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- 2021-07-01 发布
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第2讲 圆的方程
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 ( )．
A．－1 B．1 C．3 D．－3
解析 化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
答案 B
2．(2013·太原质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若00，所以原点在圆外．
答案 B
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为 ( )．
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.
答案 D
4．(2013·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点
P的轨迹方程为 ( )．
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
解析 设P(x，y)，则由题意可得：2＝，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．
解析 由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为＝，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝2.
答案 (x－2)2＋(y－4)2＝2
6．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．
解析 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解 (1)法一 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二 过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
∴半径r＝＝2，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二 由A(1,12)，B(7,10)，
得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，
则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0.
同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.
联立得
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
8．(13分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解 (1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，
∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0. ①
又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40， ②
由①②解得或
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为 ( )．
A．8 B．－4 C．6 D．无法确定
解析 圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案 C
2．圆心为C的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足·＝0，则圆C的方程为 ( )．
A.2＋(y－3)2＝ B.2＋(y＋3)2＝
C.2＋(y－3)2＝ D.2＋(y＋3)2＝
解析 法一 ∵圆心为C，
∴设圆的方程为2＋(y－3)2＝r2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由圆方程与直线l的方程联立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.
由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：
x1x2－(x1＋x2)＋＝＋＝0，
解得r2＝，经检验满足判别式Δ>0.
故圆C的方程为2＋(y－3)2＝.
法二 ∵圆心为C，
∴设圆的方程为2＋(y－3)2＝r2，
在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即2＋(y－3)2＝，故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
解析 由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．
解析 设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最值，只需求u＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值．圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.
答案 74 34
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2013·大连模拟)已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解 (1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得：
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2.
6．(13分)(2013·南昌模拟)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
解 (1)设圆心C(a，b)，则解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
令x＝cos θ，y＝sin θ，
∴·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以·的最小值为－4.
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