高中数学 2_4_2第2课时课时同步练习 新人教A版选修2-1 5页

第2章 ‎2.4.2‎ 第2课时 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)‎ A．有且仅有一条　　　　　　　 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 ‎ 解析：　由定义|AB|＝5＋2＝7，‎ ‎∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．‎ 答案：　B ‎2．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致为(　　)‎ 解析：　方法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为 ＋＝1，y2＝－x.因为a>b>0，所以>>0.‎ 所以椭圆的焦点在y轴上；抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D.‎ 方法二：方程ax＋by2＝0中，将y换成－y，其结果不变，‎ 即ax＋by2＝0的图形关于x轴对称，排除B、C，‎ 又椭圆的焦点在y轴上，排除A.故选D.‎ 答案：　D ‎3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：　过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，‎ 由抛物线定义可知，AA1＝AF，BB1＝BF，‎ 又∵2|BF|＝|AF|，‎ ‎∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点．‎ 从而yA＝2yB，联立方程组 ‎⇒消去x得y2－y＋16＝0，‎ ‎∴⇒，消去yB得k＝.故选B.‎ 答案：　B ‎4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D. 解析：　∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x准线，‎ ‎∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，‎ 所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离 ＝2，故选A.‎ 答案：　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.‎ 解析：　由，得ax2－x＋1＝0，‎ Δ＝1－‎4a＝0，得a＝.‎ 答案：　 ‎6．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，则b的值为________．‎ 解析：　由，得x2－2x－2b＝0，‎ Δ＝(－2)2＋8b>0，‎ 设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，‎ 于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，‎ 由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，‎ 故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．‎ b＝2适合Δ>0.‎ 答案：　2‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．设过抛物线y2＝2px的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若弦AB的中垂线恰好过点Q(5,0)，求抛物线的方程．‎ 解析：　弦AB中点为M，MQ为AB的中垂线，‎ AB的斜率为1，则lMQ：y＝－x＋5.‎ 设lAB：y＝x－.‎ 联立方程组 得x2－3px＋＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝3p.①‎ 联立方程组，‎ 得2x＝5＋，则x1＋x2＝5＋②‎ 联立①②，解得p＝2，‎ ‎∴抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ 解析：　(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，‎ ‎∴p＝2，‎ 故所求的抛物线方程为y2＝4x，‎ 其准线方程为x＝－1；‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，‎ 由得y2＋2y－2t＝0，‎ 因为直线l与抛物线C有公共点，‎ 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.‎ 另一方面，由直线OA与直线l的距离等于可得＝，‎ ‎∴t＝±1，‎ 由于－1∉，1∈，‎ 所以符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)已知抛物线C1：y2＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.‎ ‎(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF‎1F2的周长，求直线l的方程．‎ 解析：　(1)＋＝1；‎ ‎(2)①若直线l的斜率不存在，‎ 则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，‎ ‎∴|AB|＝4‎ 又∵△MF‎1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F‎1F2|‎ ‎＝‎2a＋‎2c＝6≠|AB|.‎ ‎∴直线l的斜率必存在．‎ ‎②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，‎ 由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，‎ ‎∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，‎ ‎∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0，且k≠0‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则可得x1＋x2＝，x1x2＝1‎ 于是|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ ‎∵△MF‎1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F‎1F2|＝‎2a＋‎2c＝6，‎ ‎∴由＝6，解得k＝±.‎ 故所求直线l的方程y＝±(x－1)．‎