【数学】2018届一轮复习人教A版（理）6-2等差数列及其前n项和学案 15页

‎§6.2　等差数列及其前n项和 考纲展示►　‎ ‎1.理解等差数列的概念.‎ ‎2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.‎ 考点1　等差数列的基本运算 ‎1.等差数列的有关概念 ‎(1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．‎ ‎(2)等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.‎ 答案：(1)2　同一个常数　d ‎2．等差数列的有关公式 ‎(1)等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是________．‎ ‎(2)等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝.‎ 答案：(1)an＝a1＋(n－1)d ‎(1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________．‎ 答案：52‎ ‎(2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数．‎ 答案：16‎ 知三求二．‎ ‎ 等差数列中，有五个基本量，a1，d ，n，an，Sn，这五个基本量通过________，____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．‎ 答案：通项公式　前n项和公式 ‎ [典题1]　(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝‎4a3，a7＝－2，则a9＝(　　)‎ A．－6　　 B．－4　　 ‎ C．－2　　 D．2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　解法一(常规解法)：设公差为d，则‎8a1＋28d＝‎4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.‎ 解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S8＝4(a3＋a6)，又S8＝‎4a3，‎ 所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.‎ ‎(2)[2017·河北武邑中学高三期中]等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则S10＝(　　)‎ A．0　　 B．－9 ‎ C．10　　 D．－10‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　因为是等差数列，且公差为d＝1，故＝＋1×(10－1)＝－9＋9＝0，故选A.‎ ‎(3)[2017·河北唐山模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.‎ ‎[答案]　30‎ ‎[解析]　解法一：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，S4＝12，可得 解得 则S6＝‎6a1＋15d＝30.‎ 解法二：∵等差数列{an}，故可设Sn＝An2＋Bn，‎ 由S3＝6，S4＝12，可得 ‎ 解得 即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.‎ ‎[点石成金]　等差数列运算的解题思路及答题步骤 ‎(1)解题思路 由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．‎ ‎(2)答题步骤 步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；‎ 步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；‎ 步骤三：利用前n项和公式求得结果．‎ 考点2　等差数列的判断与证明 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 等差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数. ‎ ‎(1)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2，则该数列的通项公式为an＝__________.‎ 答案：2n－1‎ 解析：由an＋1＝an＋2，知{an}为等差数列，其公差为2，故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.‎ ‎(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n，则数列{an}的通项公式为an＝__________.‎ 答案：1＋ 解析：由an＋1－an＝n，得a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，各式相加，得an－a1＝1＋2＋…＋n－1＝＝，故an＝1＋.‎ ‎[典题2]　 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)[证明]　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得 Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2.‎ 又＝＝2，‎ 故是首项为2，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)[解]　由(1)，可得＝2n，∴Sn＝.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝ ‎＝－.‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式．‎ 故an＝ ‎ ‎[题点发散1]　若将母题条件变为：数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n.求证：{an}为等差数列．‎ 证明：∵2Sn－nan＝n，①‎ ‎∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1，②‎ ‎①－②，得(2－n)an＋(n－1)an－1＝1，‎ 则(1－n)an＋1＋nan＝1，‎ ‎∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，‎ ‎∴数列{an}为等差数列．‎ ‎[题点发散2]　若母题变为：已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．‎ 证明：∵an＝2－，‎ ‎∴an＋1＝2－.‎ ‎∴bn＋1－bn＝－ ‎＝－＝＝1，‎ ‎∴{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．‎ ‎[点石成金]　等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于n≥2的任意自然数，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中 证明问题 等差 中项法 ‎2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项 公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填 空题中的 判定问题 前n项和 公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 ‎[2017·陕西西安模拟]已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，‎ 所以a3，a4是关于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，‎ 所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，‎ 故通项为an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.‎ ‎(2)由(1)知，Sn＝＝2n2－n，‎ 所以bn＝＝.‎ 解法一：所以b1＝，b2＝，‎ b3＝(c≠0)．‎ 由2b2＝b1＋b3，解得c＝－.‎ 当c＝－时，bn＝＝2n，‎ 当n≥2时，bn－bn－1＝2.‎ 故当c＝－时，数列{bn}为等差数列．‎ 解法二：由bn＝＝ ‎＝，‎ ‎∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.‎ ‎∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，‎ ‎∴数列{bn}是公差为2的等差数列．‎ 即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}为等差数列．‎ 考点3　等差数列的性质及应用 等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则____________．‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________．‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，公差为d，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．‎ ‎(6)数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…也是等差数列．‎ ‎(7)S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝；‎ 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．‎ 答案：(1)(n－m)d　(2)ak＋al＝am＋an　(3)2d ‎(5)md 等差数列的基本公式：通项公式；前n项和公式．‎ ‎(1)等差数列{an}中，a2＋a3＝1，a5－‎2a1＝27，则a5＝________.‎ 答案：13‎ 解析：设等差数列的公差为d，则有‎2a1＋3d＝1,4d－a1＝27，解得d＝5，a1＝－7，所以a5＝a1＋4d＝13.‎ ‎(2)等差数列{an}的首项为1，公差为4，前n项和为120，则n＝________.‎ 答案：8‎ 解析：an＝1＋(n－1)×4＝4n－3，所以Sn＝＝120，‎ 解得n＝8或n＝－(舍去).‎ 等差数列运算的两个方法：应用性质；巧妙设元．‎ ‎(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a10＝12，则该数列前13项和S13＝__________.‎ 答案：78‎ 解析：由等差数列的性质与前n项和公式，得S13＝＝＝78.