黑龙江安达七中2020届高三上学期寒假考试（3）数学试卷 15页

数学试卷三 ‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知是关于x的方程的一个根，则=（ ）‎ A.-4 B.0 C.2 D.4‎ ‎3.已知，则a,b,c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.函数的图象大致为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A和M.在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为，取自M区域的概率记为,则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小关系与半径长度有关 ‎6.右图是判断输入的年份是否是闰年的程序框图，若先后输入，，则输出的结果分别是（ ）（注：表示x除以y的余数）‎ A.是闰年，2400是闰年 B.是闰年，2400是平年 C.是平年，2400是闰年 D.是平年，2400是平年 ‎7.若，则= （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.若等差数列公差不为零，前项和为，且，，成等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.双曲线的右焦点为F，点P为C的一条渐近线上的点，O为坐标原点，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎10.已知函数，则（ ）‎ A. 的图象关于点对称 ,‎ B. 的图象关于直线对称,‎ C. 在上单调递减 ,‎ D. 在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎11.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为（ ）‎ A. B.0 C. D. ‎ ‎12.设是定义在R上的偶函数，，都有，且当时，，函数在区间内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题 ‎13.若满足约束条件，则的最大值为__________.‎ ‎14.已知是夹角为的两个单位向量，，则=_______.‎ ‎15.已知函数，若在上恰有3个极值点，则的取值范围是__________.‎ ‎16.在三棱锥中，点P到底面ABC的距离为，则三棱锥的外接球的表面积为_________.‎ 三、解答题 ‎17.的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知的面积为.‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）若求S ‎18.某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对A,B两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：‎ ‎（1）通过茎叶图比较A,B两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；‎ ‎（2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：‎ 记事件C:“A获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C发生的概率.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，点E是PC的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若直线BD与平面PBC所成角为，求二面角的大小.‎ ‎20.已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点.‎ ‎(1).若，求的值；‎ ‎(2).点，若，求直线的方程 ‎21.已知函数为的导数，且.‎ 证明：‎ ‎（1）在内有唯一零点t；‎ ‎（2）.‎ ‎22.在极坐标系中，圆．以极点O为原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系．直线l经过点且倾斜角为．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程和l的参数方程；‎ ‎（2）已知直线l与圆C交于两点，且A为中点，求．‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）画出的图像；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ 参考答案 ‎1.答案：C 解析：‎ ‎2.答案：A 解析：将代入方程得：，‎ 即，由复数相等的条件得，‎ 解得，∴‎ ‎3.答案：D 解析：，‎ 即，，‎ ‎∴‎ ‎4.答案：D 解析：‎ ‎5.答案：C 解析：设：四分之一圆的半径为r，则半圆的半径为，‎ ‎∴A区域的面积为，‎ ‎∵M区域的面积为A区域的面积加上半圆的面积，再减去四分之一圆的面积，‎ ‎∴M区域的面积为，‎ ‎∴.‎ ‎6.答案：C 解析：当输入时，‎ ‎∵1900除以4余数为0，1900除以100余数为0，1900除以400余数不为0‎ ‎∴‎ ‎∴输出1900是平年 当输入时，‎ ‎∵2400除以4余数为0，2400除以100余数为0，2400除以400余数为0‎ ‎∴‎ ‎∴输出2400是闰年 ‎7.答案：B 解析：‎ ‎8.答案：C 解析：设等差数列的公差为d,‎ ‎∵成等比数列,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 化简得,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 当时，可知,满足题意，‎ ‎∴‎ ‎9.答案：B 解析：‎ ‎10.答案：A 解析：,则函数定义域为，‎ 即,有关于点对称的可能,进而推测为奇函数，关于原点对称，‎ ‎,定义域为,奇函数且单调递增,‎ ‎∴为向右平移两个单位得到，‎ 则函数在单调递增,关于点对称 ‎11.答案：D 解析：函数的图象的一条对称轴为直线，‎ ‎∴，解得.‎ 当时, ，‎ ‎∵,则和一个为，另一个为2，‎ ‎∴,则.‎ 故当时, 取得最小值为.‎ 当时,同理求得, 取得最小值为.‎ ‎12.答案：C 解析：‎ ‎13.答案：0‎ 解析：如图：‎ 由，可得，‎ 作出直线，平移直线l，由图可得，‎ 当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，‎ 此时取得最大值，‎ 由，可得，‎ ‎∴的最大值是 ‎14.答案：‎ 解析：‎ ‎15.答案：‎ 解析：‎ ‎16.答案：‎ 解析：‎ ‎17.答案：（1）由得．‎ ‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以 ，因此 ‎（2）因为，所以c，‎ 由（1）得 由余弦定理得， 所以，从而． 故．‎ 解析：‎ ‎18.答案：（1）通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中，B选手所得分数比较分散.‎ ‎（2）记表示事件：“A选手直接晋级”， 表示事件：“A选手复赛待选”；‎ 表示事件：“B选手复赛待选”， 表示事件：“B选手淘汰出局”．‎ 则与独立，与独立，与互斥，．‎ 由所给数据得，，，发生的频率分别为，‎ 故，‎ ‎.‎ 解析：‎ ‎19.答案：（1）连接AC交BD于O，连接OE．‎ 由题意可知，，‎ ‎∴，又平面BED，平面BED，‎ ‎∴平面BED． ‎ ‎（2）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，‎ 则 设平面PBC的法向量，‎ 由得取． 直线BD与平面PBC所成的角为，得 ‎，解得． ‎ 同理可得平面PBD的法向量，‎ ‎，‎ ‎∵二面角为锐二面角，‎ ‎∴二面角的大小为． ‎ 解析：‎ ‎20.答案：(1).由题意，可得，设，‎ 联立方程组，整理得， ‎ 则，，‎ 又由 ‎ ‎(2).由题意，知，，，‎ 由，可得 又，，则，‎ 整理得，解得，‎ 所以直线的方程为. ‎ 解析： ‎ ‎21.答案：（1），‎ 所以时，，即在内没有零点. 时，， 因为，从而， 所以在上单调递减， 又， 所以在内有唯一零点t． ‎ ‎（2）由（1）得，‎ 时，，所以，即单调递增； 时，，所以，即单调递减，‎ 即的最大值为． 由得， 所以， 因此 因为，所以，‎ 从而， 即， 所以， 故．‎ 解析：‎ ‎22.答案：（1）由得 即 方程（t为参数，）‎ ‎（2）将方程代入圆C得 设两点所对点t分别为，则 为中点，，‎ ‎，‎ 故 解析： ‎ ‎23.答案：（1）‎ 的图象如图所示：‎ ‎（2）一方面，由得，解得．‎ 因为，所以．（※）‎ 若，（※）式明显成立；若，则当时，（※）式不立． ‎ 另一方面，由图可知，当，且时，．‎ 故当且仅当，且时，．‎ 因此的最小值为5．‎ 解析：‎ ‎ ‎