数学卷·2018届广东省北师大东莞石竹附中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版） 13页

‎2016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．数列：的一个通项公式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于（　　）‎ A．60° B．60°或 120° C．30° D．30°或150°‎ ‎3．已知等差数列{an}中，a1+a9=16，a4=1，则a13的值是（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎4．已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a3+a9=6，则S11=（　　）‎ A．12 B．33 C．66 D．99‎ ‎5．在△ABC中，若A=，b=16，此三角形面积S=220，则a的值是（　　）‎ A． B．75 C．51 D．49‎ ‎6．在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎7．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎8．如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．由1，3，5，…，2n﹣1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1=2，当n≥2时，，则b5等于（　　）‎ A．17 B．15 C．33 D．63‎ ‎10．在△ABC中，a=4sin10°，b=sin50°，∠C=70°，则S△ABC=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎11．锐角三角形△ABC中，若A=2B，则下列叙述正确的是（　　）‎ ‎①sin3B=sinC；②tantan=1；③＜B＜；④∈[，]．‎ A．①② B．①②③ C．③④ D．①④‎ ‎12．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为（　　）‎ A．22 B．21 C．20 D．19‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．在△ABC中，已知三边a，b，c满足a2+b2﹣c2=ab，则∠C=　　．‎ ‎14．在△ABC中，∠A=，a=c，则=　　．‎ ‎15．等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于　　．‎ ‎16．在△ABC中，已知AB=m，（m为定值）∠C=55°，当∠B=　　时，BC的长取得最大值．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）已知cosA=，求sinC的值．‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣4n．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn的最大或最小值．‎ ‎19．在△ABC中， =（cos，sin），=（cos，﹣sin），且m和n的夹角为．‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．‎ ‎20．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）‎ ‎（1）若c=5，求sin∠A的值；‎ ‎（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．‎ ‎21．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．如图所示，求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．‎ ‎22．等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．数列：的一个通项公式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】设cn={1，﹣1，1，﹣1，…}={（﹣1）n+1}， ={}，则{}={cn•bn}={}．‎ ‎【解答】解：设cn={1，﹣1，1，﹣1，…}={（﹣1）n+1}，‎ ‎={}，‎ ‎∴{}={cn•bn}={}，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于（　　）‎ A．60° B．60°或 120° C．30° D．30°或150°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】将已知代入正弦定理即可直接求值．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得：sinB===．‎ ‎∵0＜B＜180°，‎ ‎∴B=60°或 120°，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知等差数列{an}中，a1+a9=16，a4=1，则a13的值是（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a9=16，a4=1，‎ ‎∴2a1+8d=16，a1+3d=1，‎ 解得a1=﹣20，d=7‎ 则a13=﹣20+7×12=64．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a3+a9=6，则S11=（　　）‎ A．12 B．33 C．66 D．99‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列通项公式的性质及其求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a3+a9=6=a1+a11，‎ 则S11==11×=33．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，若A=，b=16，此三角形面积S=220，则a的值是（　　）‎ A． B．75 C．51 D．49‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据题意和三角形的面积公式求出边c，由余弦定理求出边a的值．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，A=，b=16，此三角形面积S=220，‎ ‎∴，解得c=55，‎ 由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA ‎==2401，‎ 则a=49，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】根据余弦定理表示出cosC，代入已知的等式中，化简后即可得到b=c，进而得到此三角形为等腰三角形．‎ ‎【解答】解：由余弦定理得cosC=，‎ 把cosC代入a=2bcosC得：，‎ ‎∴a2=a2+b2﹣c2，‎ ‎∴c2=b2．又b和c都大于0，‎ 则b=c，即三角形为等腰三角形．‎ 故选B ‎　‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】先利用公式an=求出an，再由第k项满足5＜ak＜8，求出k．‎ ‎【解答】解：an=‎ ‎=‎ ‎∵n=1时适合an=2n﹣10，∴an=2n﹣10．‎ ‎∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，‎ ‎∴＜k＜9，又∵k∈N+，∴k=8，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】设AB=x，在直角三角形ABC中表示出BC，进而求得BD，同时在Rt△ABD中，可用x和α表示出BD，二者相等求得x，即AB．‎ ‎【解答】解：设AB=x，则在Rt△ABC中，CB=‎ ‎∴BD=a+‎ ‎∵在Rt△ABD中，BD=‎ ‎∴a+=，求得x=‎ 故选A ‎　‎ ‎9．由1，3，5，…，2n﹣1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1=2，当n≥2时，，则b5等于（　　）‎ A．17 B．15 C．33 D．63‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】根据题意，知b2==a2=3⇒b3==a3=5⇒b4==a5=9⇒b5==a9=17．‎ ‎【解答】解：根据题意，得b2==a2=3，‎ b3==a3=5，‎ b4==a5=9，‎ b5==a9=17，‎ 故选A ‎　‎ ‎10．在△ABC中，a=4sin10°，b=sin50°，∠C=70°，则S△ABC=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用三角形的面积计算公式、倍角公式、诱导公式即可得出．‎ ‎【解答】解：S△ABC=absinC=×4sin10°×2sin50°×sin70°‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．锐角三角形△ABC中，若A=2B，则下列叙述正确的是（　　）‎ ‎①sin3B=sinC；②tantan=1；③＜B＜；④∈[，]．‎ A．①② B．①②③ C．③④ D．