2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第六章　6 第6讲　数学归纳法 12页

第6讲　数学归纳法 ‎1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ ‎2．明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．‎ ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)‎ ‎(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)‎ ‎(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)‎ ‎(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(选修22P99B组T1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)‎ A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4‎ 解析：选C.凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.‎ ‎2．(选修22P96A组T2改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________．‎ 答案：3　4　5　n＋1‎ ‎[易错纠偏]‎ ‎(1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n＝1；‎ ‎(2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设．‎ ‎1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，‎ 第一步证明中的起始值n0应取(　　)‎ A．2 B．3 C．5 D．6‎ 解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，‎ 当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，‎ 当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，‎ 当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，‎ 当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，‎ 当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0应取5.‎ ‎2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．‎ 解析：当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，‎ 当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，‎ 所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．‎ 答案：(2k＋2)＋(2k＋3)‎ ‎　　　　　　用数学归纳法证明等式 ‎ 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．‎ ‎【证明】　(1)当n＝1时，左边＝＝，‎ 右边＝＝.‎ 左边＝右边，所以等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋＋…＋＋ ‎＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立，‎ 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．‎ 用数学归纳法证明恒等式的注意事项 ‎(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．‎ ‎(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．‎ ‎(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．　 ‎ ‎　(2020·温州七校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝1＋＋＋…＋，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，用数学归纳法证明Sn＝(n＋1)an－n.‎ 证明：当n＝1时，a1＝1，S1＝a1＝1，满足条件．‎ 假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，Sk＝(k＋1)ak－k成立，‎ 则当n＝k＋1时，‎ 因为ak＝1＋＋＋…＋ ‎＝1＋＋＋…＋＋－ ‎＝ak＋1－，‎ 所以Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝(k＋1)ak－k＋ak＋1‎ ‎＝(k＋1)(ak＋1－)－k＋ak＋1‎ ‎＝(k＋1)ak＋1－1－k＋ak＋1‎ ‎＝(k＋2)ak＋1－(1＋k)．‎ 从而Sn＝(n＋1)an－n成立．‎ ‎　　　　　　用数学归纳法证明不等式 ‎ (2020·衢州模拟)在数列{an}中，已知a1＝a(a>2)，且an＋1＝(n∈N*)．‎ ‎(1)用数学归纳法证明：an>2(n∈N*)；‎ ‎(2)求证an＋12，命题成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即ak>2.‎ 则当n＝k＋1时，‎ ak＋1－2＝－2＝>0，‎ 所以当n＝k＋1时ak＋1>2也成立，‎ 由①②得，对任意正整数n，都有an>2.‎ ‎(2)an＋1－an＝－an＝，‎ 由(1)可知an>2>0，‎ 所以an＋11)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．‎ 解析：当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________．‎ 解析：因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.‎ 答案：f(2n)>(n≥2，n∈N*)‎ ‎5．已知数列{an}满足，a1＝1，an＝－.‎ ‎(1)求证：≤an≤1；‎ ‎(2)求证：|an＋1－an|≤.‎ 证明：(1)由已知得an＋1＝，计算a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤an≤1.‎ 下面用数学归纳法证明．‎ ‎①当n＝1时，命题显然成立；‎ ‎②假设n＝k时，有≤an≤1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝≤＜1，‎ ak＋1＝≥＝，即当n＝k＋1时也成立，‎ 所以对任意n∈N*，都有≤an≤1.