.5.‎ ‎(2)f(x)=80+4‎2x+‎1‎‎4‎(200-x)+120=-‎1‎‎4‎x+4‎2x+250,‎ 依题意,得x≥20,‎‎200-x≥20‎⇒20≤x≤180,‎ 故f(x)=-‎1‎‎4‎x+4‎2x+250(20≤x≤180).‎ 令t=x,则t∈[2‎5‎,6‎5‎],‎ 则y=-‎1‎‎4‎t2+4‎2‎t+250=-‎1‎‎4‎(t-8‎2‎)2+282,‎ 当t=8‎2‎,即x=128时, f(x)max=282.‎ 所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ 自主命题·省(区、市)卷题组 ‎1.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ‎(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案　B　‎ ‎2.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)‎ A.p+q‎2‎ B.‎(p+1)(q+1)-1‎‎2‎ C.pq D.‎(p+1)(q+1)‎-1‎ 答案　D　‎ ‎3.(2017山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为　　　　. ‎ ‎①f(x)=2-x　②f(x)=3-x　③f(x)=x3　④f(x)=x2+2‎ 答案　①④‎ ‎4.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=‎p,p≤q,‎q,p>q.‎ ‎(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;‎ ‎(2)(i)求F(x)的最小值m(a);‎ ‎(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).‎ 解析　(1)由于a≥3,故.当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,‎ 当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).‎ 所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].‎ ‎(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,‎ 则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,‎ 所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},‎ 即m(a)=‎‎0,3≤a≤2+‎2‎,‎‎-a‎2‎+4a-2,a>2+‎2‎.‎ ‎(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),‎ 当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.‎ 所以,M(a)=‎‎34-8a,3≤a<4,‎‎2,a≥4.‎ 教师专用题组 ‎1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案　D　‎ ‎2.(2014湖南,10,5分)已知函数f(x)=x2+ex-‎1‎‎2‎(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是(　　)‎ A.‎-∞,‎‎1‎e B.(-∞,e) C.‎-‎1‎e,‎e D.‎‎-e,‎‎1‎e 答案　B　‎ ‎3.(2014辽宁,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:‎ ‎①f(0)=f(1)=0;‎ ‎②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<‎1‎‎2‎|x-y|.‎ 若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|g(x)恒成立,则实数b的取值范围是　　　　　　　　. ‎ 答案　(2‎10‎,+∞)‎ ‎7.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=a+b‎2‎,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.‎ ‎(1)当f(x)=　　　　(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数; ‎ ‎(2)当f(x)=　　　　(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数‎2aba+b. ‎ ‎(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)‎ 答案　(1)x　(2)x ‎8.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).‎ ‎(1)设a=2,b=‎1‎‎2‎.‎ ‎①求方程f(x)=2的根;‎ ‎②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;‎ ‎(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.‎ 解析　(1)因为a=2,b=‎1‎‎2‎,所以f(x)=2x+2-x.‎ ‎①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,‎ 所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.‎ ‎②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.‎ 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,‎ 所以m≤‎(f(x)‎)‎‎2‎+4‎f(x)‎对于x∈R恒成立.‎ 而‎(f(x)‎)‎‎2‎+4‎f(x)‎=f(x)+‎4‎f(x)‎≥2f(x)·‎‎4‎f(x)‎=4,且‎(f(0)‎)‎‎2‎+4‎f(0)‎=4,‎ 所以m≤4,故实数m的最大值为4.‎ ‎(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.‎ 因为g'(x)=axln a+bxln b,又由01知ln a<0,ln b>0,‎ 所以g'(x)=0有唯一解x0=logba‎-‎lnalnb.‎ 令h(x)=g'(x),则h'(x)=(axln a+bxln b)'=ax(ln a)2+bx(ln b)2,‎ 从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.‎ 于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)g'(x0)=0.‎ 因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.‎ 下证x0=0.‎ 若x0<0,则x0aloga2‎-2=0,且函数g(x)在以x‎0‎‎2‎和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在x‎0‎‎2‎和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为00,同理可得,在x‎0‎‎2‎和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.‎ 因此,x0=0.‎ 于是-lnalnb=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.‎ ‎9.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=ax‎2‎‎+b(其中a,b为常数)模型.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.‎ ‎①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;‎ ‎②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.‎ 解析　(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax‎2‎‎+b,得a‎25+b‎=40,‎a‎400+b‎=2.5,‎解得a=1 000,‎b=0.‎ ‎(2)①由(1)知,y=‎1 000‎x‎2‎(5≤x≤20),则点P的坐标为t,‎‎1 000‎t‎2‎,‎ 设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B点,易知y'=-‎2 000‎x‎3‎,‎ 则l的方程为y-‎1 000‎t‎2‎=-‎2 000‎t‎3‎(x-t),由此得A‎3t‎2‎‎,0‎,B‎0,‎‎3 000‎t‎2‎.‎ 故f(t)=‎3t‎2‎‎2‎‎+‎‎3 000‎t‎2‎‎2‎=‎3‎‎2‎t‎2‎‎+‎‎4×1‎‎0‎‎6‎t‎4‎,t∈[5,20].‎ ‎②设g(t)=t2+‎4×1‎‎0‎‎6‎t‎4‎,‎ 则g'(t)=2t-‎16×1‎‎0‎‎6‎t‎5‎.‎ 令g'(t)=0,解得t=10‎2‎.‎ 当t∈(5,10‎2‎)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;‎ 当t∈(10‎2‎,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;‎ 从而,当t=10‎2‎时,函数g(t)有极小值,也是最小值,‎ 所以g(t)min=300,则f(t)min=15‎3‎.‎ 答:当t=10‎2‎时,公路l的长度最短,最短长度为15‎3‎千米.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.(2019届湖北武汉示范高中高三联考,5)如图,点P在边长为1的正方形边上运动,M是CD的中点,当点P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象的形状大致是(　　)‎ 答案　A　‎ ‎2.(2017山西名校联考,12)设函数f(x)=-4x+2x+1-1,g(x)=lg(ax2-4x+1),若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.(0,4] B.(-∞,4] C.(-4,0] D.[4,+∞)‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018河北石家庄一模,12)已知M是函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和,则M的值为(　　)‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ 答案　D　‎ ‎4.(2018河南郑州高中毕业班第二次质量预测,12)函数f(x)=‎|x|‎ex,方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+1-m=0有4个不相等的实根,则m的取值范围是(　　)‎ A.e‎2‎‎-ee‎2‎‎+e‎,1‎ B.‎e‎2‎‎-e+1‎e‎2‎‎+e‎,+∞‎ C.e‎2‎‎-e+1‎e‎2‎‎+e‎,1‎ D.‎e‎2‎‎-ee‎2‎‎+e‎,+∞‎ 答案　C　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎5.(2019届吉林高三第一次调研测试,16)某工厂投资100万元开发新产品,第一年获利10万元,从第二年开始每年获利比上一年增加20%,从第n年开始,前n年获利总和超过投入的100万元,则n=　　　　.(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1) ‎ 答案　7‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎6.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,20)某地空气中出现污染,需喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算,每喷洒1个单位的去污剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y=‎8-x‎2‎,00,则2