①④‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】由△ABC为锐角三角形可得，由A=2B，可得C=π﹣3B，代入已知可求的B的范围，从而可判断③‎ 由C=π﹣3B，利用正弦函数的诱导公式可判断①，利用正切函数的诱导公式可判断②‎ 利用正弦定理可及二倍角公式化简可得， =cosB，由③中B∈结合余弦函数的单调性可求范围，从而判断④‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，A=2B∴C=π﹣（A+B）=π﹣3B 又∵△ABC为锐角三角形解不等式可得故③正确 ‎∴sinC=sin（π﹣3B）=sin3B故①正确 tan=tan=1，故②正确 ‎==2cosB 由可得故④错误 故答案为：①②③‎ ‎　‎ ‎12．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为（　　）‎ A．22 B．21 C．20 D．19‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】设出等差数列的公差为d，由a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，利用等差数列的性质求出a4和a5的值，两者相减即可得到d的值，根据a4和公差d写出等差数列的通项公式an，令an大于0列出关于n的不等式，求出解集中的n的最大正整数解即为满足题意k的值．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，‎ 由a1+a4+a7=99，得3a4=99，即a4=33．‎ 由a2+a5+a8=93，得3a5=93，即a5=31．‎ 所以d=﹣2，an=a4+（n﹣4）d=﹣2n+41．‎ 由an＞0，得n＜20.5，‎ 所以Sn的最大值为S20，所以k=20，‎ 故选C ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．在△ABC中，已知三边a，b，c满足a2+b2﹣c2=ab，则∠C=　　．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】把条件代入余弦定理的推论cosC求出它的余弦值，再由内角的范围求出C的值．‎ ‎【解答】解：由余弦定理的推论得， =，‎ ‎∵C为三角形的内角，即0＜C＜π，‎ ‎∴C=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，∠A=，a=c，则=　1　．‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，‎ 由正弦定理可得：，‎ ‎=，sinC=，C=，则B==．‎ 三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，‎ 则=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于　180　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，由等差数列的性质可得a1+a20==18，再由前n项和公式求解．‎ ‎【解答】解：由a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，‎ 得 得a1+a20==18‎ 所以S20==180‎ 故答案为：180‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，已知AB=m，（m为定值）∠C=55°，当∠B=　35°　时，BC的长取得最大值．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】由AB=m，及C的度数，利用正弦定理表示出BC，要使BC最大，即要sinA最大，由A为三角形的内角，得到A为90°时，sinA最大，利用三角形的内角和定理求出此时B的度数即可．‎ ‎【解答】解：∵AB=m，∠C=55°，‎ ‎∴根据正弦定理得==，‎ 即BC=sinA，‎ ‎∵是定值，‎ ‎∴要BC最大，即sinA为最大值，‎ ‎∴当∠A=90°时，sinA最大，即BC最大，‎ 此时∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，‎ 则当∠B=35°时，BC的长取得最大值．‎ 故答案为：35°‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）已知cosA=，求sinC的值．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；‎ ‎（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．‎ ‎【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，‎ ‎∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，‎ ‎∴cosB=，∴B=．‎ ‎（2）∵cosA=，∴sinA=，‎ ‎∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣4n．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn的最大或最小值．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】（1）利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1的关系进行求解递推．‎ ‎（2）根据一元二次函数的性质进行求解判断．‎ ‎【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣4n﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）=2n﹣5…‎ 当n=1时，a1=S1=1﹣4=﹣3满足上式，…‎ 则an=2n﹣5…‎ ‎（2）Sn=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4…‎ 所以当n=2时，Sn有最小值﹣4…‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中， =（cos，sin），=（cos，﹣sin），且m和n的夹角为．‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由向量的数量积的定义和坐标表示，计算即可得到角C；‎ ‎（2）由已知利用三角形面积公式可求ab=6，运用余弦定理可得a2+b2﹣ab=7，化简计算即可得到a+b．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1）∵=（cos，sin），=（cos，﹣sin），且m和n的夹角为．‎ ‎∴=cos2﹣sin2=1×1×cos，‎ ‎∴解得：cosC=，‎ ‎∵0＜C＜π，‎ ‎∴C=．…‎ ‎（2）∵c=，C=，由面积公式得 absin =，…‎ 即ab=6．①…‎ 由余弦定理得a2+b2﹣2abcos =7，即a2+b2﹣ab=7，…‎ ‎∴（a+b）2=7+3ab．②…‎ 由①②得（a+b）2=25，故a+b=5．…‎ ‎　‎ ‎20．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）‎ ‎（1）若c=5，求sin∠A的值；‎ ‎（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】（1）通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正弦．‎ ‎（2）据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，‎ ‎，，‎ 若c=5，则，‎ ‎∴，∴sin∠A=；‎ ‎（2）若∠A为钝角，‎ 则解得，‎ ‎∴c的取值范围是；‎ ‎　‎ ‎21．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．如图所示，求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】设所需时间为t小时，在点B处相遇则可求得AB和BC，进而利用余弦定理建立等式求得t，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：设所需时间为t小时，…‎ 则AB=21t，BC=9t．…‎ 又已知AC=10，依题意知，∠ACB=120°，…‎ 根据余弦定理，AB2=AC2+BC2﹣2•AC•BCcos∠ACB．…‎ ‎∴（21t）2=102+（9t）2﹣2×10×9tcos 120°，…‎ ‎∴（21t）2=100+81t2+90t，‎ 即360t2﹣90t﹣100=0．…‎ ‎∴t=或t=﹣（舍）．…‎ ‎∴AB=21×=14（海里）．…‎ 即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行14海里．…‎ ‎　‎ ‎22．等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；‎ ‎（Ⅱ）根据bn=[an]，列出数列{bn}的前10项，相加可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a3+a4=4，a5+a7=6．‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴an=；‎ ‎（Ⅱ）∵bn=[an]，‎ ‎∴b1=b2=b3=1，‎ b4=b5=2，‎ b6=b7=b8=3，‎ b9=b10=4．‎ 故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．‎