‎ ‎(2)当n＝1时，|a1－a2|＝，‎ 当n≥2时，因为(an＋)(an－1＋)＝(an＋)·＝1＋≥1＋＝，‎ 所以|an＋1－an|＝‎ ＝≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|＝·.‎ ‎6．(2020·温州高考模拟节选)已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝4，且2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.‎ ‎(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值；‎ ‎(2)猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．‎ 解：(1)因为2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，‎ 且a1＝2，b1＝4.‎ 令n＝1，得到解得a2＝6，b2＝9；同理令n＝2，3分别解得a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.‎ ‎(2)证明：猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.‎ 用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．‎ ‎②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，‎ 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，‎ bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．‎ ‎7．(2020·台州市高三期末考试)在正项数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)．‎ ‎(1)求a2，a3的值；‎ ‎(2)证明：an≥.‎ 解：(1)因为在正项数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)，‎ 所以a2＝2×1－＝，a3＝2×－＝.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，由已知a1＝1≥＝1，不等式成立；‎ ‎②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥，‎ 因为f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以ak＋1＝2ak－≥2－ ‎＝＋－ ‎＝＋ ‎＝＋，‎ 因为k≥1，所以2×－3≥2×－3＝0，‎ 所以ak＋1≥，‎ 即当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 根据①②知不等式对任何n∈N*都成立．‎ ‎8．(2020·台州市书生中学月考)已知数列{an}中，a1＝，an≠0，Sn为该数列的前n项和，且Sn＋1＝an(1－an＋1)＋Sn，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若不等式an＋an＋1＋an＋2＋…＋a3n>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．‎ 解：(1)因为Sn＋1＝an(1－an＋1)＋Sn，n∈N*，‎ 所以Sn＋1－Sn＝an(1－an＋1)，‎ 所以an＋1＝an(1－an＋1)＝an－anan＋1，‎ 所以an－an＋1＝anan＋1.又an≠0，‎ 所以－＝1，‎ 所以构成以2为首项，以1为公差的等差数列，‎ 所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，‎ 所以an＝，n∈N*.‎ ‎(2)当n＝1时，＋＋>，即>，‎ 所以a<26.‎ 而a是最大的正整数，‎ 所以取a＝25.‎ 下面用数学归纳法证明：＋＋…＋>.‎ ‎①当n＝1时，已证；‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋…＋>，‎ 则当n＝k＋1时，‎ 有＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋＋＋＋－>＋.‎ 因为＋＝>＝，‎ 即＋>，‎ 所以＋－>0.‎ 所以当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 由①②知，对一切正整数n，都有 ＋＋…＋>，‎ 所以a的最大值等于25.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a＋2an，n∈N*，设bn＝log2(an＋1)．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：1＋＋＋…＋＜n(n≥2)；‎ ‎(3)若2cn＝bn，求证：2≤＜3.‎ 解：(1)由an＋1＝a＋2an，‎ 则an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2，‎ 由a1＝3，则an＞0，两边取对数得到 log2(an＋1＋1)＝log2(an＋1)2＝2 log2(an＋1)，‎ 即bn＋1＝2bn.‎ 又b1＝log2(a1＋1)＝2≠0，‎ 所以{bn}是以2为公比的等比数列．‎ 即bn＝2n.‎ 又因为bn＝log2(an＋1)，‎ 所以an＝22n－1.‎ ‎(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝2时，左边为1＋＋＝＜2＝右边，‎ 此时不等式成立；‎ ‎②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，‎ 则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋ ‎＜k＋＋＋…＋＜k＋＋＋…＋2k个,＜k＋1＝右边，‎ 所以当n＝k＋1时，不等式成立．‎ 综上可得，对一切n∈N*，n≥2，命题成立．‎ ‎(3)证明：由2cn＝bn得cn＝n，‎ 所以＝＝，‎ 首先＝C＋C＋C＋…＋C＋…‎ ‎＋C≥2，‎ 其次因为C＝＜≤＝－(k≥2)，‎ 所以＝C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＜1＋1＋1－＋－＋…＋－＝3－＜3，‎ 当n＝1时显然成立．所以得证．‎ ‎2．已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nan(n∈N*)，e为自然对数的底数．‎ ‎(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较与e的大小；‎ ‎(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明．‎ 解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.‎ 当f′(x)>0，即x<0时，f(x)单调递增；‎ 当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减. ‎ 故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). ‎ 当x>0时，f(x)