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  • 2021-07-01 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版第25课三角函数的恒等变形与求值(1)学案(江苏专用)

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‎____第25课__三角函数的恒等变形与求值(1)____‎ ‎ 1. 理解同角三角函数的基本关系式.‎ ‎ 2. 能正确运用这些公式进行化简、求值与证明.‎ ‎1. 阅读:阅读必修4第16~18页.‎ ‎2. 解悟:①同角三角函数的基本关系式及其公式的正用、逆用、变形使用;②掌握sinα±cosα,sinαcosα之间的关系,可以知一求二;③求值与化简时,常用弦切互化、和积转换、变角技巧、“1”的代换.‎ ‎3. 践习:在教材空白处,完成必修4第18页练习第3、4、6题.‎ ‎ 基础诊断 ‎ ‎1. 若sinα=-,π<α<,则tanα=____.‎ 解析:因为sinα=-,π<α<,所以cosα=-=-,所以tanα==.‎ ‎2. 化简:(1-cosα)=__sinα__.‎ 解析:原式=(1-cosα)===sinα.‎ ‎3. 已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是__-1__.‎ 解析:因为sinα+2cosα=0,所以tanα=-2.原式====-1.‎ ‎4. 若cos(-80°)=k,则tan100°=__-__.‎ 解析:因为sin80°===,所以tan100°=-tan80°=-=-=-.‎ ‎ 范例导航 ‎ 考向❶ 运用同角三角函数的基本关系,进行化简、证明 例1 (1) 化简:tanα(cosα-sinα)+; ‎ ‎(2) 求证:=.‎ 解析:(1) 原式=(cosα-sinα)+=sinα-+=sinα.‎ ‎【注】 切化弦是常用的消除名称差异的方法.‎ ‎(2) 方法一:右边=====左边.‎ 方法二:左边==,右边==,则左边=右边.‎ 方法三:左边=====右边.‎ ‎【注】 (1) 题中有弦有切,应进行弦切互化,应确立化简的目标意识——同名、同角. (2) 证明恒等式时要和学生讨论,引导学生利用掌握公式的特点,学会分析等号左右两边的结构,选择适当的推理途径进行证明. ‎ ‎(1) 已知α∈,化简:tanα;‎ ‎(2) 证明:=.‎ 解析:(1) 因为α∈,‎ 所以原式=tanα=tanα ‎=tanα·=-1.‎ ‎(2) 左边========右边,得证.‎ 考向❷ 形如sinα,cosα的一次齐次式和二次齐次式问题 例2 (1) 若tanα=3,求sin2α-3sinαcosα+4cos2α的值;‎ ‎(2) 已知=-5,求tanα的值.‎ 解析:(1) 方法一:由3=tanα=,sin2α+cos2α=1,解得sinα=±,cosα=±‎ eq f( (,10),10),‎ 代入求值,原式=-+=.‎ 方法二:sin2α-3sinαcosα+4cos2α ‎= ‎= ‎==.‎ ‎(2) 方法一:由=-5,‎ 得16sinα=-23cosα,从而tanα=-.‎ 方法二:将=-5左边的分子分母同时除以cosα,得=-5,解出tanα=-.‎ 若tanα=3,求的值.‎ 解析:原式===-.‎ ‎【注】 解决形如sinα,cosα的一次齐次式和二次齐次式,通常会涉及弦、切互化,整体代入以及“1”的代换的方法.‎ 考向❸ sinα+cosα,sinα·cosα,sinα-cosα的关系 ‎ 例3 (1) 已知sinα+cosα=,求sinα·cosα及sin4α+cos4α的值;‎ ‎(2) 已知sinα+cosα=(0<α<π),求tanα的值.‎ 解析:(1) 由sinα+cosα=,得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=2,所以sinαcosα=(2-1)×=,由(sin2α+cos2α)2=sin4α+cos4α+2(sinα·cosα)2=1,得sin4α+cos4α=.‎ ‎(2) 由sinα+cosα=得sinαcosα=-.又0<α<π,则<α<π,有sinα>0,cosα<0,且|sinα|>|cosα|.‎ 方法一:sinαcosα===-,解得tanα=-或-(舍去).‎ 方法二:(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=,得sinα-cosα=.又sinα+cosα=,联立解得sinα=,cosα=-,所以tanα=-.‎ 已知sinα+cosα=,求sinα-cosα和tanα的值.‎ 解析:将sinα+cosα=两边平方,得1+2sinαcosα=2,则sinαcosα=.‎ 因为(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=0,‎ 所以sinα-cosα=0,tanα=1.‎ ‎【备用题】 已知sinαcosα=,α∈,求sinα+cosα,sinα-cosα的值.‎ 解析:因为α∈,所以sinα+cosα>0,sinα-cosα>0,‎ 所以sinα+cosα==,‎ sinα-cosα==.‎ ‎【注】 对于sinα+cosα,sinα·cosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值可求其余两个式子的值. 对于sin4α+cos4α的变形处理,要引导学生联想1=(sin2α+cos2α)2与sin4α+cos4α的关系.‎ ‎ 自测反馈 ‎ ‎1. 若α为锐角,且tan(π-α)+3=0,则sinα=____.‎ 解析:因为α为锐角,且tan(π-α)+3=-tanα+3=0,所以tanα==3.由sin2α+cos2α=1得sinα=.‎ ‎2. 已知α为第四象限角,化简:+=__-__.‎ 解析:因为α为第四象限角,所以sinα<0,原式=+=+=-.‎ ‎3. 已知sin(3π-α)=-2sin,则sinα·cosα=__-__.‎ 解析:因为sin(3π-α)=-2sin,所以sinα=-2cosα,sin2α+cos2α=5cos2α=1,解得cosα=±,‎ 所以sinα·cosα=·=-或sinα·cosα=·=-.‎ 综上,sinα·cosα=-.‎ ‎4. 计算:sin21°+sin22°+…+sin290°=____.‎ 解析:sin21°+sin22°+…+sin290°=sin21°+sin22°+…+sin244°+sin245°+cos244°+…+cos22°+cos21°+sin290°=44+sin245°+1=44++1=.‎ ‎1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中,解题目标是同名同角,要明确化简的目的及所用公式允许的取值范围,要注意体会弦切互相转化、“1”的代换的思想方法,对公式要学会逆向应用、变式应用.‎ ‎2. 掌握sinα+cosα,sinα·cosα,sinα-cosα的关系,可以知一求二,如果涉及开方运算,应注意角的取值范围,特别是sinα·cosα的正负.‎ ‎3. 你还有那些体悟,写下来:‎ ‎                                    ‎ ‎                                    ‎

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