‎ ‎(2)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8，则{an}的通项公式是__________．‎ 答案：an＝－3n＋5或an＝3n－7　‎ 解析：设等差数列{an}的前三项为a2－d，a2，a2＋d，‎ 由题意得 ‎ 解得 或 ‎ 所以an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.‎ 故an＝－3n＋5或an＝3n－7.‎ ‎ [典题3]　[2017·河南洛阳统考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　)‎ A．63　　 B．45　　 ‎ C．36 　 D．27‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，‎ 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，‎ 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.‎ ‎[点石成金]　在等差数列{an}中，数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具.‎ ‎1.[2017·宁夏银川模拟]已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32.若am＝8，则m＝(　　)‎ A．8　　 B．12　　 ‎ C．6　　 D．4‎ 答案：A 解析：由a3＋a6＋a10＋a13＝32，得 ‎(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝32，即‎4a8＝32，‎ ‎∴a8＝8，∴m＝8.故选A.‎ ‎2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.‎ 答案：60‎ 解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，‎ ‎∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，‎ ‎∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.‎ 考点4　等差数列前n项和的最值问题 ‎[典题4]　在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)‎ A．S15　 B．S16 ‎ C．S15或S16 　 D．S17‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵a1＝29，S10＝S20，‎ ‎∴‎10a1＋d＝‎20a1＋d，‎ 解得d＝－2，‎ ‎∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n ‎＝－(n－15)2＋225.‎ ‎∴当n＝15时，Sn取得最大值．‎ ‎[题点发散1]　若将条件“a1＝29，S10＝S‎20”‎改为“a1>0，S5＝S‎12”‎，如何求解？‎ 解：解法一：设等差数列{an}的公差为d，‎ 由S5＝S12，得‎5a1＋10d＝‎12a1＋66d，‎ 解得d＝－a1<0.‎ 所以Sn＝na1＋d ‎＝na1＋·＝－a1(n2－17n)‎ ‎＝－a12＋a1.‎ 因为a1>0，n∈N*，‎ 所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．‎ 解法二：设等差数列{an}的公差为d，‎ 同解法一得d＝－a1<0.‎ 设此数列的前n项和最大，则 即 解得即8≤n≤9，‎ 又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．‎ 解法三：设等差数列{an}的公差为d，‎ 同解法一得d＝－a1<0.‎ 由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，‎ 设f(x)＝x2＋x，则函数y＝f(x)的图象为开口向下的抛物线，‎ 由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝(如图所示)，‎ 由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn单调递减．又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn最大．‎ ‎[题点发散2]　若将条件“a1＝29，S10＝S‎20”‎改为“a3＝12，S12>0，S13<‎0”‎，如何求解？‎ 解：因为a3＝a1＋2d＝12，‎ 所以a1＝12－2d，‎ 所以即 解得－0，‎ 因此S6最大．‎ 解法二：由d<0可知{an}是递减数列，‎ 令可得 由－0，a4＋a7<‎0”‎，如何求解？‎ 解：∵∴ ‎∴Sn的最大值为S5.‎ ‎[点石成金]　求等差数列前n项和的最值的方法 ‎(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．‎ ‎(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n的值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则 ‎①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；‎ ‎②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大.‎ ‎1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n＝(　　)‎ A．5　　 B．6　　 ‎ C．7　　 D．8‎ 答案：B 解析：依题意，得‎2a6＝4,‎2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0.又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6，故选B.‎ ‎2．[2017·安徽望江中学模拟]设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为前n项和，若S6＝‎5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝(　　)‎ A．5　　 B．6　　 ‎ C．5或6　　 D．11‎ 答案：C 解析：由题意，得S6＝‎6a1＋15d＝‎5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，故选C.‎ ‎[方法技巧]　1.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为：(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．‎ ‎2．数列{an}为等差数列．‎ ‎(1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.‎ ‎(2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.‎ ‎3．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.‎ ‎4．若am＝n，an＝m(m≠0)，则am＋n＝0.‎ ‎[易错防范]　1.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．‎ ‎2．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应在两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100　　　　　 B．99　　　　　 ‎ C．98　　　　　　 D．97‎ 答案：C 解析：由等差数列性质知，S9＝＝＝‎9a5＝27，‎ 解得a5＝3，而a10＝8，‎ 因此公差d＝＝1，‎ ‎∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.‎ ‎2．[2015·北京卷]设{an}是等差数列，下列结论中正确的是(　　)‎ A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0‎ B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0‎ C．若0＜a1＜a2，则a2＞ D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0‎ 答案：C 解析：A，B选项易举反例．C中若0＜a1＜a2，‎ ‎∴a3＞a2＞a1＞0，‎ ‎∵a1＋a3>2，‎ 又‎2a2＝a1＋a3，∴‎2a2>2，‎ 即a2>成立．‎ D中，若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，‎ 故D选项错误．故选C.‎ ‎3．[2016·江苏卷]已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ 答案：20‎ 解析：设等差数列{an}公差为d，由题意，得 解得 ‎ 则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.‎ ‎4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.‎ ‎(1)求b1，b11，b101；‎ ‎(2)求数列{bn}的前1 000项和．‎ 解：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.‎ b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.‎ ‎(2)因为bn＝ ‎ 所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 巧用三点共线解等差数列问题 ‎1．等差数列的求解 由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d(d≠0)的等差数列{an}，其通项公式为an＝dn＋(a1－d)，则点(n，an)(n∈N*)共线，又d＝(n≠m)，所以d为过(m，am)，(n，an)两点的直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．‎ ‎[典例1]　若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________.‎ ‎[思路分析]‎ ‎[解析]　解法一：设数列{an}的公差为d，因为ap＝aq＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.‎ 因为p≠q，所以d＝－1.‎ 所以ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q(－1)＝0.‎ 解法二：因为数列{an}为等差数列，所以点(n，an)(n∈N*)在一条直线上．‎ 不妨设p