四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 8页

仁寿一中北校区2019级半期数学试题（2020.6.4）‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1.在△ABC中，点D满足，则（ D ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.已知{an}是等差数列，Sn是它的前n项和，若，则（ B ）‎ A. 52B. 65C. 70D. 75‎ ‎3、在中，角，，的对边分别为，且，，，则( C )A. B. C. D.‎ ‎4.等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（ A ）‎ A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或10‎ ‎5、在中，，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边的长为（C　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎6.在中，角，，的对边分别为，，，若，则为(D)‎ A． 等腰三角形 B． 直角三角形C． 等腰直角三角形 D． 等腰或直角三角形 ‎7.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时n的值是(　B　)．‎ A．5 B．6C．7 D．8‎ ‎8在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝90，则a10－a14的值为(　A　)‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎9.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是 ( D )‎ A.海里 B.海里 C.海里 D.海里 ‎10.已知数列中，，，且，则的值为（C）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（D ）‎ A． B．C． D．‎ ‎12.设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为（ A ）‎ ‎ A．2002 B．2004 C．2006 D．2008‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13.已知，且A、B、C三点共线，则x=__________．‎ ‎14.在中，角所对的边分别是，已知，，则的面积为____.‎ ‎15.已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3），Sn为{an}前n项和，则S2n=‎ ‎16.等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Tn，并且满足a1>1，a2 009·a2 010－1>0，(a2 009－1)(a2 010－1)<0，给出下列结论：‎ ‎①01成立的最大的自然数是4 018.‎ 其中正确结论的序号为①②④______(将你认为正确的全部填上)．‎ 三、 解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,共70分）‎ ‎17.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若，，求a、c的值.‎ ‎17.(1) (2) ，.‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理，将中的边全部变成角即可求出角的大小；‎ ‎（2）根据正弦定理，将变成边的关系代入余弦定理，求出值，进而可求出的值.‎ ‎【详解】解：（1）∵，由正弦定理可得，‎ 因为，得，‎ 又 ‎∴.‎ ‎（2）∵，由正弦定理得，‎ 由余弦定理，得，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎18.已知数列{an}的前n项和．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18.‎ ‎（1）；（2）‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用an与Sn的关系可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）得bn=an+log2an=4n+2n，故利用分组求和法即可求出数列的和.‎ ‎【详解】（1）因为数列{an}的前n项和，‎ 当n≥2时，，‎ 两式相减得，‎ 当n=1时，，满足上式，‎ 故；‎ ‎（2）错位相减得 ‎19、如图，在矩形ABCD中，点E是AC的中点，点F在边CD上.‎ ‎（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，试用表示;‎ ‎（2)若有向量满足 解：（1）因为是中点，所以.‎ 因为是上靠近的三等分点，所以，.‎ 所以.‎ ‎(2)‎ ‎20、六安市某棚户区改造，四边形为拟定拆迁的棚户区，测得,千米，千米，工程规划用地近似为图中四边形的外接圆内部区域.‎ ‎（Ⅰ）求四边形的外接圆半径；‎ ‎（Ⅱ）求该棚户区即四边形的面积的最大值.‎ ‎20【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 试题分析：（Ⅰ）由题得：在 ‎，由余弦定理，求得，再由正弦定理，即可求解的值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，由余弦定理得，‎ 进而得到，即可得到结论.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题得：在 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，‎ 由余弦定理得：‎ 即 所以(当且仅当PB=PC时等号成立)‎ 而 故 ‎21.已知数列满足,,‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎(2)证明：.‎ ‎21、【答案】（1）由得,即，‎ ‎∴‎ 即，∵, 所以 ‎ (2)证明：∵,k=2,3,4…,n.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎22、已知数列的前项和满足.‎ ‎(1)证明数列为等差数列，并求出数列的通项公式.‎ ‎(2)若不等式，对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，着重考查学生的运算能力、转化能力和思维能力，注意过程的规范性书写，属中档题．‎ ‎【答案】(1)证明见解析，；(2)；试题分析：（1）由与关系，得出的递推关系，再用等差数列的定义，证明为等差数列，求出其通项，即可求得的通项公式；‎ ‎（2）不等式，对任意恒成立，分离参数转为对任意恒成立，转为求数列的最大值，即可求出结果；‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当=1时，，得，‎ 当时，，，‎ 两式相减得：，‎ ‎∴，即，‎ 又，‎ ‎∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知，即 ‎∵‎ ‎∴不等式，对任意恒成立，‎ 等价于对任意恒成立，‎ 记 法一：则时，‎ ‎∴时，；时，.‎ 或(法二)：时，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴或时，取最大值为，‎ ‎∴，即 ‎∴入的取值范围是:.‎