数学（理）卷·2017届内蒙古鄂尔多斯市高三模拟考试（2017 12页

内蒙古鄂尔多斯市2017届高三模拟考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，集合，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.设为虚数单位，，则下列判断正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.根据下边框图，当输入为2017时，输出的为（ ）‎ A． B．10 C． 4 D． 2‎ ‎4.二项式的展开式中，存在常数项的一个充分条件是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.把函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.《算术书》竹筒出土于上世纪八十年代，是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷（qun）盖”之术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.如图所示，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好在由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”， 表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.在等差数列中，若，则的值为（ ）‎ A．8 B． 12 C. 16 D．72‎ ‎9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A． 1 B． C. D．‎ ‎10.函数的图象大致是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11.设点分别为双曲线：的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点，满足，点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知为坐标原点，点是线段上一点，且、，，则向量的坐标为 ．‎ ‎14.已知实数满足，则的取值范围为 ．‎ ‎15.在各项均为正数的等比数列中，，数列的前项积为，若，则的值为 ．‎ ‎16.过抛物线：的焦点作直线与交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，内角所对的边为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的最大边的边长为，且，求最小边长.‎ ‎18. 为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘车补贴标准如下表：‎ 某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，很据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若从这辆纯电动乘用车中任选3辆，求选到的3辆车续驶里程都不低于180公里的概率；‎ ‎（3）如果以频率作为概率，若某家庭在某汽车销售公司购买了2辆纯电动乘用车，设该家庭获得的补贴为（单位：万元），求的分布列和数学期望.‎ ‎19. 如图，在四面体中，，，，且.‎ ‎（1）设为的中点，证明：在上存在一点，使，并计算的值；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎20. 已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设轨迹上一动点满足：，其中是轨迹上的点，且直线与的斜率之积为，若为一动点，，为两定点，求的值.‎ ‎21. 设.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）已知，若对所有，都有成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，若直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），曲线的极坐标方程为，射线，，与曲线分别交于不同于极点的三点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，直线过两点，求与的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数的最小值为.‎ （1） 求的值；‎ ‎（2）若，，求的最大值.‎ 绝密★启用前 试卷类型：A ‎2017年鄂尔多斯市高考模拟考试 理数试题参考答案与评分标准 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 B D C B C B A C D A D A 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13. ； 14. ； 15. 5； 16. 2. ‎ 三、解答题：（共70分）‎ ‎17.解： (I) 由正弦定理，得， ‎ ‎∵， ∴. ‎ ‎∴，且 ‎∴, ‎ ‎ (II) 易知a为最大边，故 由,得. ∴最小边为长b.‎ 根据余弦定理，有.‎ ‎∴‎ ‎∴ 即最小边长为1.‎ ‎18.解：(I)易求，，，‎ ‎(II) ‎ ‎∴从这10辆纯电动乘用车中任选3辆，选到的3辆车续驶里程都不低于180公里的概率为 ‎(III)X所有可能的取值为5，6.5，8，8.5，10，12.‎ 其中，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ X ‎5‎ ‎6.5‎ ‎8‎ ‎8.5‎ ‎10‎ ‎12‎ P ‎0.09‎ ‎0.36‎ ‎0.36‎ ‎0.06‎ ‎0.12‎ ‎0.01‎ ‎∴X的分布列为 X ‎5‎ ‎6.5‎ ‎8‎ ‎8.5‎ ‎10‎ ‎12‎ P ‎0.09‎ ‎0.36‎ ‎0.36‎ ‎0.06‎ ‎0.12‎ ‎0.01‎ ‎∴E(X)=5×0.09+6.5×0.36+8×0.36+8.5×0.06+10×0.12+12×0.01=7.5‎ ‎19.解法一：(I)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于点N，连接NC. ‎ 又OC⊥OA，OA∩ON=O，‎ ‎∴OA⊥平面ONC.‎ ‎∵NC平面ONC，∴OA⊥NC.‎ 取Q为AN的中点，连接PQ，则PQ∥NC， ‎ ‎∴PQ⊥OA.‎ 在等腰△AOB中，∠AOB=120O,∴∠OAB=∠OBA=30O. ‎ 在Rt△AON中，∠OAN=30O，∴ON=AN=AQ.‎ 在△ONB中，∠NOB=120O-90O=30O=∠NBO.‎ ‎∴NB=ON=AQ，∴‎ ‎(II)连接PN、PO，由已知得OC⊥平面OAB，又ON平面OAB,‎ ‎∴OC⊥ON，又ON⊥OA，OA∩OC=O，‎ ‎∴ON⊥平面AOC，∴OP是NP在平面AOC内的射影.‎ 在等腰Rt△AOC中，P为AC的中点，‎ ‎∴AC⊥OP，则可知AC⊥NP.‎ ‎∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角.‎ 在等腰Rt△AOC中，OC=OA=1，∴OP=.‎ 在Rt△AON中，ON=OAtan30o=.‎ 在Rt△PON中，PN=‎ ‎∴cos∠OPN= ‎ 即二面角O-AC-B的平面角的余弦值为 解法二：‎ ‎(I)过O在平面OAB内作OD⊥OA，交AB于点D，以O点为原点，‎ 分别以OA、OD、OC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.‎ 则A(1,0,0)，C(0,0,1)，B(,,0)，∴P(,0,). ‎ 设，则Q(,,0)，‎ ‎∴,.‎ 由OA⊥PQ得，∴，∴‎ 故存在Q(,,0)，使得OA⊥PQ.‎ 此时，AB=，AQ=，∴ ‎ ‎ (II)易求平面OAC的一个法向量为，‎ 而，，‎ 设平面ABC的一个法向量为，‎ 则，∴，‎ 解得.‎ ‎∴ ‎ 即二面角O-AC-B的平面角的余弦值为 ‎20.解：(I)点到直线的距离是到点的距离的倍，‎ 则， ‎ 化简得 ‎ (II)设，，，则由，‎ 得，‎ ‎∵点T、P、Q在椭圆上，‎ ‎∴所以，，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OP、OQ的斜率，由题意知，‎ ‎，因此，‎ ‎∴. ‎ 所以N点是椭圆上的点，‎ 而恰为该椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义， ‎ ‎21.解：(I) ， ‎ ‎∴在上是增函数.‎ ‎(II)‎ ‎ ‎ 显然，故若使，只需 即可.‎ 令，则 ‎ (i)当即时，恒成立， ‎ ‎∴在内为增函数 ‎∴，即在上恒成立.‎ ‎(ii)当时，则令，即，可化为，‎ 解得，‎ ‎∴两根（舍），‎ 从而.‎ 当时，则，‎ ‎∴，∴在为减函数.‎ 又，∴‎ ‎∴当时，不恒成立，即不恒成立.‎ 综上所述，a的取值范围为 ‎ ‎22.解：(I)证明：依题意，，，，‎ 则．‎ ‎ (II) 解：当时，‎ 点的极坐标为，‎ 点的极坐标为，‎ 化为直角坐标，即，，‎ 则直线的方程为，‎ 所以，．‎ ‎23.解：(I)由于，‎ 所以.‎ ‎(II) 由已知，有，‎ 因为（当取等号），‎ ‎（当取等号），‎ 所以，即 故